6. Métodos para resolver la ecuación completa.

Transcripción

1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO Métodos ara resolver la ecuación comleta. Dedicamos esta sección a ver dos métodos que nos ermiten hallar una solución articular de la ecuación comleta y + Py ( ) + Qy ( ) = R ( ). El rimero de ellos se llama el método de variación de los arámetros y lo odremos alicar siemre que conozcamos dos soluciones linealmente indeendientes de la ecuación homogénea asociada. El segundo de ellos se conoce como método de los coeficientes indeterminados y se uede alicar cuando la ecuación es de coeficientes constantes y la función R( ) es de un tio articular que más adelante detallaremos. OBSERVACIÓN. A veces es más cómodo descomoner la ecuación no homogénea en varias ecuaciones diferenciales con términos indeendientes más simles. Esta descomosición se basa en el siguiente resultado. PROPOSICIÓN (PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN). Suongamos que y ( ) es una solución articular de la ecuación y + P y + Q y = R y que y ( ) es una solución articular de otra ecuación y + P y + Q y = R, entonces la función suma y + y es solución de la ecuación y + P y + Q y = R + R. El método de variación de arámetros. El rimer método que vemos ara resolver la ecuación lineal de segundo orden comleta, llamado método de variación de los arámetros, es válido ara ecuaciones de la forma y + Py ( ) + Qy ( ) = R ( ) y requiere, como aso revio, el conocimiento de la solución general cy + cy de la corresondiente ecuación homogénea. Suongamos que los coeficientes c y c de la solución general cy + cy de la ecuación homogénea ueden variar (de ahí el nombre del método) y buscamos una solución articular de la ecuación comleta de la siguiente forma: y = v y + v y, donde v ( ) y v ( ) son dos funciones desconocidas que debemos determinar. Para ello imonemos que la función y ( ) verifique la ecuación comleta y + Py ( ) + Qy ( ) = R ( ). Necesitamos, or tanto, calcular reviamente la rimera y segunda derivada de la función y ( ). Al derivar una vez obtenemos que la rimera derivada viene dada or y = v y + v y + v y + v y. Por conveniencia, como comrenderemos más adelante, imondremos que v y + v y = 0 en el intervalo I. Por tanto, y = v y + v y. De esta forma, si volvemos a derivar, la derivada segunda es y = v ( y ) + v( y ) + v ( y ) + v( y ). Con estas derivadas calculadas, odemos ya sustituirlas en la ecuación lineal ara obtener que R = y + P y + Q y = v y + v y + v y + v y + P ( v y + v y ) + Q ( v y + v y ) = v ( y + P y + Q y ) + v ( y + P y + Q( y ) ) + v y + v y = v y + v y.

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. De esta forma, las derivadas de las funciones v ( ) y v ( ) son soluciones del siguiente sistema v y + v y = 0, Puesto que las dos soluciones de la ecuación homogénea son linealmente indeendientes, su determinante wronskiano es distinto de cero en todos los untos del in- v y + v y = R. tervalo I. Si ahora usamos la regla de Cramer ara resolver el sistema anterior, obtenemos como y R y R soluciones v = y v =, donde W( ) denota el determinante wronskiano de y ( ) e y ( ). En consecuencia, obtenemos que las funciones v ( ) y v ( ) W W buscadas son y R y R v = d y v. = d Finalmente, la solución articular obtenida es W W y R ( ) y R ( ) y = y d+ y d. W W EJEMPLO. Vamos a alicar el método de variación de los arámetros ara calcular una solución articular de la ecuación y + y =. En este caso la ecuación auiliar de la ecuación homogénea es sen m + = 0 y tiene or raíces m = i y m = i. Por tanto, dos soluciones linealmente indeendientes de la ecuación homogénea son y = sen e y cos. = El determinante wronskiano de estas dos soluciones es W( ) =. Alicando lo anterior obtenemos que y R cos ( ) y v = d = d = log sen W sen y R v = d = d =. W Puesto que buscamos una única solución articular no es necesario tener en cuenta las constantes de integración. Llegamos finalmente a que la solución articular es y = sen log(sen ) cos. El método de los coeficientes indeterminados. Si la ecuación tiene coeficientes constantes, eiste un método que ermite hallar una solución articular de la ecuación comleta y + y + qy = R cuando la función R( ) es un olinomio, una eonencial, un seno, un coseno o una combinación de sumas y roductos de tales funciones. La razón es que las derivadas de una de estas combinaciones vuelven a ser funciones del mismo tio, así que lo que se lantea es buscar como solución articular una combinación adecuada con coeficientes indeterminados que se calculan imoniendo que la función verifique la ecuación. EJEMPLO. Para hallar una solución articular de la ecuación y y + y =, nos fijamos en que R = es un olinomio de segundo grado, así que buscamos una solución articular de la forma y ( ). = a + b + c Imoniendo que y ( ) verifique la ecuación llegamos a la siguiente igualdad a ( a + b) + ( a + b + c) =, que se debe verificar ara todo. Igua- lando los coeficientes del olinomio de la izquierda y del olinomio de la derecha, obtenemos el un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son a =, b = 0 y c =, lo que nos da la solución articular y ( ). =

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. En lo que sigue consideraremos que m y m son las soluciones de la ecuación auiliar de la ecuación homogénea y + y + qy = 0. () Si R( ) es un olinomio de grado n, entonces se busca como solución articular un olinomio de grado n si m y m son distintas de cero (esto sucede cuando q 0 ), de grado n + si una de las dos raíces m o m es cero (esto sucede cuando q = 0 y 0 ) y de grado n + si las dos raíces m y m son cero (esto sucede cuando = q= 0 en cuyo caso la ecuación es y = 0 ). a () Si R = e es una eonencial, entonces se busca como solución articular a a) y = ce, si a es distinta de m y de m. a b) y = ce, si a coincide con una de las dos raíces m o m. a c) y = c e, si a = m = m. EJEMPLO. Calculamos una solución articular de la ecuación y y y = 5 e. La ecuación auiliar de la ecuación homogénea asociada es m m = 0 y tiene or raíces m = y m =. Estamos, or tanto, ante un ejemlo del caso a) y buscamos una solución del tio y = ce. Imo- niendo que esta función verifique la ecuación obtenemos que ce ce ce = 5 e. Simlificando 5 5 en la anterior ecuación llegamos a que c = y, or tanto, y = e. EJEMPLO. Calculamos una solución articular de la ecuación y y y = 5 e. La ecuación auiliar de la ecuación homogénea asociada es m m = 0 y tiene or raíces m = y m =. Estamos, or tanto, ante un ejemlo del caso b) y buscamos una solución del tio y = ce. Imoniendo que esta función verifique la ecuación diferencial lineal obtenemos que ( ce + ce ) ( ce ce ) ce = 5 e. Simlificando en la anterior ecuación llegamos a que 5 c = y, or tanto, 3 5 y = e. 3 (3) Si R = sen( b) o R = cos( b), entonces se busca como solución articular a) y = ccos( b) + csen( b), si bi m y bi m. b) y = ccos( b) + csen( b), si bi es una raíz de la ecuación auiliar. EJEMPLO. Calculamos una solución articular de la ecuación y + y + y = cos. La ecuación auiliar de la ecuación homogénea es m + m+ = 0 y tiene or raíces m = m =. Estamos, or tanto, ante un ejemlo del caso a) y buscamos una solución del tio y c c ( ) = cos( ) + sen( ). Imoniendo que esta función verifique la ecuación diferencial lineal obtenemos que ( ) ( ) c cos c sen + c sen + c cos + c cos + c sen = cos. 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Simlificando llegamos a que 8ccos 8csen = cos. Por tanto, debemos tomar c = 0 y c =. Es decir, la solución articular es y = sen. 8 8 EJEMPLO. Buscamos ahora una solución articular de la ecuación y + y = cos. La ecuación auiliar de la ecuación homogénea asociada es m + = 0 y tiene or raíces m = i y m = i. Estamos, or tanto, ante un ejemlo del caso b) y buscamos una solución del tio y = ccos + csen. Imoniendo que esta función verifique la ecuación diferencial lineal obtenemos que c sen ccos + c cos csen + ccos + csen = cos. Simlificando llegamos a que csen+ ccos= cos. Debemos tomar c = 0 y c =. Es decir, la solución articular buscada es y = sen. () Si R( ) es una combinación de las funciones anteriores, entonces se busca como solución articular la corresondiente combinación de las soluciones articulares rouestas. 3 3 EJEMPLO. Calculamos una solución articular de la ecuación y y + 5y = 6 e. La ecuación auiliar de la ecuación homogénea es m m+ 5= 0 y tiene or raíces m = + i y m = i. 3 3 Buscamos una solución del tio y = ( a + b + c+ d) e. Imoniendo que esta función verifique la ecuación diferencial lineal obtenemos que ((6a + b) e + 6(3a + b + c) e + 9( a + b + c + d) e ) ( ) ( ) = (3a b c) e 3( a b c d) e 5a b c d e 6 e. Dividiendo los dos términos de la ecuación anterior or 3 e llegamos a que ( ) ( ) ( ) 3 3 8a + a+ 8b + 6a+ 8b+ 8c + b+ c+ 8d = 6, que se debe verificar ara todo. Es decir, debemos tomar a =, b = 3, c = y d =. La solu- ción articular buscada viene dada or y e 3 3 ( ) = EJEMPLO. Vamos a calcular la solución general de y + y = cos + 3sen. Alicaremos el rinciio de suerosición, es decir, calcularemos soluciones articulares de las ecuaciones y + y = cos e y + y = 3sen. Puesto que cos es solución de la ecuación y + y = 0, buscamos una solución articular de la forma y = Acos + Bsen. Derivando dos veces obtenemos que y = Asen + Bcos Acos Bsen. Sustituimos en la ecuación y obtenemos Asen + Bcos = cos. Tomamos A = 0, B = y te-

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. nemos que y = sen es una solución articular de la ecuación y + y = cos. Para la segunda ecuación, uesto que sen( ) no es solución de ecuación homogénea, buscamos una solución de la forma y = Acos + Bsen. Por tanto, y = Acos Bsen. Sustituyendo en la ecuación obtenemos que y + y = 3Acos 3Bsen = 3sen. Tomamos A = 0, B = y tenemos que y sen = es una solución articular de y + y = 3sen( ). Llegamos así a que sen sen( ) es una solución articular de y + y = cos + 3sen( ) y su solución general es y = ccos + csen + sen sen. EJEMPLO. Vamos a calcular una solución articular de la ecuación y + 6y + 3y = e cos. En este caso la ecuación auiliar de la ecuación homogénea asociada es m + 6m+ 3= 0, cuyas raíces son m = 3+ i y m = 3 i. Por tanto, la solución general de la ecuación homogénea asociada es y = Ae cos + Be sen. De esta forma buscamos una solución del tio h y = Ae + Be ( ) cos( ) sen( ). Imoniendo que esta función verifique la ecuación diferencial lineal obtenemos que (5Ae cos 6Ae cos + Ae sen Ae sen + 5Be sen 6Be sen Be cos + Be cos) + 6( 3Ae cos + Ae cos Ae sen 3Be sen + Be sen + Be cos) ( cos( ) + Ae + Be sen) = e cos. Dividiendo los dos términos de la ecuación anterior or 3 e B cos Asen = cos. Por tanto, debemos tomar A = 0, de la ecuación es y e ( ) = sen( ). EJERCICIO. Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes constantes. () y + y = cos. () y y =. (3) y y = e. () y + y = 3 e. (5) y + y = 8sen. EJERCICIO. Resuelve la ecuación y y = f en los siguientes casos: y simlificando llegamos a la igualdad B = y la solución articular () f ( ) 3 e. = () f = cos. (3) f e ( ) = ( + + ). 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. EJERCICIO 3. Resuelve la ecuación y + y = f en los siguientes casos: () f = e cos. () f = e ( ). (3) f = e sen. EJERCICIO. Resuelve los siguientes roblemas de valores iniciales: () y + y 8 y =, con y (0) = 0, y (0) = 0, () y y + 5y = 0, con y (0) =, y (0) = 5, (3) y 3y + y = 3e 0cos(3 ), con y (0) =, y (0) =, () y + y 5y= 0, con y () =, y () = 0. EJERCICIO 5. Por el método de variación de las constantes, encuentra una solución articular de las ecuaciones diferenciales: ) y + y = tan. ) y 3y + y = sen( e ). EJERCICIO 6. Resuelve la ecuación diferencial + = cos( ), donde ab>, 0. y by a EJERCICIO 7. Resuelve el roblema de valor inicial y + 3y + y = R, con las condiciones iniciales y(0) = y (0) = 0, donde R ( ) =, si 0 < < 0, si, EJERCICIO 8. Una ecuación diferencial de la forma y + y + qy = R, donde y q son constantes y R( ) es una función continua, se llama ecuación de Euler Cauchy de segundo orden. ) Comrueba que una ecuación de este tio se reduce a una ecuación lineal con coeficientes constantes mediante el cambio de variable indeendiente = e t. ) Resuelve las siguientes ecuaciones de Euler Cauchy. a) y y + 6 y =. b) 3 3 y y + y = log. 6