CAPÍTULO. Optimización

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1 1 CAPÍTULO 10 Otimización 10.1 Problemas de otimización 1 Un roblema de otimización consiste en minimizar o maimizar el valor de una variable. En otras alabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máimo de una función de una variable. Se debe tener resente que la variable que se desea minimizar o maimizar debe ser eresada como función de otra de las variables relacionadas en el roblema. En ocasiones es reciso considerar las restricciones que se tengan en el roblema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que ermiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maimizar. En este tio de roblemas se debe contestar correctamente las siguientes reguntas: Qué se solicita en el roblema? Qué restricciones aarecen en el roblema? La resuesta correcta a la rimera regunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maimizada. La resuesta correcta a la segunda regunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auiliar ara lograr eresar a la función deseada recisamente como una función de una variable. Ejemlo Una caja con base cuadrada y arte suerior abierta debe tener un volumen de 50 cm. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado. H La siguiente figura reresenta la caja: 1 canek.azc.uam.m: / 5/ 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I y y Volumen de la caja, según la figura: V D y & V D 50 ) ) 50 D y; esta igualdad relaciona las variables del roblema. De esta ecuación odemos obtener y como función de o viceversa, desejando la variable elegida. El área de la caja sin taa: A D C y : Ésta es la cantidad de material que deseamos que sea mínima; vemos que es una función de dos variables. Desejamos y de la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen: y D 50 : Sustituimos en el área y obtenemos una función de una sola variable: Derivando: ( ) 50 A./ D C A 0./ D 00 D ( ) A 00./ D C 00 D C 00 D C 00 1 : 00 D 00 I D C 00 > 0 :

3 10.1 Problemas de otimización Calculamos untos críticos: A 0./ D 0 ) 00 D 0 ) D 100 ) D 100 cm : Es un mínimo absoluto ues A 00./ > 0 ara cualquier > 0. El valor corresondiente de la otra variable es y D D D D D 1 cm : Ejemlo Un ranchero tiene 00 m de malla ara cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comarten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales ara que el área cercada sea máima. H La siguiente figura reresenta los corrales contiguos: y y y Tenemos que el erímetro y el área de los corrales son, resectivamente: P D C y D 00 & A D y : Pero como y D 00 :.00 / A./ D Derivando y obteniendo los untos críticos: D 00 8 : y como A 0./ D D 0, D 00, D 16 A 00./ D 16 El área máima ocurre ara D 75 D 75 < 0, entonces se trata de un máimo. m & y D es el unto crítico D 50 m, que son las dimensiones edidas. Ejemlo Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los etremos. erímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno ara que tenga el área máima. Si el

4 Cálculo Diferencial e Integral I H El terreno lo reresentamos or la siguiente figura: y El área del terreno es A D y C : El erímetro, P D 50 m, está dado or P D y C, or lo que y C D 50 ) y D 50 Si sustituimos este valor en la fórmula del área, la tendremos eresada como función de una variable : A./ D.5 / C D 50 C. / D 50 : Su unto crítico se obtiene cuando A 0./ D 0. Esto es: D 5 : A 0./ D ( 50 ) 0 D 50 D 0, D 50 D 5 : Como A 00./ D < 0, se trata en efecto de un máimo; además y D 5 5 D 0, es decir, el área máima se obtiene cuando el terreno tiene la forma circular. Éste fue un tíico roblema isoerimétrico, en el que se ide hallar una figura de área máima teniendo el erímetro fijo, como se cuenta que se construyó la ciudad de Cartago sobre el máimo terreno que se udiese abarcar con una cuerda hecha a artir de una iel de vaca.

5 Problemas de otimización 5 Ejemlo Una ventana resenta forma de un rectángulo coronado or un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máima, si su erímetro es de 10 m. H Un croquis de la ventana es el siguiente: r y Si A es el área que deseamos que sea máima y P es el erímetro de la ventana, entonces A D y C 1 r & P D C y C r: Pero debido a que r D y a que P D 10: A D y C ( ) ( & 10 D C y C I ) A D y C ( 8 & 10 D 1 C ) C y: Es decir, tenemos una función de dos variables (A D y C ) [ ( 8 y una ecuación 1 C ) ] C y D 10. De la ecuación desejamos la variable y ara luego sustituirla en la función A. ( 1 C ) sustituyendo ahora en A: C y D 10 ) y D 10 D 10 ( 1 C ( 5 A./ D y C C 8 D D C 8 C 5 D. C / D 8 D 8 ( 1 C ) ) y D 1 [ 10 ) ) y D 5 ( 8 ) C 8 D 5 C C I ) C 5 D C 5 D C 5 D 8 C 5 ) A./ D C C 5I 8 ( 1 C ) ] D C C 8 D

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I A./ es la función de la variable que queremos maimizar. Derivando y calculando untos críticos: A 0./ D C 8 A 0./ D 0, C Entonces, A./ tiene un unto crítico en 1 D 0 C../ C 5 D C C 5I C 5 D 0, C D 5, D 0 C : A 0./ D C C 5 ) A 00./ D C ara cada ) ) A / D C ) A / < 0: A./ tiene un máimo local estricto en 1 D 0 C. Entonces el área A de la ventana es máima cuando D 0 m, ara la cual C ( ) ( ) C C 0 5. C / y D 5 D 5 D 5 C C D ( ) ( ) ( ) C C D 5 1 D 5 D 5 D 10 C C C C I es decir, cuando D 0 10 m y cuando y D C C m. Vemos que y D. Ejemlo Se desea construir un reciiente cilíndrico de metal con taa que tenga una suerficie total de 80 cm. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen osible. H La figura del cilindro es la siguiente: r h Se desea maimizar el volumen V D r h que deende de dos variables r & h. Se sabe que el área total A D r C rh debe ser igual a 80 cm. Es decir, se sabe que r C rh D 80. Tenemos entonces:

7 Problemas de otimización 7 Una función V D r h; Una ecuación r C rh D 80. De la ecuación desejamos una de las variables (la que nos convenga) ara sustituirla en la función. Conviene desejar h ya que ara r se obtiene una ecuación cuadrática. r C rh D 80 ) r C rh D 0 ) rh D 0 r ) h D 0 r r Sustituyendo en V ( obtendremos ) el volumen V como función de una única variable: r 0 r V D r h D r D r.0 r / ) V.r/ D 0r r que es la función a maimizar. r Derivando y obteniendo untos críticos: V 0.r/ D0 r I V 0.r/ D0, 0 r D 0, r D 0 :1 ) ) r D :1 :0601: En el conteto del roblema se ignora el valor negativo de r y sólo nos imorta r 1 :0601 ; V 0.r/ D 0 r ) V 00.r/ D 6rI V 00.r 1 / D 6r 1 6.:0601/ < 0: Por lo anterior, la función V.r/ tiene un máimo cuando r D :0601. La altura h del cilindro entonces es h 1 D 0 r 1 0.:0601/ r 1.:0601/ :10: Por lo tanto, las dimensiones del cilindro con volumen máimo son Observamos que h 1 D r 1, ues r 1 :0601 cm & h 1 :10 cm. 0 r1 D r 1, 0 r 1 r D r 1, 0 D r 1, r 1 D 0, que es el caso. 1 : Ejemlo Se va a construir una cisterna rectangular con base y taa cuadradas ara almacenar ies de agua. Si el concreto ara construir la base y los lados tiene un costo de $100 or ie y el material ara construir la taa cuesta $00 or ie cuáles son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción? H Qué se quiere en el roblema? Determinar las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción. Suoniendo que las dimensiones de la cisterna son: ies el lado de la base cuadrada y h ies su altura. Cuál es el costo de su construcción?

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I La siguiente figura reresenta a la cisterna: h h Para encontrar las dimensiones ( & h) que minimizan el costo de su construcción se necesita la eresión del costo de la cisterna. Usamos la tabla siguiente: Costo unitario ($) or ie Área (ie ) Costo total.$/ Base Taa Caras laterales 100 h 00h El costo total de la contrucción de la cisterna es: Costo de la cisterna: 00 C 00h C D 00 C 00h esos : En el roblema aarece la siguiente restricción: el volumen de la cisterna debe ser igual a ies, es decir, que h D Tenemos ues: Una función C D 00 C 00h y una ecuación h D De la ecuación desejamos una de las variables (la que más convenga) ara sustituirla en la función. Conviene desejar h h D ) h D : Sustituyendo en la función se obtiene ( ) C D 00 C 00h D 00 C 00 I C./ D 00 C Ésta es la función (de una sola variable: ) que se quiere minimizar. C./ D 00 C ) C 0./ D : :

9 Problemas de otimización 9 Derivando y calculando sus untos críticos: C 0./ D 0, 600, D D 0, 600 D D 8 000, D D 0 : Es decir, la función C./ tiene un unto crítico en D 0. Ahora bien , C 0./ D ) C 00./ D 600 C > 0 ara cualquier > 0 : Lo cual imlica que el unto crítico es un mínimo ara C./ (or el criterio de la segunda derivada). El costo C de la cisterna es mínimo cuando D 0 ies y or tanto h D D D.0/ 00 D 0 : Esto es, el costo mínimo es cuando D 0 ies y h D 0 ies. Con lo cual: C D 00 C 00h I C min D C.0/ D 00.0/ C 00.0/.0/ D C I C min D $ : Ejemlo Dos oblados P a y P b están a km y km, resectivamente, de los untos más cercanos A y B sobre una línea de transmisión, los cuales están a km uno del otro. Si los dos oblados se van a conectar con un cable a un mismo unto de la línea, cuál debe ser la ubicación de dicho unto ara utilizar el mínimo de cable? H P b P a km km A C B km Sea C el unto de coneión ubicado, digamos, a km del unto A y or suuesto a unto B. Si l es la longitud del cable utilizado ara conectar P a y P b con C, entonces: km del l D P a C C P b C D C C. / C :

10 10 10 Cálculo Diferencial e Integral I La función a minimizar es: l./ D C C. / C 9 D. C / 1 C [. / C 9 ] 1 : Derivando y obteniendo untos críticos: l 0./ D 0 ) l 0./ D 1. C / 1 C 1 l 0./ D C C [. / C 9 ] 1. /. 1/ I. / C 9 I. / C 9 D 0 ) C D. / C 9 ) ). / C 9 D. / C : Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: Œ. / C 9 D. /. C / ). / C 9 D. / C. / ) ) 9 D. / ) 9 D.16 8 C / ) ) 9 D 6 C ) 5 C 6 D 0 : Esta última ecuación tiene or soluciones: D./.5/. 6/.5/ D 0 10 D 8 10 : De donde se obtienen dos untos críticos que son: 1 D C 8 10 D D 1:6 así como D 8 10 D D 8 : Claramente el valor D 8 < 0 es descartado y sólo consideramos 1 D 1:6. Ya que l 00 9./ D C ;. C / Œ. / C 9 entonces l 00./ > 0 ara cada. En articular l 00.1:6/ > 0, or lo que l./ es mínima cuando D 1:6 km. Puesto que 0, calculemos los números l.0/, l.1:6/ y l./ a manera de ejemlo: l.0/ D 0 C C. l.1:6/ D.1:6/ C C. 0/ C 9 D C 5 D C 5 D 7 I 1:6/ C 9 D 6:56 C 1:76 6: I l./ D C C. / C 9 D 0 C 7:5 : Se ve ues que l./ es menor cuando D 1:6 km, siendo la longitud mínima del cable igual a 6. km aroimadamente.

11 Problemas de otimización 11 Ejemlo Se requiere construir un oleoducto desde una lataforma marina que está localizada al norte 0 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento que están en la laya y 15 km al este. Si el costo de construcción de cada km de oleoducto en el mar es de de dólares y en tierra es de , a qué distancia hacia el este debe salir el oleoducto submarino a la laya ara que el costo de la construcción sea mínimo? H Usamos la siguiente figura: P 0 km z 15 T Q A 15 km Consideremos que la lataforma está en P y que T es el unto de la laya más cercano a ella; que A es donde están los tanques de almacenamiento y Q es el unto de la laya donde debe de salir el oleoducto submarino. Si reresenta la distancia del unto T al unto Q, entonces considerando el triángulo rectángulo P TQ: z D C.0/ ) z D C 00 ; que es la orción de oleoducto submarino; QA D 15 Es imortante notar que es la orción de oleoducto en tierra. El costo de construir z kilómetros de oleoducto submarino, a razón de de dólares or km es de z millones de dólares y el costo de construir 15 km de oleoducto terrestre, a razón de de dólares or km es 1.15 / millones de dólares. Entonces, el costo total de la construcción del oleoducto (en millones de dólares) es C D z C.15 / D C 00 C 15 ) C./ D C 00 C 15 D. C 00/ 1 C 15 que es la función a minimizar. Derivando y calculando untos críticos: C 0./ D C 0./ D 0 ) C 0./ D ( ) 1. C 00/ 1 1 D 00 1 D 0 ) C 00 1 I C 00 D 1 ) ) D C 00 ) D C 00 ) D 00 ) ) D 00 ) D 0 :

12 1 1 Cálculo Diferencial e Integral I Por ser 0 odemos descartar D 0 < 0 y solamente analizaremos el costo en D 0. C 0./ D. C 00/ 1 1 I ( ) 1 C 00./ D. C 00/ C. C 00/ 1 D C 00./ D C. C 00/. C 00/ D 800. C 00/ Vemos que C 00./ > 0 ara cualquier. Por lo cual C./ tiene un mínimo local estricto en D 0. Ahora bien, no debemos olvidar que Cuál será el costo C./ en los casos etremos D 0 y en D 15? Ya que C./ D C 00 C 15, entonces :. C 00/ C. C 00/ 1 I C C.0/ D 00 C 15 D 55 I ( ) 0 00 D 9 C 00 C C 600 D 9 D 000 C :6167 I C.15/ D 5 C 00 C D 50 : C D C D El costo mínimo de la construcción del oleoducto es de 5:6167 millones de dólares y se tiene cuando D 0 11:57 km. Ejemlo Se requiere construir un oleoducto desde una lataforma marina que está localizada al norte 0 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento que están en la laya y 15 km al este. Si el costo de construcción de cada kilómetro de oleoducto en el mar es de y en tierra es de , qué tan alejado debe salir el oleoducto submarino a la laya ara que el costo de la construcción sea mínimo? H Usamos la siguiente figura: P 0 km z 15 T Q A 15 km

13 Problemas de otimización 1 El costo de construir z km de oleoducto submarino, a razón de de dólares or km, es de z millones de dólares y el costo de construir 15 km de oleoducto terrestre, a razón de de dólares or km, es.15 / millones de dólares. Entonces, el costo total de la construcción del oleoducto es (en millones de dólares) C D z C.15 / D C 00 C.15 / I C./ D C 00 C.15 / D. C 00/ 1 C 0 I que es la función a minimizar. Derivando y obteniendo untos críticos: C 0./ D C 0./ D 0 ) ( ) 1. C 00/ 1 D C 00 C 00 D 0 ) I C 00 D ) ) D C 00 ) 9 D. C 00/ ) 5 D ) ) D D 0 ) D 0 : 5 Por ser 0, odemos descartar D 0. Pero cuidado, D 0 17:889 no cumle con la restricción Esto nos indica que la función costo C./ no tiene untos críticos en el intervalo cerrado Œ0; 15, or lo cual no hay mínimo local estricto (ni máimo) ara el costo C./ en Œ0; 15. Esto es, la función C./ es estrictamente creciente o decreciente en el intervalo Œ0; 15. Por lo tanto, el costo mínimo aarece en uno de los etremos del intervalo y, or ende, el costo máimo aarece en el otro etremo. Valuamos ues C./ en D 0 y en D 15. C. D 0/ D 00 C.15/ D.0/ C 0 D 90 I C. D 15/ D 5 C 00 C.0/ D 65 D.5/ D 75 : Por lo tanto, el costo mínimo de la construcción del oleoducto es de de dólares y se obtiene cuando todo el oleoducto es submarino y sale a la laya recisamente donde están los tanques de almacenamiento. Notamos además que en Œ0; 15 la función C./ es decreciente, ya que C 0./ < 0 si 0 < 0 17:889.

14 1 1 Cálculo Diferencial e Integral I Ejemlo En un concurso de resistencia, los articiantes están millas mar adentro y tienen que llegar a un sitio en la orilla (tierra firme) que está a 5 millas al oeste (la orilla va de este a oeste). Suoniendo que un concursante uede nadar millas or hora y correr 10 millas or hora, hacia qué unto de la orilla debe nadar ara minimizar el tiemo total de recorrido? H Usamos la figura siguiente: P millas 5 M B A 5 millas Sean P el unto de artida, A el unto de la laya más cercano a P, M la meta y B el unto de la laya donde el concursante sale del mar. Es decir: PA D millas, MA D 5 millas, PB es el recorrido nadando y BM es el recorrido corriendo or la laya. Si suonemos que B está a millas de A, entonces BA D ) MB D 5 & BP D BA C AP D C D C : Si el concursante nada PB D C millas a razón de millas or hora, entonces el tiemo que C tarda nadando es t n D horas. Si el concursante corre MB D 5 millas a razón de 10 millas or hora, entonces el tiemo que tarda corriendo es t c D 5 10 horas. El tiemo total de recorrido del concursante es t D t n C t c D C C 5 10 : Es decir, t./ D 1. C / 1 C 1 que es la función que debemos minimizar. con 0 5; 10

15 Problemas de otimización 15 Derivando y obteniendo los untos críticos: t 0./ D 1 t 0./ D 0 ) ( ) 1. C / 1= C 1 10 D C 1 10 I 1 10 D 0 ) C D 1 10 ) ) 10 D C ).10/ D. C / ) 100 D 16 C 6 ) ) D 6 ) 8 D 6 ) D 6 8 0:76 ) ) 0:76 0:87: Entonces t./ tiene un unto crítico en 0:87 millas. 1 Ya que t 00./ D, entonces t 00./ > 0 ara cada. En articular t 00.0:87/ > 0 or lo que t/. C / es mínimo cuando D 0:87 millas. A manera de ejemlo valuamos t./ en D 0:87, D 0 & D 5, ara comarar los tiemos obtenidos. C t./ D C 5 10 I.0:87/ C t.0:87/ D C 5 0:87 0:958 hora; 10 0 C t.0/ D C D 1 hora; 5 C t.5/ D C 5 5 1:69 h. 10 Luego el tiemo mínimo es 0:958 de hora, esto es 57 min 9:77 s. Ejemlo Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos artes. Una se dobla ara formar un cuadrado y la otra ara formar un triángulo equilátero. Hallar cómo debe cortarse el alambre de modo que el área encerrada sea: 1. Máima.. Mínima. Interretar rácticamente los resultados. H Usando la siguiente figura 10 m 10 Alambre

16 16 16 Cálculo Diferencial e Integral I La arte del alambre se usa ara el cuadrado, or lo tanto cada lado tiene longitud. La arte del alambre se usa ara el triángulo equilátero, or lo tanto cada lado tiene longitud Cuadrado h Triángulo equilátero De la figura del triángulo, usando el teorema de Pitágoras, obtenemos la siguiente relación: El área del cuadrado es El área del triángulo es ( ) ( ) h C D ) h D / 6.10 / ) ) h D 6.10 / ) h D.10 /: 6 A C./ D 16 : A T./ D 1 base altura D /.10 / D 6 El área de ambas figuras es 6.10 / : A./ D A T./ C A C./ D 6.10 / C 16 : Ésta es la función a la cual deseamos calcular sus máimo y mínimo. Nótese que el dominio de esta función es D A D Œ0; 10 (la longitud del alambre es de 10 m). Calculamos la rimera derivada: Calculamos el unto crítico: A 0./ D 1 8 C 6.10 /. 1/ D 1 8 D C 9 18 D 9 C 7.10 / D : A 0./ D 0 ) 9 C D 0 ) D 7.5 / 9.9 C / D 0 9 C :965:

17 Problemas de otimización 17 Puesto que al calcular la segunda derivada obtenemos: A 00./ D 9 C 7 > 0; entonces el unto crítico anterior es un mínimo local. Calculamos la función A./ en los etremos de su dominio: A.0/ D :8115 y A.10/ D 6 16 D 6:5: Vemos entonces que la máima área encerrada es cuando D 10, es decir, cuando sólo se construye el cuadrado. Y la mínima área encerrada es cuando D :965, caso en el que se construyen ambas figuras. Ejemlo Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máimo volumen que uede ser inscrito en una esfera de radio R. H Consideramos un cilindro recto con base circular de radio r y altura h (inscrito en una esfera). Suoniendo (imaginando) que tanto la esfera como el cilindro son transarentes y que sólo sus contornos se ven, esto es, si consideramos una sección transversal del cuero, la figura reresentativa de ellos es la misma que se tiene ara una circunferencia de radio R y un rectángulo inscrito en ella de base r y altura h. El volumen del cilindro es V D r h que es una función de dos variables (r y h). En el triángulo rectángulo CQP (or el teorema de Pitágoras) obtenemos R D r C ( ) h que es una ecuación reresentativa de una restricción, (la esfera es de radio R). P R h h C r Q r

18 18 18 Cálculo Diferencial e Integral I Tenemos ues una función: V D r h y or el teorema de Pitágoras obtenemos la ecuación: ( ) h R D r C : De la ecuación desejaremos una de las variables ara luego sustituirla en la función. Cuál variable se deseja? La que más convenga. En este caso conviene desejar r, a saber: Sustituyendo en la función: r D R h : Así tenemos (R es una constante): ( V.h/ D R h V D r h D.R h ) 1 h I /h D.R h 1 h / : que es la función a maimizar. Derivando ara obtener untos críticos: V 0.h/ D.R h / I V 0.h/ D 0 ).R h / D 0 ) R h D 0 ) h D R ) ) h D R ) h D R : Esto imlica que la función V.h/ tiene dos untos críticos, uno ara h D R y el otro ara h D ( R. Pero este último h D ) R no tiene significado en el conteto del roblema or ser un valor negativo (que daría lugar a una altura negativa). Por lo tanto veamos qué tio de unto crítico tiene V.h/ ara h D R: V 0.h/ D ( ) R h D R h I V 00.h/ D h < 0, ara cualquier h > 0 : Luego V.h/ tiene un máimo local estricto cuando h D R. Además r D R 1 h D R 1 ( ) R D R :

19 Problemas de otimización 19 Por lo tanto el volumen del cilindro es máimo cuando h D R y r D R : Dicho volumen máimo es V ma D r h D ( R). R/ D R : Notemos que V.h/ D h.r 1 h / con 0 h R : También que h D 0 ) V.h D 0/ D 0 y además que h D R ) V.h D R/ D 0. Ejemlo Determinar las dimensiones del cono circular recto de máimo volumen que uede ser inscrito en una esfera de radio R. H Consideramos una esfera de radio R > 0 y un cono que tiene base circular de radio r > 0 y altura h > 0. Una sección transversal erendicular a la base del cono y que ase or su eje se muestra en el croquis siguiente: R h C R Q r P El volumen del cono es V D 1 r h que es una función de dos variables (r & h). En el triángulo rectángulo CQP, or el teorema de Pitágoras, vemos que R D Cr con D h R, or lo que R D.h R/ C r, es decir, la ecuación asociada a la restricción en el roblema (que la esfera sea de radio R). Tenemos ues una función : V D 1 r h

20 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I y una ecuación: R D.h R/ C r : De la ecuación desejamos (or conveniencia) r r D R.h R/ D R h C hr R D hr h : Y sustituyendo en la función: V D 1.hR h /h : Así tenemos (R es una constante): V.h/ D 1.Rh h / ; que es la función a maimizar. Derivando ara obtener untos críticos: V 0.h/ D 1.Rh h / I V 0.h/ D 0 ) 1.Rh h / D 0 ) h.r h/ D 0 ) h D 0 o bien h D R : Esto imlica que la función V.h/ tiene dos untos críticos, uno ara h D 0 y otro ara h D R. En el conteto del roblema, el caso h D 0 queda descartado (ya que el volumen sería V D 0). Sólo consideramos el caso en que h D R. V 0.h/ D 1.Rh h / ) V 00.h/ D 1.R 6h/ : Así: V 00.h D R/ D 1 ( )] [R 6 R D 1 ŒR 8R D R < 0 : Luego V.h/ tiene un máimo local estricto cuando h D R. Además, r D R.h R/ D R. R R/ ) r D R 1 9 R D 8 R D R : Por lo tanto, el volumen del cono es máimo cuando h D R y cuando r D R. Dicho volumen máimo es: ( V ma D 1 r h D 1 ) ( ) R R D 81 R : Notemos que V.h/ D 1 h.r h/ con 0 h R :

21 10.1 Problemas de otimización 1 Además, así como h D 0 ) V.h D 0/ D 0 h D R ) V.h D R/ D 0 : Ejemlo Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de máimo volumen que uede ser inscrito en un cono circular recto de radio R y altura H. H Consideramos que el cilindro tiene radio r y altura h. Una sección transversal erendicular a la base del cono y que ase or su eje, se muestra en el croquis siguiente: H r h El volumen del cilindro es V D r h ; R que es una función de dos variables (r y h). Para tener una ecuación con las mismas variables r, h veamos los dos triángulos semejantes que hay en la figura. H h H r h R 1

22 Cálculo Diferencial e Integral I Por semejanza se cumle la roorción: R H D r H h : De donde se obtiene la ecuación: R.H h/ D rh, de la cual desejaremos una de las variables ara desués sustituirla en la función volumen. Desejaremos r: sustituyendo rh D R.H h/ ) r D R.H h/ I H V D r h D [ ] R.H h/ h D R H H.H h/ h D R H.H Hh C h /h : Así tenemos: V.h/ D R H.H h Hh C h / ; que es la función a maimizar. Derivamos ara obtener los untos críticos: Tenemos que: V 0.h/ D R H.H V 0.h/ D 0 ) R H ( h Hh C h / D R H.h Hh C H / I Hh C H ) D 0 ) h Hh C H D 0 : h D H. H/./H./ D H H 6 D H H 6 : D H 16H 1H 6 D Entonces: h 1 D H C H 6 D 6H 6 D H y h D H H D H 6 6 D 1 H : Luego la función V.h/ tiene dos untos críticos: uno cuando h D h 1 D H y otro cuando h D h D 1 H.

23 10.1 Problemas de otimización V 0.h/ D R H.h Así: Hh C H / ) V 00.h/ D R H.6h H/. V 00.h 1 / D R H.6h 1 H/ D R H.6H R H/ D H H > 0 I V 00.h 1 / > 0 ) V.h/ tiene un mínimo local estricto ara h 1 D H. Además: V 00.h / D R H.6h V 00.h / D H/ D R H [6. 1 H/ H ] D R H.H R H/ D H. H/ < 0 I R H < 0 ) V.h/ tiene un máimo local estricto ara h D H. Por lo tanto el volumen V.h/ es máimo cuando h D h D 1 H. Qué sucede en los etremos del intervalo Œ0; H? V.h D 0/ D 0 y V.h D H/ D 0. Por lo anterior concluimos que dicho volumen máimo es: V ma D R H D R H ( H 1 H ) 1 ( ) 1 H H D D R H 9 H 1 H D D 7 R H : H D Este volumen máimo se obtiene ara el cilindro de altura h D 1 H y radio r D R H.H h / D R H.H 1 H/ D R : Ejercicios Soluciones en la ágina 8 1. Hallar dos números ositivos cuya suma sea S y cuyo roducto sea máimo.. Hallar dos números ositivos cuyo roducto sea P y cuya suma sea mínima.. Hallar dos números ositivos cuyo roducto sea P y la suma del rimero más tres veces el segundo sea mínima.. Hallar dos números ositivos tales que el segundo número sea el inverso multilicativo del rimero y la suma sea mínima.

24 Cálculo Diferencial e Integral I 5. Hallar dos números ositivos tales que el rimero más n veces el segundo sumen S y el roducto sea máimo. 6. La suma de tres números ositivos es 0. El rimero más el doble del segundo, más el trile del tercero suman 60. Elegir los números de modo que el roducto de los tres sea el mayor osible. 7. Un granjero que tiene m de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en tres corrales, colocando cercas aralelas a uno de los lados del rectángulo. Cuál es el área total máima osible de los tres corrales? 8. Un granjero que tiene C m de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en cuatro corrales, colocando cercas aralelas a uno de los lados del rectángulo. Cuál es el área total máima osible de los cuatro corrales? 9. Un granjero que tiene C m de cerca desea encerrar un área rectangular y dividirla en n corrales, colocando cercas aralelas a uno de los lados del rectángulo. Cuál es el área total máima osible de los n corrales? 10. Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de 00 m de área como se muestra en la figura. ` s Cuánto deben medir s & ` ara que se utilice la mínima cantidad de barda? 11. Un ganadero desea cercar un rado rectangular junto a un río. El rado ha de tener m ara roorcionar suficiente asto. Qué dimensiones debe tener el rado ara que requiera la menor cantidad de cerca osible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al río? 1. Un terreno rectangular está delimitado or un río en un lado y or una cerca eléctrica de un solo cable en los otros tres lados. Cuáles son las dimensiones del terreno que nos dan el área máima? Cuál es la mayor área que ueda cercarse con un cable de 800 m? 1. Se desea hacer una caja abierta con una ieza cuadrada de material de 1 cm de lado, cortando cuadritos iguales de cada esquina. Hallar el máimo volumen que uede lograrse con una caja así. 1. Se va a construir una caja con la arte suerior abierta a artir de un trozo cuadrado de cartón que tiene L metros de lado, recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que uede tener la caja.

25 Problemas de otimización Halle las dimensiones del rectángulo de área máima que se uede inscribir en un círculo de radio r. 16. Una caja con base cuadrada y arte suerior abierta debe tener un volumen de V cm. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 17. Una caja con base y taa cuadradas debe tener un volumen de 50 cm. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 18. Una caja con base y taa cuadradas debe tener un volumen de V cm. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. 19. Se quiere construir una cisterna con base rectangular y sin taa, de manera tal que el ancho de la base sea el doble de la altura de la cisterna. Calcular las dimensiones que debe tener la cisterna ara que el volumen sea de 0 m y se requiera la mínima cantidad de material en su construcción. 0. Un reciiente rectangular ara almacenamiento, con la arte suerior abierta, debe tener un volumen de V m. El largo de su base es el doble del ancho. El material ara la base cuesta B esos el metro cuadrado. El material ara los costados cuesta L esos el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones ara tener el más barato de esos reciientes. 1. Si se cuenta con cm de material ara hacer una caja con base cuadrada y la arte suerior abierta, encuentre el volumen máimo osible de la caja.. Si se cuenta con M cm de material ara hacer una caja con base cuadrada y la arte suerior abierta, encuentre el volumen máimo osible de la caja.. Si se cuenta con cm de material ara hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen máimo osible de la caja.. Si se cuenta con M cm de material ara hacer una caja con base cuadrada, encuentre el volumen máimo osible de la caja. 5. Demuestre que, de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el menor erímetro es un cuadrado. 6. Demuestre que de todos los rectángulos con un erímetro dado el que tiene el área máima es un cuadrado. 7. Un reciiente rectangular ara almacenamiento, con la arte suerior abierta, debe tener un volumen de 10 m. El largo de su base es el doble del ancho. El material ara la base cuesta esos el metro cuadrado. El material ara los costados cuesta esos el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones ara tener el más barato de esos reciientes. 8. Halle el unto de la recta y D C más cercano al origen. 9. Halle el unto de la recta y D m C b más cercano al origen. 0. Una ventana normanda tiene forma de un rectángulo rematado or un semicírculo. Si el erímetro de la ventana es de P m, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande osible de luz.

26 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I 1. Una ista de entrenamiento consta de dos semicírculos adosados en los lados ouestos de un rectángulo. Si su erímetro es de P m, hallar las dimensiones que hacen máima el área de la región rectangular.. Un triágulo rectángulo está formado or los semiejes ositivos y una recta que asa or el unto.a; b/. Hallar los vértices de modo que su área sea mínima.. Se quiere construir un reciiente cilíndrico de base circular con taa y una caacidad ara 600 `. Calcular las dimensiones que debe tener ara que se requiera la mínima cantidad de material en su construcción. (Considerar que 1 ` = 1 dm :). Un cilindro circular recto ha de contener V cm de refresco y usar la mínima cantidad osible de material ara su construcción. Cuáles deben ser sus dimensiones? 5. Determine el volumen máimo osible de un cilindro circular recto si el área total de su suerficie, incluyendo las dos bases circulares, es de 150 m. 6. Dos untos A, B se encuentran en la orilla de una laya recta, searados 6 km entre sí. Un unto C esta frente a B a km en el mar. Cuesta $00:00 tender 1 km de tubería en la laya y $500:00 en el mar. Determine la forma más económica de trazar la tubería desde A hasta C. (No necesariamente debe asar or B.) 7. Dos barcos salen al mismo tiemo; uno de un muelle, con dirección sur y con velocidad de 0 km/h. El otro arte hacia el muelle desde un unto que se encuentra a 15 km al oeste, a 10 km/h. En qué momento se encuentran más róimos estos dos navíos? 8. A las 1:00 horas un barco A se encuentra 0 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15 millas/h. El barco B navega hacia el oeste a 10 millas/h. A qué hora se alcanza la distancia mínima entre las dos embarcaciones? 9. Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen de 10 ` en forma de un cilindro circular recto rematado or dos hemisferios (medias esferas). Tomando en cuenta que el volumen de la esfera es r y que la suerficie es r, encontrar las dimensiones del tanque que minimicen la cantidad de metal. 0. Una lata de aceite tiene la forma de un cilindro con fondo lano en la base y una semiesfera en la arte suerior. Si esta lata debe contener un volumen de ulgadas cúbicas y se desrecia el esesor del material, determine las dimensiones que minimizan la cantidad de material necesario ara fabricarla. 1. Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los etremos ara almacenar gas roano. El costo or ie cuadrado de los etremos es el doble de la arte cilíndrica. Qué dimensiones minimizan el costo si la caacidad deseada es de 10 ies?

27 Problemas de otimización 7 h r. Una ágina ha de contener 0 cm de teto. Los márgenes suerior e inferior deben ser de cm y los laterales de 1 cm. Hallar las dimensiones de la ágina que ermiten ahorrar más ael.. Los costos de la emresa Alfa están dados or la función f./ D, donde reresenta 1 miles de artículos vendidos. Se ronostica que los costos serán mínimos si se venden entre y artículos. Es verdadero el ronóstico? Justifique su resuesta.. Un hombre se encuentra en un unto A de la orilla de un río rectilíneo de km de ancho. Sea C el unto enfrente de A en la otra orilla. El hombre desea llegar a un unto B situado a 8 km a la derecha y en la misma orilla de C. El hombre uede remar en su bote cruzando el río hasta el unto D entre B y C. Si rema a 6 km/h y corre a 8 km/h a qué distancia debe estar D del unto C, ara llegar al unto B lo más ronto osible? 5. La suma del erímetro de un círculo y un cuadrado es de 16 cm. Hallar las dimensiones de las dos figuras que hacen mínima el área total encerrada or ambas figuras.

28 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Soluciones Soluciones a los ejercicios del cat ítulo 10 Ejercicios Otimización, ágina 1. D S & y D S.. D P & y D P P D P.. D P & y D 1 P.. D 1 & y D D S & y D S n. 6. D y D z D A D 18 ara D & y D A D C 0 ara D C 10 & y D 5 C A D C 8.n C 1/ m ara D 10. s D 0 & l D 15 m. 11. D 00 m & y D 600 m. C.n C 1/ & y D C. 1. y D 00; D y D 00 & A D Volumen máimo: V./ D 108 cm. ( ) L 1. V D 6 7 L. 15. D r D y. 1. V D 1 ( D & y D 1. V D 1 ( ) M.. V D V D M M y D A D. 6. y D P D. 7. y D 5 D. ( ; ). 5 ( 9. ) ara bm 1 C m ; b 1 C m 0. D P C ; y D 1 ). 1. y D P & D y D P.. D a & y D b ( ) P. C 16. D V & y D 1 V.. r D 00 & h D r. 17. D 50 & y D D V & y D V. 19. Base cuadrada de lado 5 1 y con altura 5 1. LV 0. D B & y D ( )1 B LV. L B. r D ( )1 ( ) 1 V V ; h D D r. 5. V D 50 m. 6. El costo es 00 esos. 7. t D 10 h.

29 Problemas de otimización C 1 1 h. 9. r D 1:65 & l D r 5:7588 & h D r. 1. r 1: & h :9.. D 15 & y D.. Es verdadero, ues el costo es mínimo cuando se venden 1 7:058 artículos.. A :7 km de C. 5. D 16 C & r D 8 C D 1.

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