Funciones. 2.8 Modelando con funciones CAPÍTULO

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1 1 CAPÍTULO Funciones.8 Modelando con funciones 1 Aora aremos uso de ejemlos concretos ara mostrar la manera en que odemos utilizar a las funciones ara modelar matemáticamente situaciones y roblemas reales. Para llevar a cabo la actividad de modelar con funciones es necesario que se consideren las reguntas siguientes: qué es lo que se ide en el roblema?, así como qué datos se dan en el roblema? Ejemlo.8.1 Una región rectangular tiene un erímetro de 00 m. Eresar el área de la región como función de la longitud de uno de sus lados. Consideramos un rectángulo con lados de longitudes &, eresados en metros. Región Qué es lo que se ide en este roblema? Eresar el área A del rectángulo, que es A D, como función solamente) de o bien de. Qué dato se da en el roblema? Que el erímetro, que es P D C, es de 00 m. Esto es, se sabe que C D 00 o bien que C D 100. Tenemos entonces 1 canek.azc.uam.m: / 5/ 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I una función: A D una ecuación: C D 100: or abuso del lenguaje en ocasiones llamamos función a una regla de corresondencia o una fórmula); Aora de la ecuación desejamos una de las variables la que más nos convenga) ara luego sustituirla en la función. En este caso es indistinto desejar cualquiera de las dos variables. Si queremos eresar el área A como función de, desejamos de la ecuación. C D 100 ) D 100 ; sustituimos el valor de en la función y obtenemos A D D.100 / D 100 I si la quisiéramos como una función de desejaríamos D 100 Luego la función buscada es A./ D 100 :.) Ejemlo.8. Una región rectangular tiene un área de 160 m. Eresar su erímetro como función de la longitud de uno de sus lados. Consideramos un rectángulo con lados de longitudes &, eresados en metros. Región Qué es lo que se ide en el roblema? Eresar el erímetro P del rectángulo, que es P D C, como función solamente) de o bien de. Qué dato se da en el roblema? Que el área del rectángulo, que es A D, es igual a 160 m. Esto es, se sabe que: D 160. Tenemos entonces { una función: P D C I una ecuación: D 160: Si queremos eresar el erímetro P como función de, desejamos de la ecuación ara desués sustituirla en P. D 160 ) D 160 I

3 .8 Modelando con funciones sustituyendo en P obtenemos ) 160 P D C D C D 0 C : Luego la función buscada es P./ D 0 C : Ejemlo.8. Una caja de caras laterales rectangulares sin taa tiene su base cuadrada y un volumen de m. Eresar el área de la caja como función de uno de los lados de la base. Consideramos una caja de caras laterales rectangulares de altura y base cuadrada de lado con & eresados en metros. Qué es lo que se ide en este roblema? Eresar el área A de la caja como función de uno de los lados de la base) a sabiendas de que A D área de la base C área de las caras laterales D C 4: Qué dato se da en el roblema? Que el volumen de la caja, V D, es igual a m ; es decir, se sabe que D. Tenemos entonces { una función: A D C 4I una ecuación: D : Aora, dado que se quiere eresar A como función de, desejamos de la ecuación, ara luego sustituirla en la función. D ) D : Sustituyendo en la función obtenemos ) A D C 4 D C 4 D C 8 :

4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I Luego la función buscada es A./ D C 8 : Ejemlo.8.4 Una caja de caras laterales rectangulares con base y taa cuadradas tiene un área total de 1 00 cm. Eresar el volumen de la caja como función de uno de los lados de la base. Consideramos una caja de caras rectangulares de altura y base cuadrada de lado l, con y l eresados en centímetros. l l Qué es lo que se ide en este roblema? Eresar el volumen V de la caja como función de l uno de los lados de la base) a sabiendas de que V D l : Qué se sabe en el roblema? Que el área total de la caja, que es A D l C l C 4l, es igual a 1 00 cm. Es decir, se sabe que l C 4l D 1 00; o sea l C l D 600. Tenemos entonces { una función: V D l I una ecuación: l C l D 600: Aora bien, debido a que se quiere eresar a V como función de l, desejamos de la ecuación ara luego sustituirla en la función l C l D 600 ) l D 600 l ) D Sustituyendo en la función, obtenemos ) 600 l V D l D l D l l.600 Luego la función buscada es V.l/ D 00 l 1 l : l / D 00 l 600 l : l 1 l :

5 .8 Modelando con funciones 5 Ejemlo.8.5 Se va a construir un tanque de caras laterales rectangulares, con base y taa cuadradas con caacidad de 8 m ara almacenar aceite. El material ara construir la base y la taa tiene un costo de $1 000:00 or m y el material ara construir las caras laterales tiene un costo de $500:00 or m. Obtener el costo de la construcción del tanque en función de la longitud del lado de la base cuadrada. La figura del tanque corresonde a: El área de la base cuadrada es y el de la taa también es, luego la suma de estas áreas es ; entonces, el costo en esos ara construirlas, será de 000, estando eresada en metros. Una cara lateral del tanque constituye un rectángulo de base y altura digamos eresada también en metros), es decir, es su área. El volumen del tanque es el área de la base multilicada or la altura, es decir,, ero como tiene que ser 8 m tenemos que D 8; luego desejando resulta que D 8 El área de una cara lateral es or tanto 8 D 8 Y su costo es / D.. y el área de las cuatro es 4 ) 8 D. El costo total C de la construcción como función de la longitud del lado de la base cuadrada será C./ D 000 C Ejemlo.8.6 Erese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados. Usaremos la siguiente figura : 5

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I Como la altura corresondiente a uno de sus lados es también la mediatriz tenemos, or el teorema de Pitágoras, que ) D D 4 D 4 D 4 D 4 D : Y el área será entonces Es decir, A D 1 D A./ D 4 : 4 : Ejemlo.8.7 El número de vibraciones.v / de una cuerda que vibra es directamente roorcional a la raíz cuadrada de la tensión T de la cuerda. Una cuerda articular vibra a 864 vibraciones or segundo sometida a una tensión de 4 kg. 1. Erese el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T.. Determine el número de vibraciones or segundo.v=seg:/ cuando la cuerda esté sometida a una tensión de 6 kg. 1. Ya que V es directamente roorcional a T, entonces eiste una constante de roorcionalidad k tal que V D k T. Para la cuerda en consideración tendremos or lo tanto 864 D k 4I y or último k D 864 D D D 6 4 D D 7 6I V D 7 6 T D 7 6T :. Si T D 6, tendremos que V D D 7 6 D 4 : Ejemlo.8.8 En un bosque un deredador se alimenta de su resa y, ara las rimeras 15 semanas a artir del fin de la temorada de caza, la oblación de deredadores es una función f de, donde es el número de resas en el bosque el cual, a su vez, es una función g de t, donde t es el número de semanas que an asado desde el fin de la temorada de caza. Si f./ D 1 48 C 50 & g.t/ D 4t C 5, donde 0 t 15, aga lo siguiente:

7 7.8 Modelando con funciones 7 1. Encuentre un modelo matemático que erese la oblación de deredadores como función del número de semanas a artir del fin de la temorada de caza.. Determine la oblación de deredadores 11 semanas desués del cierre de la temorada de caza. 1. Tenemos que:. Valuamos: f Œ.t/ D f Œg.t/ D f.4t C 5/ D D Œ4.t C 1/ 48 D t C 6t C 169 4t 16.4t C 5/ 48 8t 104 C 50 D t C 6t C 169.4t C 5/ C 50 D 8t 54 D D t C t C 7 ; donde 0 t 15/ : f Œ.11/ D f Œg.11/ D 11 C 11 C 7 D 11 C C 7 D 150 D 50: Ejemlo.8.9 Una ista de 400 m de longitud tiene lados aralelos y cabeceras semicirculares. Encuentre una eresión ara el área A encerrada or la ista, en función del diámetro d de los semicírculos. Dibujamos la ista. b d d Vemos que: Pero el erímetro es A D bd C ) d D bd C d 4 : P D b C d D 400 or lo que b D 400 y entonces sustituyendo en A d A.d/ D 400 d d C d 4 D 800d d 4 D d d/:

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Ejemlo.8.10 Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado or un semicírculo. Si el erímetro de la ventana es de 45 dm, erese su área como función del anco de la misma. Primero reresentamos la ventana: y El área A es la suma del área del rectángulo más la del semicírculo que tiene radio, es decir, A D y C 4 Pero además el erímetro de 45 dm es igual a 1 D y C 8 : y así P D P D C y C 1 ; 1 C ) C y D 45 y de aquí que y D 45 1 C ) ) y D 45 Luego, sustituyendo este valor, nos queda A como función de : A./ D [ :5 D :5 1 C ) C ] 8 D :5 C 1 C ) : 8 1 C ) : 8 1 ) D 4 Ejemlo.8.11 Un cordel de 10 m de largo se corta en dos artes; con una de ellas se forma un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. Si es la longitud del lado del triángulo, erese la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo área total encerrada) en función de.

9 9.8 Modelando con funciones 9 Consideramos la figura siguiente A C B Si el unto C es donde cortamos el cordel AB en edazos entonces AC C CB D AB D 10. Si con el edazo AC formamos un triángulo equilátero con lados de longitud entonces AC D. De lo cual se desrende que CB D 10. Con el edazo CB formamos un cuadrado con lados de longitud l c D Las figuras corresondientes son /. l c D 1.10 / 4 Calculamos la altura del triángulo equilátero, mediante el teorema de Pitágoras. = Tenemos: El área del triángulo es El área del cuadrado es D A c D l c D ) D 1 4 D A t D D 1 D 4 D 4 : [ ] 1.10 / D / : :

10 10 10 Cálculo Diferencial e Integral I El área total de los olígonos es Es decir, que es la función deseada. A D A t C A c D A./ D 4 C / : 4 C / ; Ejemlo.8.1 La iscina mostrada en la figura tiene m de rofundidad mínima y 6 m de rofundidad máima, 40 m de largo, 0 m de anco y el fondo es un lano inclinado. Eresar el volumen V del agua contenida en la iscina en función de la altura del nivel del agua desde la arte más rofunda de la iscina. 0 m 40 m m m araleleíedo 4 m risma Primero observamos que la iscina está conformada or dos secciones diferentes: en los rimeros metros de rofundidad se tiene un araleleíedo recto rectangular una caja de caras rectangulares) y en la arte restante se tiene una forma de risma con caras rectangulares y triangulares. Qué se ide en el roblema? Eresar el volumen V del agua contenida en la iscina cuando ésta no está necesariamente llena) en función de la altura, medida a artir de la arte más rofunda de dica iscina. Qué datos se dan en el roblema? Los que se ven en la figura. Para resolver este roblema suongamos que la iscina está inicialmente vacía y que la estamos llenando. 1. En una rimera etaa vemos lo siguiente: 0 m 40 m m

11 11.8 Modelando con funciones 11 La sección vertical de la figura anterior es 40 m m 4 m En la figura anterior vemos la orción de la iscina que está llena de agua arte sombreada) y que tiene un volumen V 1. Proonemos dos formas de calcular dico volumen: a. V 1 es igual a la mitad del volumen del araleleíedo que tiene or base el rectángulo de lados & 0 m y altura, es decir, V 1 D 0. b. V 1 = área del triángulo rectángulo de catetos, )ancura de la iscina)= 0. Es decir: V 1 D 10: En la figura anterior vemos una royección de la iscina donde, or semejanza de triángulos, se cumle que D 40 4 ) D 10 ) D 10: Entonces, V 1 D 10 D 10.10/ D 100 : Es decir: V 1./ D 100 ara 0 4. Nótese que el volumen de todo el semiaraleleíedo es V D V 1.4/ D V 1. D 4/ D 100.4/ D / D m :. En una segunda etaa, cuando el semiaraleleíedo ya fue rebasado or el agua, vemos lo siguiente:

12 1 1 Cálculo Diferencial e Integral I 0 m 40 m 4 m Aora la orción de la iscina llena de agua está conformada or el semiaraleleíedo que tiene un volumen V D m y or un araleleíedo recto rectangular con una altura igual a 4 y un volumen V c dado or V c D.largo/.anco/.altura/ D.40/.0/. 4/I V c D / D : Entonces, el volumen de toda la orción de la iscina que está llena de agua es V D V C V c D C / D : Es decir: V./ D 800. / ara 4 < 6.. Por lo tanto el volumen V en función de es { 100 si 0 4I V./ D 800. / si 4 6: Ejemlo.8.1 Una barra metálica AD de longitud ` está formada or tres orciones: AB, BC y CD, de longitudes `1, `, ` donde `1 C ` C ` D `) y con densidades lineales de masa cantidad de masa or unidad de longitud) 1,,, resectivamente. Si AP es una orción de longitud variable) y masa M variable), eresar M en función de. Qué se ide en el roblema? Eresar la masa de una orción cualquiera de la barra metálica en función de la longitud de dica orción. Es decir, dado un edazo AP de la barra metálica) de longitud, eresar la masa M de dico edazo en función recisamente) de. Para encontrar una eresión de la masa M debemos tomar en cuenta la longitud de la orción considerada; or qué? Porque uede suceder cualquiera de los tres casos siguientes: 0 `1 o bien `1 < `1 C ` o bien `1 C ` < `: Considerando que la densidad lineal de masa es la cantidad de masa or unidad de longitud, entonces la masa de un edazo de alambre con densidad lineal constante) es igual al roducto de su densidad or su longitud; es decir la masa del edazo de alambre está en función de su longitud. Por esto, ara un edazo de alambre de longitud sucede lo siguiente:

13 1.8 Modelando con funciones 1 1. Si 0 `1, entonces la masa del edazo de alambre) es M 1./ D 1.. Si `1 < `1 C `, entonces la masa es M./ D 1 `1 C. `1/.. Si `1 C ` < `, entonces la masa es M./ D 1 `1 C ` C Œ.`1 C `/. Por lo tanto, la masa M de una orción de alambre de longitud es la función 1 si 0 `1I M./ D 1`1 C. `1/ si `1 < `1 C `I 1`1 C ` C Œ.`1 C `/ si `1 C ` < `: Ejercicios.8.1 Soluciones en la ágina Las dimensiones de un rectángulo ueden variar, ero no su área que debe ser de A cm. Considerando que uno de sus lados mide cm, eresar el erímetro P del rectángulo en función de.. El erímetro de un rectángulo debe ser P cm. Eresar el área A del rectángulo en función de la longitud y de uno de sus lados.. Las dimensiones de un araleleíedo caja con caras laterales rectangulares) ueden variar, ero no su volumen que debe ser igual a V m. Considerando que la caja tiene base cuadrada con lado de longitud igual a m, eresar el área A de la suerficie total del araleleíedo en función de. 4. Una caja con base y taa cuadradas tiene una suerficie de área A cm. Eresar el volumen V de la caja en función de la longitud de uno de sus lados. 5. a. Erese el área A de un cuadrado en función de su erímetro P. b. Erese el erímetro P de un cuadrado en función de su área A. 6. a. Erese el área A de un círculo en función de su erímetro C. b. Erese el erímetro C de un círculo en función de su área A. 7. a. Erese el área A de un triángulo equilátero en función de la longitud s de uno de sus lados. b. Erese el área A de un triángulo equilátero en función de la longitud de la altura. 8. Erese el volumen V de un cubo en función del área A de su base. 9. Una caja con base y taa cuadradas de lado tiene una suerficie total de 600 m. Eresar el volumen V de la caja como función de.

14 14 14 Cálculo Diferencial e Integral I 10. Una ecera de 1:5 ies de altura tiene un volumen de 6 ies cúbicos. Si es el largo de la base, y su anco es y: a. Determine y como función de. Además grafique esta función. b. Encuentre la cantidad de material necesario, en ies cuadrados, ara construir la ecera en función de. 11. Un envase cilíndrico tiene una altura igual al trile del radio r. a. Determine la suerficie del envase, considerando sus dos taas, en función del radio. b. Si se desean fabricar envases cuyos radios están entre y 5 dm, cuál es la resectiva variación de volumen de los envases? 1. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos adosados a dos de sus lados ouestos. Si el erímetro del terreno es de 800 m, allar el área A del terreno en función de la longitud ` de uno de los lados del rectángulo. 1. Una lata tiene caacidad de 1 dm y forma de un cilindro circular recto. Erese el área de la suerficie de la lata como función de su radio. 14. Un granjero disone de 00 m de valla ara cercar dos corrales adyacentes véase figura). Eresar el área A encerrada como función de y 15. Una caja cerrada, en forma de cubo, va a construirse con dos materiales diferentes. El material de las caras laterales cuesta.5 esos or centímetro cuadrado y el material de la base y la taa cuesta esos or centímetro cuadrado. Erese el costo total C de la caja en función de la longitud de uno de sus lados. 16. Un avión vuela a una velocidad de 50 millas/, a una altitud de una milla y asa directamente sobre una estación de radar en el instante t D 0. a. Erese la distancia orizontal d en millas) que el avión recorre como función del tiemo t. b. Erese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d. c. Alique la comosición de funciones ara eresar s como función de t.

15 15.8 Modelando con funciones Una ventana inglesa tiene la forma de rectángulo coronado con un triángulo equilátero. Si el erímetro de la ventana es de 0 m, erese el área de la ventana en función de su anco. 18. Se va a construir una cisterna rectangular con base y taa cuadradas ara almacenar ies de agua. El concreto ara construir la base y las caras laterales tiene un costo de $100:00 or ie y el material ara construir la taa cuesta $00:00 or ie. Obtenga el costo de la construcción de la cisterna en función de la longitud del lado de la base. 19. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos artes. Una de ellas se dobla ara formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. Obtener el área de ambas figuras como función del lado del cuadrado. 0. De una ieza rectangular de cartón que mide 44 cm de largo y 19 cm de anco se va a construir una caja sin taa. Se cortarán 4 cuadrados de cm de lado, como se muestra en la figura, y luego se doblará sobre las líneas unteadas ara formar la caja. Erese el volumen de esta caja como función de. 44 cm 19 cm 1. Considerando las escalas Celsius y Fareneit ara medir temeraturas, se sabe que 0 ı C corresonde a ı F y que 100 ı C a 1 ı F. Deducir la fórmula de transición de una escala a la otra, es decir eresar ı C en función de ı F, así como ı F en función de ı C.. Un viaje subsidiado or una escuela costará a cada estudiante 150 esos si viajan no más de 150 estudiantes; sin embargo el costo a agar or estudiante se reduciría 5 esos or cada uno más que se inscriba al gruo de los 150. Erese los ingresos brutos recibidos or la escuela en función del número de inscritos a dico viaje.. El costo de un viaje en tai es de 4:80 esos or el rimer kilómetro o arte del rimer kilómetro) y de 0 centavos or cada 100 metros subsiguientes. Erese el costo de un viaje como función de la distancia recorrida en kilómetros) ara 0 < < ; además grafique esa función.

16 16 16 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios.8.1 Modelando con funciones, ágina 1 1. P./ D C A ).. A.y/ D P ) y y.. A./ D C 4V. 4. V.w/ D A 4 w 1 w. 5. A.P / D 1 4 P ; P.A/ D 4 A. 6. A.C / D 1 4 C ; A C.A/ D. 7. A.s/ D 4 s ; A./ D V D 9. V D 10. y D 4 ; y A 1 ) D A D A. 00 : 1. A D l l ). 1. A.r/ D r C r. 14. A./ D.00 4/ 15. C./ D 16 esos. 16. d D 50t; s D 1 C d ; s.t/ D 1 C.50t/. 17. A D 15 C 6 C : C./ D 00 C /.5 / 19. A 4 D. 0. V./ D 4 16 C 86 cm. 1. T C D 5 9.T F /I T F D 9 5 T C C.. I.n/ D { 150n si n 150I.180 n/5n si n > 150 :. C./ D 4:80 C n.0:0/ si 1 C n.0:1/ < 1 C.n C 1/.0:1/. y A D C 4 ) C 4 ies. 7:5 4:8 11. S.r/ D 6r C r D 8r ; V.r/ Œ81; 75. 1:1

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