APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

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1 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES Mucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. Considere un recipiente lleno de agua asta una altura. Suponga que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal a, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Sea (t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es: v g () donde g es la gravedad. La ecuación () representa la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua asta el agujero. En condiciones reales, ay que tomar en cuenta la contracción que sufre un corro de agua en un orificio, por lo que se tendrá v c g () donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre y ( < c < ). OBSERVACIÓN Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área a del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es dv a v () dt sustituyendo la ecuación () en la ecuación () dv a c g () dt Si A() denota el área de la sección transversal orizontal del tanque a la altura, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene V A () derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo d

2 6 dv d A() () dt dt Comparando las ecuaciones () y () d A () ac g (6) dt Sean la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, a el área del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y A() el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es d A () ac g dt Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial para el tiempo t, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo. Si, además, ay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es d A () Q ac g dt UNIDADES Y NOTACIONES Elemeto Notación Unidades Altura (t) cm mt pies Volumen V (t) cm mt pies Tiempo t seg seg seg Gravedad g 9 cm/seg 9, mt/seg pies/seg Área del orificio a cm cm pies de salida Área de la sección A() cm cm pies Transversal Coef. de descarga c Sin Unidades

3 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES 7. Un cilindro recto circular de pies de radio y pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro Cuándo se vaciará todo el tanque? SOLUCIÓN: pies La ecuación diferencial asociada a los problemas de Vaciado de tanques es A() d a c g dt () pies Fig. El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de pulgada, por lo tanto el radio es / pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, utilizando la equivalencia de pulgada pies y puesto que el área del orificio de salida es el área de radio ), resulta que el área a del orificio de salida es a 76 pie una circunferencia ( El coeficiente de descarga c no está dado por lo tanto se asume c y la gravedad es g pies/seg Para determinar A(), que es el área de la sección transversal del tanque en función de la altura, obsérvese en la Fig. que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r pies. Por lo tanto, el área de la sección transversal es la misma, independientemente de la altura a la cual se efectúe el corte. Así, A() ( ) pies Sustituyendo a, c, g, y A() en la ecuación () d 76 multiplicando por y simplificando 6 dt 76 d dt () 7

4 La ecuación () es la ecuación diferencial asociada al problema; la misma debe resolverse sujeta a la condición que para el tiempo t seg, la altura inicial es pies, pues en el enunciado se dice que el tanque esta totalmente lleno. La ecuación diferencial () es una ecuación diferencial de variables separables. Para 7 separar las variables, la ecuación (), se multiplica por el factor 7 d dt integrando d 7 dt () Ambas integrales son inmediatas d / / d + k dt t + k sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación () t + k () Para determinar el valor de la constante k de integración, se usa la condición inicial, esto es, se sustituye en la ecuación () t seg y pies, resultando k. Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación () t multiplicando por y elevando al cuadrado t (t) () La ecuación () es la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual deja de aber líquido en el tanque, se debe sustituir en la ecuación () t 69,7 Luego el tanque se vacía en un tiempo t 69,7 seg, es decir, 7 min 9 seg

5 . Un tanque tiene la forma de un cubo de pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el fondo del tanque, de pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque está inicialmente lleno asta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) Cuándo estará a la mitad de su capacidad? b) Cuándo estará vacío? SOLUCIÓN: 9 a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es A() d a c g dt () l pies pies Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que pulg / pies, entonces aciendo la conversión, el área orificio de salida será a pulg (/) pies /7 pies pies pies Fig. El coeficiente de descarga es c y la gravedad g pies/seg Como puede observarse en la Fig, las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de lados constantes e iguales a pies, independientemente de la altura a la cual se efectúa el corte, por lo tanto, el área de las sección transversal será A() pies Ya que las secciones transversales son de área constante y puesto que el tanque está inicialmente lleno asta / de su capacidad, resulta que la altura inicial será igual a / de la altura total. Así, como la altura total del tanque es t pies, entonces la altura inicial es / t 9 pies. Sustituyendo A(), a, c y g en la ecuación () d 6 dt 7 7 dt simplificando d 9 dt () La ecuación () es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de tanque planteado y debe resolverse sujeta a la condición () 9 pies. La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las 9 variables se multiplica la ecuación () por el factor 96 d dt integrando

6 d 96 dt () Ambas integrales son inmediatas d d + k dt t + k sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación () 9 t + k () Para determinar el valor de la constante k de integración se usa la condición inicial () 9, esto es, se sustituye en la ecuación () t seg y 9 pies, resultando k Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación () - 9 t 7776 multiplicando por y elevando al cuadrado 9 (t) t () 9 La ecuación () es la ley de variación de la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t Se quiere determinar el tiempo para el cual el volumen de líquido en el tanque es igual a la mitad de su capacidad; es decir, cuando la altura de líquido en el tanque es igual a 6 pies. Para ello, se sustituye 6 pies en la ecuación () elevando a la / Multiplicando por ( ) t 9 6 t 9 t sumando y multiplicando por 9 t 9 ( 6 ) ,,6 De aquí que, debe transcurrir un tiempo t,6 seg min seg, para que el tanque se vacíe asta la mitad de su capacidad.

7 Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para que la altura de líquido en el tanque sea cero, se sustituye en la ecuación () y se busca t elevando a / multiplicando por ( 9 ) despejando t t 9 t 9 t 7776 t 7776 seg Luego, deben transcurrir 7776 seg, es decir, oras 9 min 6 seg, para que el tanque se vacíe totalmente.. Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R, vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si H pies, R pies, a pulg y c,6 SOLUCIÓN: R pies La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es A() d a c g dt () r r H pies El área de orificio de salida es a pulg pero como las dimensiones del tanque están dadas en pies, ay que realizar la conversión. Puesto que pulg / pies, entonces a pulg pies pies Fig. El coeficiente de descarga es c,6 y la gravedad es g pies/seg Según puede observarse en la Fig., las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio varía dependiendo de la altura a cual se efectúe la sección transversal. Sea la altura a la cual se efectúa el corte y r el radio de la circunferencia. El área de la sección transversal es variable y está dada por A() r () Para expresar r en función de, debe acerse una abstracción, en el sentido de visualizar el tanque, no como un sólido, sino como una figura plana. Observando el tanque de frente como una figura plana se ve tal y como se muestra Fig.

8 Si se ubican los ejes coordenados de tal forma que el vértice del cono coincida con el origen del sistema de coordenadas, entonces se tiene una figura simétrica respecto del eje y, tal y como se muestra en la Fig. altura pies pies r pies r radio Fig. Fig. Por simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulo Por semejanza de triángulos (ver Fig. ) se tiene entonces la siguiente relación de proporción r despejando r r sustituyendo la ecuación () en la ecuación () A() Sustituyendo A(), a, c y g en la ecuación () 6 d 6 dt multiplicando por d dt () () La ecuación () es la ecuación diferencial asociada al vaciado de tanque planteado en este problema y debe resolverse sujeta a la condición inicial que para el tiempo t seg, la altura es pies, esto es () La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica por el factor d dt

9 integrando d dt () Ambas integrales son inmediatas d / d / d dt t + k sustituyendo los resultados de as integrales en la ecuación () efectuando operaciones / t + k / + k / t + k (6) Para determinar el valor de la constante k de integración se usa la condición inicial (), esto es, se sustituye en la ecuación (6) t seg y pies, resultando / k. Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación (6) / / t (7) multiplicando por y elevando a la / (t) t / / () La ecuación () es la ley de variación de de la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t El tiempo de vaciado total se obtiene cuando la altura de líquido en el tanque es pies. Sustituyendo este valor en la ecuación (7) / t despejando t / t 6, seg De aquí que, el tanque demora en vaciarse 6, seg, es decir, min seg

10 . Una taza emisférica de radio R está llena de agua. Si ay un pequeño orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado SOLUCIÓN: R La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: A() d a c g dt () R Rr Como el radio de la taza emisférica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de líquido en el tanque es R, tal y como puede observarse en la Fig., es decir, () R. x El orificio de salida tiene radio r, por lo tanto, el área del orificio de salida es a r Fig. Sea c el coeficiente de descarga y g la gravedad. Las secciones transversales del tanque emisférico, son circunferencias de radio variable, según la altura donde se realice la sección transversal. Sea x el radio variable de la sección transversal. Por ser circunferencia, el área es A() x () Se debe establecer una relación entre el radio x y la altura, de tal forma que el área de la sección transversal quede expresada en función de la altura. Observando el tanque de frente como una figura plana y ubicándolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Fig.. Puesto que la Fig. resultante es simétrica respecto del eje y, será suficiente trabajar con la mitad de la figura. R R altura R x R radio Fig. R R El triángulo que se forma, tiene como base el radio.x,..altura.. ( R ).e.. ipotenusa R. x Fig Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la Fig. R x + ( R )

11 desarrollando R x + R - R + simplificando x R () sustituyendo la ecuación () en la ecuación () A() ( R ) () Aora se sustituyen A() y a en la ecuación () ( R ) d r c g dt () La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuación () por el factor r c g ( R ) d dt (6) r c g A partir de la ecuación diferencial () y sabiendo que para el tiempo t la altura es R, se debe determinar el tiempo de vaciado t v, esto es el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque es cero. Se plantea así, el problema de valor de frontera R d r c g () R (t ) v dt Integrando la ecuación diferencial (6) de forma definida: el tiempo varía entre t y t t v (t v tiempo a determinar) la altura varía entre R y r c g R v t R d dt (7) Resolviendo las integrales definidas R R d R R d R R R / d + / d

12 6 /R / R + / v t /R t v / dt t / R + t v sustituyendo los resultados de las integrales en al ecuación (7) / R t v r c g / R / R Por lo tanto, el tiempo que demora en vaciarse el tanque es t R r c R g. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al acer girar la curva y x / alrededor del eje y. Siendo las :7 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es pies. Una ora más tarde la profundidad del agua a descendido a la mitad. Determine a) A qué ora estará vacío el tanque? b) A qué ora quedara en el tanque % del volumen de líquido inicial? SOLUCIÓN: mt 6, mt r Fig. a) La curva y x / que se ace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vértice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la máxima profundidad de líquido en el tanque, esto es, y, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x () / 6,. En la Fig. se muestra la forma aproximada del tanque La ecuación diferencial asociada a un problema de vaciado de tanque es A() d a c g dt () El coeficiente de descarga es c y la gravedad es g pies/seg. El área a del orificio de salida debe determinarse. Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo tanto, el área de las secciones transversales es A() r ()

13 El radio r debe expresarse en función de la altura. Para ello debe observarse el tanque como una figura plana, vista desde el frente. La Fig. muestra la curva plana y x / 7 altura 6, y x / Observe en la Fig. que el punto P(r, ) pertenece a la curva y x / ; esto quiere decir que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la curva. r P (r,) Sustituyendo x r, y r / Despejando r r / () radio Fig. sustituyendo la ecuación () en la ecuación () A() / Una vez que el área de la sección transversal del tanque a quedado expresada en función de la altura, se sustituyen A(), c y g en la ecuación () / d a 6 dt () La ecuación () es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que para el tiempo t seg, la altura es pies; la segunda condición es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para t 6 seg, la altura de líquido en el tanque a descendido a la mitad, esto es, 6 pies. Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor de frontera / d a dt () (6) 6 La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuación () por el factor 6 / d a dt () integrando definidamente; el tiempo varía entre t seg y t 6 seg; la altura varía entre pies y 6 pies

14 6 / d 6 a dt (6) Resolviendo las integrales 6 / d 6 / d / dt t 6 o sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) ( ) 6 a multiplicando por simplificando 6 7 a 6 a Este valor que se obtuvo para a (área del orificio de salida) se sustituye en la ecuación () / d dt 6 multiplicando por 6 y simplificando d dt (7) Se pide determinar el tiempo t v que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque se ace cero. Para ello se debe resolver el problema de valor de frontera d dt () (t ) v

15 9 La ecuación diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t seg y t t v ; la altura varía entre pies y pies d Resolviendo las integrales defindas / d d 7 v t /v t dt t t v sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación () t v ( 7 ) v t dt () De aquí se tiene que, el tanque demora en vaciarse t seg, lo que equivale a ora y min. Si el proceso de vaciado se inicio a las :7 am, entonces para saber a que ora el tanque estará vacío, debe sumarse el tiempo de vaciado t v a las :7. Luego, el tanque estará vacío a las :7 pm. b) Para saber a que ora queda en el tanque el % de su capacidad, se debe comenzar por establecer cual es la altura de líquido en el tanque cuando resta el % de su capacidad. Como se conoce la altura inicial de líquido en el tanque, el volumen total se determina por el método del volumen por secciones transversales / V A() d / d / ( ) luego el % del volumen total es / / % V ( ) ( ) Conocido el volumen cuando resta el % de líquido en el tanque, utilizando el mismo método por secciones transversales, se podrá determinar cual es la altura de líquido en el tanque en este caso /

16 sustituyendo A() y % V % V / ( ) % A () d % d (9) / Resolviendo la integral definida % /% / / / d ( % ) sustituyendo el resultado de la integral en la ecuación (9) / ( ) / ( % ) multiplicando por elevando a / % / ( ) % / ( ) / ( ) 6,9 Una vez conseguida la altura de líquido en el tanque cuando queda el % del volumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esa altura. Para ello debe resolverse el problema de valor de frontera d dt () (t% ) / ( ) La ecuación diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t seg y t t % ; la altura varía entre pies y pies / ( )

17 ( ) / d t % dt () Resolviendo las integrales defindas ( ) / / d d / ( ) / ( ) 7 + t % t% / dt t / ( ) t % 7 +,7, sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación () t % (,) 6,66 De aquí se tiene que, el tanque demora t 6,66 seg en vaciarse asta el % de su capacidad inicial, lo que equivale a min y 6 seg. Si el proceso de vaciado se inicio a las :7 am, entonces para saber a que ora el tanque tendrá sólo el % de su capacidad, ay que agregar a las :7 los min y 6 seg. Luego tendra el % de su capacidad a las ::6 pm 6. El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforación circular de área cm ubicada en la base inferior del depósito. Si se a establecido el coeficiente de descarga c,7 y la gravedad es g m/seg mt mt r mt mt Fig.

18 Determine: a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al,7% de su capacidad b) Tiempo de vaciado total del tanque SOLUCIÓN: La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es A() d a c g dt () El área del orificio de salida es a cm, pero como las dimensiones del tanque están en metros debe efectuarse la conversión. Puesto que cm, mt mt, entonces a cm ( cm ) ( - mt) - mt. En el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga c 7. - y la gravedad g mt/seg Según puede observarse en la Fig., las secciones transversales son rectángulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a y los otros dos lados de longitud variable r. El área de la sección transversal es entonces A() r () Debe expresarse la longitud r en función de la altura. Para ello si se observa el tanque de frente, como una figura en un plana, ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se verá como lo muestra la siguiente Fig. mt y r mt (,) P(r,) (,) x mt Fig. Obsérvese que el punto P(r,) pertenece a la recta que pasa por los puntos (, ) y (, ). La pendiente la recta es m La ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) (o (, )) y tiene pendiente es L: y ( x ) Ya que el punto P (r, ) pertenece a la recta L entonces satisface la ecuación de dica recta, por lo tanto sustituyendo x r, y ( r ) despejando r r + () Sustituyendo la ecuación () en la ecuación (), se tiene el área de la secciones transversales en función de la altura

19 A() ( + ) Aora se sustituyen A(), a, c y g en la ecuación () ( + ) d. 7. dt simplificando ( + ) d 7. 7 / dt () La ecuación diferencial () es una ecuación diferencial de variables separables y debe resolverse sujeta a la condición de que la altura inicial de líquido en el tanque es mt, es decir, (). Para separar las variables, la ecuación ( ) debe multiplicarse por el factor 7 / 7 7. d dt 7 / integrando 7. 7 Ambas integrales son inmediatas d / d + / d / / d dt () / + / + k dt t + k sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación () 7. / / t + k (6) 7 Para determinar el valor de la constante k de integración se usa la condición inicial (), esto es, se sustituye en la ecuación (6) t seg y mt, 7. k / / ( ) 7 7. / este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación (6) 7. 7 / / 7 t.

20 despejando t t / / (7) La ecuación (7) representa la relación funcional entre altura y tiempo. Ya que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en el tanque quede solo el,7% del volumen total de líquido, para usar la ecuación (7) será necesario conocer la altura de líquido en el tanque, cuando en este queda el,7% del volumen total. Se comienza por determinar el volumen total de líquido en el tanque. Como el tanque se encuentra lleno, la altura total de líquido en el tanque coincide con la altura inicial. Aplicando el método de las secciones transversales para allar el volumen total V A () d ( ) d d + d + / 6 + / Así, el volumen total de líquido en el tanque es V mt. Luego, el,7% del volumen total es (,7 ) ( ) 9,7% V 9 Aora, usando la misma ecuación anterior para calcular volumen, se puede establecer cual será la altura del líquido en el tanque, si se sabe que el volumen es 9,7% V 9 mt sustituyendo los datos,7% V A () d 9 ( ) d ( / + ) ( ) + se tiene entonces una ecuación de segundo grado en ( ) + 9 Resolviendo la ecuación de segundo grado () () ( 9) ()

21 de donde resulta 9 y Ya que debe ser positivo, pues representa una altura, el valor 9 se descarta, por lo tanto, la altura de líquido en el tanque cuando el volumen es de,7% del volumen total es mt. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque asta,7% del volumen total, será suficiente con sustituir mt en la ecuación (7) 7. 6 t 677,9 7 Así, el tanque demora en vaciarse asta el,7 % del volumen total t 677,9 seg oras min 7 seg día oras min 7 seg. b) Para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, cuando la altura de líquido en el tanque es cero, se sustituye en la ecuación (7) t v,7 7 Así, el tanque demora en vaciarse totalmente t,7 seg 9 ora 7 min seg días oras 7 min seg 7. El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un %: El líquido escapa por un orificio de cm de área, situado en el fondo del tanque. Determine a) Tiempo de vaciado total b) Tiempo para que el volumen de líquido en el tanque descienda mt SOLUCIÓN: mt mt mt L M mt mt Fig

22 6 La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es A() d a c g dt () El coeficiente de descarga es c ; la gravedad es g 9, mt/seg El área del orificio de salida está dado en cm, pero como las dimensiones del tanque están dadas en mt, debe realizarsela conversión a una sola unidad, Así a cm. mt Según se muestra en la Fig., las secciones transversales del tanque son rectángulos, cuyo lados varían en función de la altura a la cual se efectúe la sección transversal, sean L y M las longitudes de los lados. Entonces el área de la sección transversal es A() L M () Se deben expresar ambos lados ( L y M ) en función de la altura. Si se observa el tanque por una de sus caras y se considera una figura plana, ubicándola en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se obtiene lo que se muestra en la Fig.. y Como puede observarse la Fig. es simétrica respecto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer la relación entre L y se trabaja con la mitad del trapecio que se forma, como se muestra en la Fig. mt y mt mt x L mt Fig mt L / / mt x Fig Se puede obtener la relación entre L y, a través de la recta que pasa por los puntos (/, ) y (, ), recta a la cual pertenece el punto (L/, ). Sin embargo, se mostrará otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relación. Observe que la Fig. se forma con un rectángulo y un triángulo. Considérese el triángulo. En la Fig. se indican las dimensiones de los lados de dico triángulo. Si se aplica semejanza de triángulos a los dos triángulos de la Fig.

23 7 mt mt L simplificando despejando L L L mt L + () Fig. Aora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a la anterior. La figura plana que se observa, resulta igual a la de la Fig., lo que varía son las dimensiones de las aristas, tal y como se muestra en la Fig. y Como puede observarse la Fig. es simétrica respecto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer la relación entre M y se trabaja con la mitad del trapecio que se forma mt y mt mt x M mt Fig mt M / mt x Fig 6 Se puede obtener la relación entre m y, a través de la recta que pasa por los puntos (/, ) y (, ), recta a la cual pertenece el punto (L/, ). Sin embargo, se mostrará otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relación. Observe que la Fig 6. se forma con un rectángulo y un triángulo. Considérese el triángulo. En la Fig. 7 se indican las dimensiones de los lados de dico triángulo. Si se aplica semejanza de triángulos a los dos triángulos de la Fig. 7 mt mt mt M mt Fig. 7 simplificando despejando M M M M 6 + ()

24 Las ecuaciones () y () se sustituyen en la ecuación (), resultando que el área de la sección transversal del tanque en función de la altura es A() Sustituyendo A(), a, c y g en la ecuación () 96 d 7. dt () La ecuación () es la ecuación diferencial asociada al problema y debe resolverse sujeta a la condición (), es decir, para el tiempo t seg la altura es mt La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables se debe multiplicar dica ecuación por el factor. 9,6 96 d. 9,6 7 dt efectuando las operaciones ( 96 )d dt (6) 6 9,6 A partir de la ecuación (6) debe determinarse el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque es mt. Para ello se integra de forma definida la ecuación (6): el tiempo varía de t seg a t t v ; la altura varía de mt a mt v t ( 96 )d dt (7) 6 9,6 Resolviendo las integrales definidas ( 96 )d d 96 d / 6 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) d

25 66,7 v t dt t sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7) /v t t v 9 resolviendo ( 66,7) t v 6 9,6 t v 79,967 Luego, el tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t 79,967 seg oras min seg b) Aora debe determinarse el tiempo t que demora en descender mts la cantidad de líquido en el tanque, con respecto a la altura inicial que es mt, es decir, tiempo para que la altura del líquido en el tanque sea t 7 mt. Para ello, se integra la ecuación (6) en forma definida: el tiempo t varía de t seg a t t ; la altura varía de mt a 7 mt 6 9,6 7 ( 96 ) d t dt () Resolviendo las integrales definidas 7 ( 96 ) d d / 6 6 d d 7 ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( 7 ) 6 ( 7 ) 6 ( 7 ) 66,7 + 7,99-9,67 t dt t / t t 7

26 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación () (-9,67 ) t 6 9,6 resolviendo t, 6 Luego, el tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t, seg oras min seg. Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical acia abajo cuya dimensiones son mt de diámetro y altura mt. El tanque inicialmente esta lleno en su totalidad y el liquido escapa por un orificio de cm de área situado al fondo del tanque. Determine a) Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo un tercio de su capacidad inicial b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente SOLUCIÓN: r a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es A() d a c g d () adas en metros mt Las dimensiones del tanque están dadas en metro, por lo que el área del orificio de salida también debe quedar expresado en metro a cm ( mt ). mt El coeficiente de descarga es c y la gravedad es g 9, mt/seg mt Fig. Como puede observarse en la Fig., las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio r varía de acuerdo con la altura a la cual se efectúe el corte Así, el área de las secciones transversales es A() r () Debe establecerse una relación entre el radio variable r de las circunferencias y la altura. Para ello, debe visualizarse el tanque de frente como una figura plana. Ubicándolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se verá como se muestra en la Fig.

27 6 La ecuación de la curva que gira alrededor del eje y para generar el tanque no está dada explícitamente por lo que debe determinarse. altura P(r, ) La ecuación ordinaria de la parábola de vértice (x, y ), eje el eje y, abre acia abajo y donde p es la distancia entre el vértice y el foco es ( x x ) - p ( y y ) El vértice de la parábola que se muestra en la Fig. es el punto (, ) y pasa por los punto (, ) y (, ). mt r mt radio Fig. Sustituyendo en la ecuación ordinaria de la parábola las coordenadas del vértice y las coordenadas de uno cualquiera de los dos puntos por donde pasa ( ) - p ( ) p p De aquí que, la ecuación de la parábola que se gira alrededor del eje y para generar el paraboloide de la Fig. es x ( y ) () El punto P(r, ), según se muestra en la Fig., es un punto de la parábola. Por lo tato satisface la ecuación de la misma. Sustituyendo x r, y en la ecuación () r ( ) () sustituyendo la ecuación () en la ecuación () A() ( ) ( ) () La ecuación () representa el área de las secciones transversales (circunferencias de radio variable) en función de la altura. Sustituyendo A(), a, c y g en la ecuación () ( ) d. 9,6 dt (6) La ecuación (6) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado planteado, la misma debe resolverse sujeta a la condición inicial (), es decir, para el tiempo t seg la altura es mts (tanque totalmente lleno).

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