BOLA ABIERTA B ( A; r ) se define como el conjunto de todos los puntos P de R n tales que la distancia del punto P al punto A es menor que r, es decir

Transcripción

1 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. 1 DEFINICION: Si A es un punto en R n r es un numero positivo, entonces la BOLA ABIERTA B ( A; r ) se define como el conjunto de todos los puntos P de R n tales que la distancia del punto P al punto A es menor que r, es decir P A < r. En R 1 una bola abierta corresponde a un intervalo abierto. ( ) En R una bola abierta corresponde al interior de un disco. En R una bola abierta corresponde al interior de una esfera. DEFINICION: Si A es un punto en R n r es un numero positivo, entonces la BOLA CERRADA B A; r ] se define como el conjunto de todos los puntos P de R n tales que la distancia del punto P al punto A es menor o igual que r, es decir P A r. En R 1 una bola cerrada corresponde a un intervalo cerrado. [ ] En R una bola cerrada corresponde al interior de un disco junto con su frontera. DANIEL SAENZ C Página 1

2 En R una bola cerrada corresponde al interior de una esfera junto con su frontera. DEFINICION. Sea f una función de n variables la cual esta definida en alguna bola abierta B ( A ; r ) ecepto posiblemente en el punto A mismo. Entonces el limite de f( P ) cuando P se aproima a A es L se escribe f ( P) L si A para cualquier >, no importando que tan pequeño, eiste un > tal que f( P ) L siempre que < P A. DEFINICION: Si f es una función de dos variables la cual esta definida en cualquier disco abierto B ( (, ) ; r ) ecepto posiblemente en el punto (, ) mismo, entonces f, L, si para cualquier >, no, importando que tan pequeño, eiste un > tal que f(, ) L siempre que <. (,, f(, ) ) (,, ) DANIEL SAENZ C Página

3 PROPIEDADES DE LOS LIMITES EN DOS VARIABLES Los limites de las funciones en dos variables, cumplen las mismas propiedades que los limites de las funciones en una variable. Es decir: Si L M son dos números reales f, L, ;, siguientes reglas son validas: a) Regla de la suma:, b) Regla de la resta:, c) Regla del producto,,,, d) Regla del producto por un escalar, e) Regla del cociente,,, g, M,, entonces las f, g, L M f, g, L M f, g, L M k f, k L f g f) Regla de la potencia:, sea un numero real.,,,, L M ; M n f, m n L m, siempre que m n L EJEMPLO: Encontrar los siguientes limites:,,1 5,,1 5,, DANIEL SAENZ C Página

4 ,,,,1,,,,,,,, DANIEL SAENZ C Página

5 5 ACTIVIDAD: ENCONTRAR LOS SIGUIENTES LIMITES. 5,,, 1,1, 1, ,,,, 5 Ln, 1,1,,,,,, LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS PARA LA NO EXISTENCIA DE UN LIMITE. Si una función f(, ) tiene diferentes limites a lo largo de dos traectorias diferentes cuando (, ) tiende a (, ), entonces, f,, no eiste. Ejemplo:,, encuentre Para encontrar el limite de la función buscamos dos traectorias de acercamiento al punto (, ). DANIEL SAENZ C Página 5

6 6 Sea S 1 La traectoria de acercamiento a través de la recta = : Luego:,,,, a lo largo de 1 Sea S la traectoria de acercamiento a través de la parábola =.,,,, a lo largo de 1 Como la función tiene limites diferentes a lo largo de las dos traectorias, se tiene que,, no eiste. EJEMPLO : Encuentre,, Sea S la familia de curvas de acercamiento a través de las parábolas = k,.,,, k, a lo largo de k k k k k k 1 k DANIEL SAENZ C Página 6

7 7 El limite anterior depende del valor que tenga k. así : Si (, ) se acerca a (, ) a través de la parábola =, el valor de k = 1 el limite es:,, a lo largo de Pero si se acerca a través de la parábola =, el valor de k = el limite es:,, 1 5 a lo largo de Con lo que el,, traectorias. no eiste de acuerdo a la prueba de las dos ACTIVIDAD: DETERMINE LOS SIGUIENTES LIMITES APLICANDO LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS.,,,,,,,,,,,, DANIEL SAENZ C Página 7