Sea f una función numérica cualquiera, definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto x. y x, se define como

Transcripción

1 Modulo 3 La derivada 1. Variación promedio Sea f una función numérica cualquiera, definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene al punto. Consideremos un pequeño incremento,, de la variable independiente, de manera que +, ( a, b). La variación o incremento de f entre, se define como f f ( ) f ( ) f ( + ) f ( ) La variación o incremento de entre +, se define como La variación promedio de f entre, se mide con el llamado cociente incremental o Cociente de Newton de f en : f f ( ) f ( ) f ( + ) f ( ) Geométricamente la variación promedio de f entre + representa la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (, f( )) ( +,f( + )) f( + ) f( ) + Cuando decrece infinitamente la variación promedio tiende a la variación instantánea de f en el punto. Derivada de f en : se define la derivada de f en se escribe f ( ) a f ( + ) f ( ) f ( ) lim Siempre que el límite eista en tal caso se dice que f es derivable en Geométricamente a medida que decrece, la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (,f( )) ( +, f( + )) se va acercando a la recta tangente a la gráfica en el punto

2 (,f( )). Así, la variación instantánea de f en representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (,f( )): Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en : Dada una función f(), la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa se puede obtener fácilmente. La ecuación de una recta que pasa por el punto (, ) tiene pendiente m es dada por: m( ) + Luego, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa será aquella para la cual f ( ), mf ( ) La función derivada: En lugar de elegir un valor numérico para la variable independiente, podemos trabajar con un valor arbitrario, definiendo así la función derivada, a que depende del valor de, queda definida la función derivada como: f ( + ) f ( ) f ( ) lim, siempre que el límite eista, en ese caso se dice que f es derivable en. La función f se dice derivable si tiene derivada en todos los puntos donde está definida La derivada de f se escribe df df ( ) f ( ) D f d d Ejemplo 1: Sea f()+1, allar f () Calculamos el cociente Newton para un cualquiera, aciendo

3 f ( + ) f ( ) ( + ) + 1 ( + 1) f ( + ) f ( ) Luego, f ( ) lim lim Ejemplo : Sea f(), allar f () Calculamos el cociente Newton para un cualquiera, aciendo f ( + ) f ( ) ( + ) f ( + ) f ( ) Luego, f ( ) lim lim Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) en el punto de abscisa 3. Hemos calculado en el ejemplo la función derivada o simplemente la derivada de luego la pendiente de la recta tangente en 3 será la derivada en 3:, f ( ) f ( ) 4 f (3) 1 m Por lo tanto reemplazando en m( ) + Tenemos 1( 3) + f (3) como f ( 3)18 1( 3) es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en 3. Actividades: 1) Calcular la variación promedio de f entre + de las siguientes funciones: 3 a) f ( ) k b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) ) Sea f ( ), encuentre la ecuación de la recta secante a la gráfica de f en los puntos (1,1) (1+, f(1+)) para los siguientes valores de :

4 ; 1; -1; -. Grafique comente lo que observa. 3) Calcule la variación instantánea de f en de las siguientes funciones: 3 a) f ( ) k b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 4) Sea f ( ), encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1,1). Grafique. -Reglas de derivación: El cálculo de las derivadas utilizando la definición puede resultar engorroso. Sin embargo conociendo ciertas derivadas básicas las reglas de derivación la tarea puede ser más sencilla: Derivadas básicas: 1. f ( ) k f '( ) k constante. f ( ) f '( ) 1 r r 1 3. f ( ) f '( ) r r Q 4. f ( ) sen f '( ) cos 5. f ( ) cos f '( ) sen 6. f ( ) ln 1 f '( ) 7. f ( ) e f '( ) e Observación: en el caso 3, para que eista la derivada en, r debe ser un número tal que esté definida en un entorno del. Las derivadas 6 7 las aceptaremos por aora sin demostración. r 1 Demostración: f ( + ) f ( ) k k 1. f ( ) lim lim f ( + ) f ( ) +. f '( ) lim lim lim 1 r r f ( + ) f ( ) ( + ) 3. f '( ) lim lim usando el binomio de Newton escribimos: r r r r k k r r 1 r k k r r 1 ( + ) C( r, k) + r + C( r, k) + r + P(, ) k k de la última sumatoria emos sacado factor común. Por lo tanto sustituendo en el límite: el resto es una epresión polinómica en r r r r 1 ( + ) + r + P(, ) f '( ) lim lim r 1 r P(, ) r 1 r 1 lim + r + lim P(, ) r

5 4. sen( + ) sen( ) sencos + sen cos sen f ( ) lim lim sen( cos 1) + cos sen sen( cos 1) cos sen lim lim + lim ( cos 1) sen sen lim + cos lim sen. + cos.1 cos Observemos que en este caso pudimos epresar el límite de una suma como suma de los límites porque esos límites eisten. 5. cos( + ) cos( ) cos cos sensen cos f ( ) lim lim cos ( cos 1) sensen cos ( cos 1) sensen lim lim lim ( cos 1) sen cos lim sen lim cos. sen.1 sen Reglas de derivación: Sean f g funciones derivables en : 1. Derivada de la suma de funciones:. Derivada del producto de funciones: 3. Derivada del cociente de funciones: ( f + g) '( ) f '( ) + g '( ) ( f. g) '( ) f '( ). g( ) + f ( ). g '( ) f f '( ). g( ) f ( ). g '( ) Si g( ), entonces ( ) '( ) g [ g( )] 4. Derivada de la composición: ( f g)'( ) f '( g( )). g '( ) a esta regla se la conoce como la Regla de la Cadena. Ejemplos: En los primeros dos ejemplos aplicamos la regla básica de derivación de una potencia: 1) ) si f ( ) f '( ) si f ( ) escribimos f ( )

6 3 3 f '( ) En el siguiente ejemplo aplicaremos la regla de suma de funciones, además de reglas básicas: 3) si f f ( ) + '( ) + 1 En el siguiente aplicaremos la regla del producto de funciones además de reglas básicas: 4) si f ( ) ( + )( + 1) escribimos f ( ) ( + )( + 1) f '( ) ( + )'( + 1) + ( + )( + 1) ' ( + 1)( + 1) + ( + )(1) ( )( + 1) + ( + ) ( ) + ( + ) En el siguiente ejemplo aplicaremos la regla del cociente: 5) si f ( ) + + ( + )'( + ) ( + )( + )' f '( ) ( + ) ( + 1)( + ) ( + )(1) ( + ) ( + ) ( + ) Finalmente veremos un ejemplo con el uso de la regla de la cadena o la regla de derivación para composición de funciones: 6) si f ( ) ( 1) 9 + planteamos a f como una composición de funciones, llamando u( ) ( + 1) t( ) 9 De este modo f ( ) ( t u)( ) t( + 1) ( + 1) 9 Por lo tanto f '( ) t '( u( )). u '( ) 9( + 1). 18 ( + 1) 8 8

7 Actividades: 5) Encontrar la función derivada de las siguientes funciones: a f b g 3 17 ) ( ) ) ( ) c u u u d j t t t t 3 3 ) ( ) ( ) 3 ) ( ) 7 ( ) v v + v e) k( ) f ) m( v) u g) f ( ) π ) g( u) 3 1 u 6) Se dispone de la siguiente información: f (3) 1 g(3) (3) 1 f '(3) 4 g '(3) 6 '(3) 1 Hallar: a)( f + g)'(3) b)( f g + )'(3) c)( fg)'(3) f fg d)( fg ) '(3) e)( )'(3) f )( )'(3) g 7) Hallar la derivada de las siguientes funciones: a f + b g ) ( ) ( 5 11) ) ( ) 5 3 c) ( u) (( u) 3 u) d) j( t) (7 t ( t t)) v v + v e) k( ) f ) m( v) 3 g g sen f tg ) ( ) ) ( ) ( ) 4 V cotg i) f ( ) cos( ) + cos j) f ( ) 1 sen 4 cos k) f ( ) sec 3 sen(4 ) l) f ( ) ln m) g( ) n) k( ) + ln e ) ( ) ln ln(ln ) ) ( ) ln ln( + 1) ñ f o f 8) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en el punto dado:

8 a f en el punto ) ( ) + 1 (1,) b) g( ) 1 en el punto (,1) c) k( ) 3 en el punto (6, ) 4 d) f ( ) + en el punto (, 4) e) f ( ) cos 3 en el punto ( π,) f ) f ( ) 4tg π en el punto (, 4) 8 9) Hallar los puntos en los que las tangentes a la curva eje de las abscisas son paralelas al 1) En qué punto la tangente a la parábola es paralela a la recta ) Hallar la ecuación de la parábola punto (1,1). + b + c que es tangente a la recta en el 1) En qué punto de la curva la tangente es perpendicular a la recta ) Escribir las ecuaciones de la recta tangente perpendicular a la curva en el punto (-,5) ) Escribir las ecuaciones de la recta tangente perpendicular a la curva en el punto cua abscisa es 4. 15) Escribir las ecuaciones de la recta tangente perpendicular a la curva (, -1) 3 1 en el punto 16) Escribir las ecuaciones de las tangentes perpendiculares a la curva ( 1)( )( 3) en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas. 17) Escribir las ecuaciones de la recta tangente perpendicular a la curva 3 cos( π ) + ln en el punto de abscisa Derivadas de orden superior: Dada una función derivable f() definida en un intervalo abierto I, su derivada f () es también una función en ese intervalo. Esta nueva función puede o no ser derivable. Si sucede que también es derivable, entonces su derivada se llama derivada segunda o derivada de segundo orden de f respecto de se denota f ().

9 Sea Ejemplo: 4 3 f ( ) entonces su derivada es f '( ) Y como esta nueva función también es derivable puede calcularse su derivada que representará la derivada segunda de f f ''( ) El proceso puede continuarse mientras la nueva función derivada sea derivable, en general ( n se denota con f ) ( ) a la n-ésima derivada o derivada de orden n, de la función f respecto de la variable, n ( n d f f ) ( ) n d 4- Derivación implícita: Consideremos una curva definida por una ecuación implícita, es decir F(,) Hasta aora emos trabajado con curvas en las que fue posible despejar como función de, en ese caso, decimos que la curva dada es la gráfica de f. Hemos podido de este modo, si f es derivable en respuesta al problema de encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en un punto (, f( )) Sin embargo no siempre es posible o sencillo despejar en función de. qué pasaría entonces si tuviéramos que dar la ecuación de la recta tangente a la curva F(,) en un punto de la misma? Ejemplo: La ecuación + 4 define en forma implícita una circunferencia. Podemos despejar, obteniendo dos funciones: f ( ) e f ( ) Veamos entonces que la curva dada NO ES LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN! En efecto, la gráfica de f 1 es la semicircunferencia superior la gráfica de f es la semicircunferencia inferior. Si tuviéramos como problema el determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto de coordenadas (, ), podríamos pensar solo en el tramo de la curva que corresponde a ( ) f1 4

10 entonces, como antes sabemos que para determinar la pendiente de esa recta basta con calcular la derivada de f 1 en. (Te proponemos que lo agas como ejercicio, así podrás comparar con otra forma que te propondremos de acerlo en las líneas siguientes) Sin embargo no siempre es sencillo despejar en función de, pero aún así podemos pensar localmente a la curva como la gráfica de una función (), de ese modo allar su derivada siguiendo el procedimiento que se conoce como derivación implícita, que nos permite encontrar () aunque no podamos (o no querramos) despejar en función de. Veamos con detalle lo que sigue: Volvamos a la circunferencia de la que ablamos arriba, consideremos su ecuación: + 4. Sabiendo que es localmente una función de, allar la derivada () en términos de e (). Derivamos ambos miembros de la ecuación, sin olvidar que como depende de, será necesario usar la regla de la cadena: d d ( + 4) d d d + o + ' d d de donde o ' d Por lo tanto si quisiéramos allar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto (, ), Tenemos ' 1 Por lo tanto la ecuación de la recta tangente en (, ) es ( ) + -+

11 En este punto estamos en condiciones de demostrar la derivada de la función e : e ln aplicando logaritmo a ambos miembros 1 d 1 d aplicando derivación implícita a ambos miembros respecto de d d d ' e reemplazando por ' por e d Actividades: 18) Hallar las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) (1 ) ) Demostrar que la función: 1 + ' '' ) Demostrar que la función: + + satisface la ecuación diferencial: e satisface la ecuación diferencial: ' (1 ) 1) Dada 5 7, ''' 3 + allar ) Determinar por derivación implícita: a) 3 + b) c)( ) d) cos( ) e)cot g( ) + f ) cos sen g) e + )ln + i) ln + e 1 3)Escribir las ecuaciones de la recta tangente perpendicular a la curva e e + 1 en el punto (,1) 4) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva 5) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva + 7 en el punto (1,) en el punto (1,1) 5 5 6) Hallar las ecuaciones de la recta tangente de la recta perpendicular a la curva + 6 en el o los puntos cua ordenada es 3.

12 7) Usando el eco de que ln e allar (): a) b) ( sen) c) 5- Derivabilidad continuidad: Hemos definido la derivada de una función en un punto como el límite cuando tiende a o del cociente de Newton, siempre que ese límite eista. Los casos donde ese límite no eiste pueden agruparse en 3 grupos: 1) Cuando eisten los límites laterales del cociente de Newton pero son diferentes entre si: f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) f+ ( ) lim f ( ) lim + '( ) '( ) f ( + ) f ( ) lim f ( ) f+ f Ejemplo: f ( ) Analicemos su derivabilidad en f ( + ) f () f+ () lim lim lim f ( + ) f () f () lim lim lim 1 1 Por lo tanto f '() f '() en consecuencia la función no es derivable en + ) Cuando el límite del cociente de Newton tiende a infinito: f ( + ) f ( ) lim ± f ( + ) f ( ) lim f ( ) Ejemplo: f ( ) 3 Analicemos su derivabilidad en 3 1 f ( + ) f () f () lim lim lim lim ± Por lo tanto la función no es derivable en

13 3) Cuando uno de los límites laterales del cociente de Newton eiste el otro tiende a infinito, esto es cuando la gráfica presenta un salto: f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) lim ± lim L + f ( + ) f ( ) lim f ( ) Ejemplo: +1 f ( ) -1 < Analicemos su derivabilidad en f ( + ) f () f+ () lim lim lim f ( + ) f () 1 1 f () lim lim lim Por lo tanto la función no es derivable en Si observamos detenidamente el último ejemplo vemos que la función es derivable en los intervalos (,) (, + ) sin embargo por ser discontinua en la función no es derivable en ese punto. Este resultado es una consecuencia del siguiente teorema: Teorema: Si f es derivable en f es continua en Demostración: f es derivable en f ( + ) f ( ) lim Como lim Por el criterio de eistencia del límite tenemos que : lim f ( + ) f ( )

14 Por lo tanto lim f ( + ) f ( ) Que es una epresión equivalente a decir lim f ( ) f ( ) Por lo tanto f es continua en como queríamos demostrar. Notemos que la epresión del contrarrecíproco del enunciado del teorema (equivalente con él) dice: Si f no es continua en f no es derivable en Es la aplicación del teorema que usamos en el ejemplo del caso 3 de funciones no derivables. Actividades: 8) Dada f() k + < Hallar el valor de k para f resulte derivable en R 9) f() k < Hallar el valor de k para f resulte continua en R. Para el valor de k allado la función resulta derivable en?graficar