SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 239 a 257
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- Juan Godoy Maidana
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1 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Página 9 Página. a) f() 0. a) f() 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,9,99,999,9,99,999,9999 f() b) f() 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),,0,00,000 Por lo tanto: f() f() 0 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),9,99,999,9999 b) f(),,0,00,000 f() El límite eiste y vale. f() 0,9 0,99 0,999 0,9999 f(), 0, f() 0 0, 0,0 0,00 0,000 f(),0689,0066,0006,0000 Por lo tanto: f() 0 f(),,0,00,000 f() 7, El límite no eiste.. Actividad personal, por ejemplo: Página. a) b) f() ; f() No eiste el límite f() 0; f() 0 El límite eiste y vale 0.. a) f() ; 0 f() No eiste el límite 0 de la función cuando tiende a 0. b) f no está definida en 0. c) La representación es la siguiente: Página 6. a) El límite es f() b) El límite es f()
2 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 c) El límite es f() d) El límite es, / f(),,,, e) El límite es, / f(),8,,, Página 7. a) 0 b) 0 c) 9 d) e) 0 f) Como, el límite es /. g) / Página 7 8. a) b) 6 / c) 9 / () d) Página 7 0. a) b) 0 c) ( ) ( ) d) ( )( 6 ) ( )( 6 ) 6 / / 0. a) 0 / / b) e 6 9. a) 0 / 0 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( )( ) 0 ( )( ) 0 El límite no eiste. b) 0 / 0 ) ( ) 0 ( ) Página 0. a) Continua en. f() 0 b) Continua en. f() 0 c) Continua en 0 f(0) d) f() pero f(0) no está definida 0 discontinuidad de primera especie -0
3 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7.. a) f() f() En, la función es continua. f() f() En, tiene una discontinuidad de primera especie de salto finito. b) f() 0 discontinuidad evitable 0 f() 0 f() 0 Discontinuidad de primera especie de salto infinito.. Determinaremos qué valor debemos asignar a f() para que f sea continua en. 6 ( )( ) 8 ( )( ) Por lo tanto, si f(), la función es continua en. 6. f () Tiene una discontinuidad ( )( ) evitable en pero tiene una discontinuidad de primera especie, que no se puede evitar, en. Página Asíntota oblicua y m ; n 0 d) Asíntota vertical no tiene Asíntota horizontal no tiene Asíntota oblicua y m ; n e) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y Asíntota oblicua no tiene f) Asíntota vertical no tiene Asíntotas horizontales y, y f () ; f () Página, si 0. Sí, por ejemplo: f(), si 0 El límite cuando tiende a 0 es 0 pero f(0).. Sí, por ejemplo en la función: f() La función no está definida en mientras que el límite cuando tiende a vale.. Es cuando el valor de f puede llegar a ser tan grande como queramos tomando valores de próimos a a. Es cuando puede llegar a ser tan pequeño como queramos tomando valores de próimos a a. 7. a) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y 0 Asíntota oblicua no tiene b) Asíntota vertical Asíntota horizontal y Asíntota oblicua no tiene c) Asíntota vertical 0 Asíntota horizontal no tiene. Es el valor al que se acerca tanto como queramos la función cuando tomamos valores de suficientemente grandes, límite cuando tiende a, o pequeños, límite cuando tiende a.. (f() ± g()) f() ± g() a a a (c f()) c f() a a (f() g()) f() g() a a a -
4 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 f () f (), donde a a g() g( ) a f() g() g() ( ) a f () a a g() 0 6. Cuando el resultado no tiene sentido, siendo imposible saber cuál es el límite. Las indeterminaciones más comunes son: /, 0 / 0,, 0, 0 0,, 0 7. Una función es continua en un punto a, cuando el límite de la función en a eiste, la función está definida en a y ambos valores coinciden. Una función es continua en un intervalo abierto cuando es continua en todos los puntos del intervalo. 8. Una función polinómica es continua para todos los valores de. Una función racional es continua para todos los valores de ecepto aquellos para los que el denominador se anula. 9. Discontinuidad evitable una función tiene esta discontinuidad en a cuando el límite eiste y es finito pero f(a) es diferente o no eiste. Por ejemplo, la función f() ( ) / ( ) en tiene una discontinuidad evitable ya que para este valor de no está definida, pero el límite eiste y vale 0. Discontinuidad de primera especie los límites laterales en a eisten pero son diferentes o son infinitos. Por ejemplo: una función definida a trozos constantes diferentes tiene discontinuidades de primera especie en los puntos que son frontera de los intervalos de definición. Discontinuidad de segunda especie alguno de los límites laterales en a o bien ambos no eisten. Por ejemplo: f() cos ( / ) en 0. Actividad personal. 0.Si f() ± a es una asíntota vertical de f a Si f() b o bien asíntota vertical de f a f() b y b es una y m n es una asíntota oblicua de f si m y ( f () m) n ( f () m) n. o bien f () f () m y Actividad personal.. a) b) c) No eiste d) e) f) g) 0 h). a) 7 b) 6 c) d) e) f) g) 6 h) i) j). a) b) c) d). a) b) c) d). a) / () / b) / c) 6 / d) 8 / 6 / 6. a) / b) c) 0 d) / -
5 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 e) / f) 7. a) / b) c) 0 d) / e) / f) Página 6 0 ( )( ) 7 8. a) 7 0 ( )( ) 0 ( )( ) 6 b) 0 ( 6)( ) 6 0 ( )( ) c) 0 ( )( ) d). a) ( ) b) () () 6 c) ( / ) 9 d) No eiste el límite cuando tiende a.. a) ( ) ( 0 ) 0 d) 6 8 ( )( )( ) ( )( )( ) El límite cuando tiende a es y cuando tiende a es, por lo tanto, no eiste el límite cuando tiende a. 9. a) / ( ) b) / c) ( ) / / / d) ( ) / 0. a) b) c) 0 ( ) ( 0 ) No eiste el límite cuando tiende a 0. b) e c) ( ) 0 d) 6 e ( ) e e / 6. Las dos funciones son polinómicas y, por lo tanto, son continuas en todos los valores de. -
6 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7. a) Los dos límites laterales en valen y f() la función es continua en es continua en todo el dominio b) Los dos límites laterales en 0 valen y f(0) como los dos trozos son continuos, la función es continua en todo el dominio c) Los dos límites laterales en valen 0 y f() 0 como los dos trozos son continuos, la función es continua en todo el dominio. a) / tiene una discontinuidad en 0 mientras que el límite de la función cuando tiende a es / y cuando tiende a es /. La función es discontinua en 0 y. b) Los límites laterales en valen 0 pero f() no está definida la función es discontinua en. Por otra parte, los límites laterales en también valen 0 y, además, en este caso, f () 0 f es continua en Por lo tanto, la discontinuidad es de primera especie y no se puede evitar. ( )( )( ) 7. f () ( )( ) ( )( ) ( ) 0 Por lo tanto, definimos la siguiente función: f (), si g() 0, si g coincide con f en todos los puntos en los que está definida salvo en, punto en el que f no está definida y g vale 0 /. 8. a) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y 0 b) Asíntotas verticales 0, 6 Asíntota horizontal y c) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y d) Asíntotas verticales 0,, Asíntota horizontal y e) Asíntotas verticales, 9 Asíntota horizontal y f) Asíntotas verticales 0 Asíntota horizontal y 0 9. a) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y Asíntota oblicua No tiene b) Asíntota vertical 0 Asíntota oblicua y / m ; n 0 c) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y Asíntota oblicua No tiene d) Asíntota vertical / Asíntota oblicua y / / m e) Asíntota vertical ; n Asíntota oblicua y m n f) Asíntota vertical 0 Asíntota oblicua y m ; n 0 g) Asíntota vertical Asíntota oblicua y m ; n h) Asíntota vertical -
7 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Asíntota oblicua y m ; n 0. a) Asíntotas verticales, Asíntota horizontal y b) Asíntota vertical / Asíntotas oblicuas y / / m y / / f () n f () m f () n f () Página 7. a) / () b) / ( ) 0 ; c) 0 d) / () e) / f). a b (a ) (a b) (b ) Por lo tanto, para que el límite sea 0 se debe cumplir: a 0 a a b 0 b 0 b. a) sen es continua sen ( / ) también f() no tiene puntos de discontinuidad. ; b) / ( ) es continua y también f() no tiene puntos de discontinuidad. c) / ( ) no está definida en y f() es discontinua en estos valores d) ln no está definida en (, 0] f() tampoco e) No está definida en los valores de para los que cos [, 0] En el conjunto {[(k )π /,, (k )π / ], donde k entero par} f) cos es continua y también, por lo tanto, f() es continua para todo.. a 0 a En este caso: f() ( )( ) ( )( ) Por lo tanto, f tiene una discontinuidad evitable en y una de primera especie en.. a) k k b) La función no es continua en, pues el límite por la derecha vale, mientras que f() no hay ningún valor de k para el que f sea continua para todo. c) Para que sea continua en todo el dominio, debe ocurrir: / k k k k Si k, la función es continua en todo el dominio. 6. Los límites laterales en deben valer. Límite por la izquierda k 9h Límite por la derecha h k k 9h k, h h k 7. / es continua en todo ecepto en 0, valor para el que no está definida mientras que cos es continua en todo. Por lo tanto, f() no está definida en 0 y presenta una discontinuidad en este punto. Por otra parte, los límites laterales en 0 no eisten pues en cualquier intervalo (ε, ε) que tomemos, por muy pequeño que sea, las imágenes de los valores de pertenecientes a este intervalo oscilan entre y de forma indefinida. -
8 TEMA. LÍMITES Y CONTINUIDAD SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 a 7 Autoevaluación. a) (0 / ) 9 b) ( / 0) 0. a) / () / b) 0 c) d). a) 0 / 0 ( 6) 6 ( ) f() ( ) (6 / ) 0 f() ( ) (6 / ) 0 El límite no eiste. b) La función no está definida fuera del intervalo (,,), por lo tanto, el límite lateral por la izquierda en no eiste. El límite por la derecha de vale. El límite cuando tiende a, no eiste. c). a) ( / ) Debemos calcular: e e e b) e /. El límite por la izquierda de vale y por la derecha vale. Es una discontinuidad de primera especie, de salto finito. ( )( ) 6. a) f() ( )( )( )( ) f() / 0 f() / 0 Es una discontinuidad de primera especie de salto infinito. b) Para tiene una discontinuidad evitable y para y tiene discontinuidades de salto infinito. 7. Asíntota vertical Asíntota horizontal y -6
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