UNIVERSIDAD DEL NORTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICAS SEGUNDO PARCIAL DE CALCULO I MARZO DE 2018 SOLUCIÓN Y GUIA DE CALIFICACIÓN.

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1 UNIVERSIDAD DEL NORTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICAS SEGUNDO PARCIAL DE CALCULO I MARZO DE 08 SOLUCIÓN Y GUIA DE CALIFICACIÓN f(+) f(). Dada f() + 3 calcular 0 f( + ) f() ( + ) ( + ) + 3 ( + 3) 0 ( ( + ) ) ( ( + ) ) 0 ( ( + ) ) 0 ( ( + ) ) Evalúa correctamente la epresión f(+) f() punto Racionalia y simplifica correctamente (+) puntos Evalúa correctamente el límite.. punto 0 ( (+)+3+ +3). Hallar los valores de las constantes a y b para que la función dada sea continua en todo R si < f() a + b si Solución { si > Los valores de R donde la función tenga problemas de continuidad son y. Una condición que se debe cumplir para que la función sea continua en y es que el límite debe eistir en dicos puntos. Como la función cambia de valor en esos puntos utiliaremos los límites laterales para determinar condiciones para que el límite eista en cada uno de esos puntos. i. + f() +(a + b) a + b y a + b f()

2 ii. + f() + ( ) y iii. f() (a + b) a + b a + b a + b Combinando los resultados en i y ii obtenemos: a + b 3 a 3 a. Remplaando en cualquiera de las dos ecuaciones se obtiene que b. Obtiene el sistema de ecuaciones lineales con base a la eistencia e igualdad de los límites laterales.. 4 puntos Resuelve el sistema lineal encontrado correctamente. punto 3. Calcular el límite trigonométrico realiando un cambio o sustitución de variable adecuado cos () π π Usando la sustitución π obtenemos que si π 0 cos () π π cos ( + 0 π ) sen() 0 cos () Usa la sustitución para transformar π π puntos en 0 cos (+ π ) Usa relaciones trigonométricas para transformar 0 cos (+ π ) trigonométrico básico 0 sen() para calcular el límite y el límite dado.3 puntos 4. Evaluar el siguiente límite e interpretar el resultado + + Sabemos que si Esto significa que la recta y es una asíntota oriontal de la gráfica de y +

3 + Transforma + en + +. puntos Usa el comportamiento de y y las propiedades de los límites para concluir puntos 5. Evaluar el siguiente límite e interpretar el resultado en términos del concepto de asíntota + Sabemos que si Esto significa que la recta y es una asíntota oriontal de la gráfica de y + Transforma en +. puntos + Usa el comportamiento de y y las propiedades de los límites para concluir que...3 puntos + 6. Dada f() cos (), calcular 0 f(+) f() f( + ) f() cos( + ) cos() 0 0 cos() cos() sen()sen() cos() 0 cos() (cos() ) sen()sen() 0 cos() cos() sen() sen() sen() 0 0

4 Usando relaciones trigonométricas transforma 0 f(+) f() 0 cos() cos() sen()sen() cos() en. punto Usando relaciones algebraicas y propiedades de los límites transforma 0 cos() cos() sen()sen() cos() cos() cos() 0 0 sen() sen() Usando límites trigonométricos básicos obtiene que 0 f(+) f() en.3 puntos sen(). punto 7. Determinar si la función dada tiene una discontinuidad removible o no en, en caso de ser removible redefina la función para que sea continua en f() Para determinar si la función tiene discontinuidad removible o no en verificamos si el f() eiste o no ( )( ) ( ) 3 8 ( )( + + 4) ( ) Por tanto la discontinuidad es removible en Redefiniendo la función, tenemos: f() { 3 si 8 9 si Usando relaciones algebraicas transforma puntos en ( ) ( ++4) Redefine la función usando el valor obtenido en el límite punto.4 8. Calcular el límite e interpretar el resultado en términos del concepto de asíntota como < 0

5 Esto significa que la recta y es una asíntota oriontal de la gráfica de y + Transforma en +..3 puntos + Usa el comportamiento de y y las propiedades de los límites para concluir puntos + 9. Evaluar el siguiente límite si Usa el comportamiento de las funciones y y y a con a > Es decir, deduce que si puntos Con base en el análisis del comportamiento del denominador deduce que 0 puntos 5+