Tema 7. Límites y continuidad. 7.1 Definición de límite de una función

Transcripción

1 Tema 7 Límites y continuidad 7.1 Definición de límite de una función Sea f : I R, I R yseaa I un punto de acumulación de I, decimos que f() tiene límite l R en el punto a f() =l si ε > 0, η > 0: a < η f() l < ε equivalente a decir que si ε > 0, η > 0: (a η,a+ η) f() (l ε,l+ ε) Ejercicio Será cierto? =4 5

2 Podemos acotar la diferencia = = ε > 0, η = ε : 2 < η ( 2) 2 2 = < ε La dificultad de este ejercicio ya nos indica que la definición no sirve mucho para demostrar si eiste el límite o calcularlo. Si usamos sucesiones, la definición anterior es equivalente a: f() =l [ ( n) a (f( n )) l] para toda sucesión ( n ) con límite a, la sucesión de las imágenes (f( n )) tiene por límite l. De hecho, esta definición es la que se usa para calcular un límite. Así cuando nos piden calcular , cogemos una sucesión 2 que tiende a 2 y calculamos el límite de las imágenes 2 1 1, 9 1, 99 1, 999 f()? , 995 y por eso decimos que =7. 2 En la práctica lo que se hace es sustituir directamente por 2. Cuando nos encontramos con epresiones del tipo 0, 0, etc, es decir, epresiones 0 que a priori no sabemos cuanto valen, decimos que hemos encontrado una indeterminación. Estos problemas los estudiaremos más adelante. Ejercicio Demostrar la no eistencia del siguiente límite 0 sen µ π Si usamos las sucesiones n = 1 1+4n y n = 2 1+4n ( n ) 0, (y n ) 0 tendríamos f( n ) = senã π 1 1+4n! f(y n ) = senã π 2 1+4n! =sen(π +4nπ) =0, n µ π =sen 2 +2nπ =1, n que convergen a cero: es decir (f( n )) 0 mientras que (f(y n )) 1, no puede eistir el límite ya que el límite de una sucesión es único. 6

3 7.2 Propiedades de los límites 1. El límite de una función, si eiste, es único. 2. Si eiste f(), eiste un entorno del punto a donde f() está acotada. 3. Si en un entorno de a se cumple f() g() h() y 4. Operaciones con límites: f() = h() =l g() =l (a) [r f()+s g()] = r f()+s g() (b) [f() g()] = f() g() f() (c) g() = (d) b f() = b f() (e) ln [f()] = ln g(), si f(), si b>0 f() (f) f() g() = f() g() 7.3 Límites laterales g() 6= 0 Se llama límite por la izquierda al siguiente límite o su equivalente usando sucesiones f() = f() <a f() =l [ ( n) a, n <a (f( n )) l] Análogamente el límite por la derecha f() =f() + >a + f() =l [ ( n) a, n >a (f( n )) l] Un resultado interesante para conocer la eistencia o no de límites es: una función tiene límite en un punto si y sólo si éisten y coinciden los límites laterales. 7

4 Ejercicio Calcular 0 Calculamos los límites laterales = 0 >0 = 0 <0 = 0 >0 = 0 <0 =1 = 1 y como no coinciden los límites laterales, el límite no eiste. 7.4 Límites infinitos Decimos que f() = A>0, δ > 0: a < δ f() >A Análogamente f() = A >0, δ > 0: a < δ f() < A y todas sus variantes f() = l ε > 0, k >0:>k f() l < ε f() = l ε > 0, k >0:< k f() l < ε f() = A>0, k >0:>k f() >A f() = A>0, k >0:>k f() < A f() = A>0, k >0:< k f() >A f() = A>0, k >0:< k f() < A 1 Ejercicio Por qué decimos que =? 0 2 A >0, δ > 0: 0 < δ 1 1 >A, basta tomar δ = 2 A 7.5 Indeterminaciones Decíamos en el apartado 7.1, página 6, que cuando aparece 0, 0,... 0 tenemos una indeterminación. Atendiendo al tipo de indeterminación las resolveremos de una forma u otra. 8

5 7.5.1 Indeterminación k 0 con funciones racionales Se calculan los límites laterales, si son iguales eiste el límite y en caso contrario no eiste. Por ejemplo, la función f() = 1 presenta en =1la indeterminación 1, no tiene límite puesto que = Indeterminación =+ con funciones racionales Desaparece factorizando numerador y denominador, y simplificando = 0 0 = ( 1) ( ) = = Indeterminación con funciones racionales Desaparece dividiendo numerador y denominador por la máima potencia del denominador = 2 1 = = Límites de funciones irracionales La indeterminación 0 ó con radicales (de índice 2) desaparece multiplicando y dividiendo por la epresión radical 0 conjugada = 0 0 = 1 ( 1) (1 + ) (1 )(1+ ) = ( 1) (1 + ) = = ³ 1+ = 2 1 (1 ) Funciones equivalentes No lo vamos a demostrar pero debemos saber que sen tan = =1 0 0 y que por eso se les llama funciones equivalentes. Usaremos este resultado en la derivación de las funciones trigonométricas, en el apartado 8.4.4, página 21. 9

6 También conviene saber que e 1 =1 0 pues lo usaremos en el apartado de la página Definición de función continua Diremos que f() es continua en = a cuando f() =f(a). Si usamos la definición de límite quedará ε > 0, η > 0: a < η f() f(a) < ε (a η,a+ η) f() (f(a) ε,f(a)+ε) queselee a incrementos pequeños de la variable independiente corresponden incrementos pequeños de la variable dependiente omásalobruto se pinta la función sin levantar el lápiz del papel. Interpretación geométrica de la continuidad La definición que se ha dado de continuidad implica tres condiciones: 1. f(a) 2. f() 3. f() =f(a) Si falla alguna de estas tres condiciones la función es discontinua. 10

7 Ejercicio Estudiar la continuidad de f() = 2 <1 1 =1 +2 >1 Dos son las pistas que nos tienen que ayudar a buscar los puntos donde la función es discontinua: donde no pueda calcular la función y donde pegue un salto. En este ejemplo siempre podemos calcular la función en cualquier punto, pero es posible que en =1tengamos un salto. Si calculamos los límites laterales f() =3 f() = ycomonoeisteellímtededucimosqueesdiscontinua. ( 2 1 6= 1 Ejercicio Estudiar la continuidad de f() = 1 3 =1 En todos los puntos distintos de =1la función es continua, vemos qué sucede en = = ( +1)( 1) = +1= Como f(1) = 3 y el límite en ese punto es 2, la función es discontinua en =1. Ahora bien, si hubieramos tomado f(1) = 2, la función sería continua en toda la recta real, en este sentido decimos que la discontinuidad es evitable. 7.7 Propiedades de las funciones continuas 1. La suma de funciones continuas es otra función continua. 2. El producto de funciones continuas es otra función continua. 3. El cociente de funciones continuas es otra función continua siempre que el denominador sea distinto de cero. 4. La composición de funciones continuas es otra función continua. 7.8 Teoremas de continuidad Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos. Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en (a, b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. A partir de aquí I representa un intervalo. 11

8 7.8.1 Conservación del signo f : I R continua en = a y f(a) 6= 0 eiste un entorno del punto a donde la función conserva el signo Teorema de acotación f : I R continua en = a eiste un entorno del punto a donde la función está acotada. f : I R continua en I, intervalo cerrado la función está acotada en I Teorema de Weierstrass f : I R continua en I, intervalo cerrado eisten puntos del intervalo I donde la función alcanza al supremo y al ínfimo,esdecir,todafunción continua en un intervalo cerrado tiene máimo y mínimo absoluto. Intuitivamente significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes Teorema de Bolzano Si f :[a, b] R es continua y f(a) f(b) < 0 c (a, b) :f(c) =0 12

9 La interpretación geométrica de este teorema es muy sencilla: si la gráfica se dibuja sin levantar el lápiz y tengo que ir de debajo del eje X hacia arriba del eje X, o viceversa, a la fuerza tengo que atravesar el eje. La principal aplicación de este teorema es asegurar la eistencia de soluciones de una ecuación. Por ejemplo, demostrar que la ecuación sen +1 =0 tiene al menos una solución. Si definimos la función f() =sen +1, esta es una función continua en cualquier intervalo, cumpliéndose además que f(0) = 1 > 0 yquef(π) = 1 π < 0, conloque c (a, b) :f(c) = Teorema del valor intermedio (para continuidad) Si f :[a, b] R es continua y f(a) l f(b) c [a, b] :f(c) =l Lema de Darbou Si f :[a, b] R es continua entonces f toma todos los valores comprendidos entre el máimo y el mínimo absoluto. 13

10 7.9 Ejercicios límites y continuidad 1. Calcular los límites 2 (4 2 4) ( 1) 5 1 ( ) ( ) (1+) (1+) sen cos Calcular los límites laterales donde se indica (a) f() = 2 en =2 2 (b) f() = sen en =0 3. Estudiar la continuidad de las funciones ( ( +1 0 f() = f() = 1 <0 sen 2 f() = 1 <1 f() = f() = Calcular el valor de a para que la función sea continua f() = ( a 2 >1 f() = a 1 5. Demostrar que las ecuaciones tienen, por lo menos, una solución (a) =0 (b) 3 2=cos 6. Demostrar que las ecuaciones π = e y =cos tienen una solución en (0, 1) 14