Propiedades de los límites

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1 SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante el uso de técnicas de cancelación de racionalización Evaluar un ite mediante el uso del teorema del encaje Propiedades de los ites En la sección se vio que el ite de f() cuando se aproima a c no depende del valor de f en c Sin embargo, puede darse el caso de que este ite sea f(c) En esta situación, se puede evaluar el ite por sustitución directa Esto es: f fc Sustituir por c Las funciones con este buen comportamiento son continuas en c En la sección 4 se eaminará con más detalle este concepto TEOREMA ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS f(c) = Si b c son números reales n un entero positivo: c f(c) = c = b b c 3 n c n = c c Figura 6 c c DEMOSTRACIÓN Para comprobar la propiedad del teorema, es necesario demostrar que para todo 0 eiste un 0 tal que c siempre que 0 c Para lograrlo, elegir Entonces, la segunda desigualdad lleva implícita a la primera, como se muestra en la figura 6 Con esto se realiza la comprobación (Las comprobaciones de las demás propiedades de los ites de esta sección se encuentran en el apéndice A o se analizan en los ejercicios) NOTA Cuando se tengan nuevas notaciones o símbolos en matemáticas, ha que cerciorarse de conocer cómo se leen Por ejemplo, el ite del ejemplo c se lee el ite de cuando se aproima a es 4 EJEMPLO Evaluación de ites básicos 3 3 b) 4 c) 4 TEOREMA PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 4 Si b c son números reales n un entero positivo, f g son funciones con los ites siguientes: f L Múltiplo escalar: Suma o diferencia: 3 Producto: 4 Cociente: 5 Potencias: g K bf bl f g L K fg LK f g L K, f n L n siempre que K 0

2 60 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO Límite de un polinomio Propiedad Propiedad Ejemplo Simplificar En el ejemplo, se observa que el ite (cuando ) de la función polinomial p() 4 3 es simplemente el valor de p en p p Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales racionales cuos denominadores no se anulen en el punto considerado TEOREMA 3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Si p es una función polinomial c un número real, entonces: p pc Si r es una función racional dada por r() p()q() c un número real tal que q(c) 0, entonces pc r rc qc EJEMPLO 3 Límite de una función racional Encontrar el ite: Solución Puesto que el denominador no es 0 cuando, se puede aplicar el teorema 3 para obtener 4 Las funciones polinomiales racionales son dos de los tres tipos básicos de funciones algebraicas El siguiente teorema se refiere al ite del tercer tipo de función algebraica: el que contiene un radical Ver la demostración de este teorema en el apéndice A EL SÍMBOLO DE RAÍZ CUADRADA El primer uso de un símbolo para denotar a la raíz cuadrada data del siglo XVI Al principio, los matemáticos emplearon el símbolo, que tiene sólo dos trazos Éste se eligió por su parecido con una r minúscula, para representar la palabra latina radi, que significa raíz TEOREMA 4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL Si n es un entero positivo El siguiente ite es válido para toda c si n es impar, para toda c 0 si n es par: n c n

3 SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 6 El siguiente teorema aumentará notablemente su capacidad para calcular ites, a que muestra cómo tratar el ite de una función compuesta Ver la demostración de este teorema en el apéndice A TEOREMA 5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si f g son funciones tales que g L f fl, entonces: fg f g f L L EJEMPLO 4 Límite de una función compuesta Puesto que se sigue que b) Puesto que = se sigue que Se ha visto que los ites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por medio de la sustitución directa Las seis funciones trigonométricas básicas también cuentan con esta deseable propiedad, como se muestra en el siguiente teorema (presentado sin demostración) TEOREMA 6 LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sea c un número real en el dominio de una función trigonométrica dada sen sen c 3 tan tan c 4 5 sec sec c 6 cos cos c cot cot c csc csc c EJEMPLO 5 Límites de funciones trigonométricas b) c) tan tan0 0 0 cos cos cos 0 sen 0 sen 0 0

4 6 CAPÍTULO Límites sus propiedades Una estrategia para el cálculo de ites En las tres páginas previas se han estudiado diversos tipos de funciones cuos ites pueden calcularse mediante sustitución directa Lo anterior, aunado al teorema siguiente, permite desarrollar una estrategia para calcular ites Ver la demostración de este teorema en el apéndice A TEOREMA 7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN PUNTO f() 3 3 Sea c un número real f() g() para todo c en un intervalo abierto que contiene a c Si eiste el ite de g() cuando se aproima a c, entonces también eiste el ite de f() f g EJEMPLO 6 Cálculo del ite de una función Encontrar el ite: 3 f g coinciden salvo en un punto Figura 7 3 g() Solución como Sea f() ( 3 )( ) Al factorizar cancelar factores, f se puede escribir f De tal modo, para todos los valores de distintos de, las funciones f g coinciden, como se muestra en la figura 7 Puesto que el g() eiste, se puede aplicar el teorema 7 concluir que f g tienen el mismo ite en 3 3 g, Factorizar Cancelar factores idénticos o factores comunes Aplicar el teorema 7 Usar sustitución directa Simplificar AYUDA DE ESTUDIO Cuando se aplique esta estrategia al cálculo de ites, recordar que algunas funciones no tienen ite (cuando se aproima a c) Por ejemplo, el siguiente ite no eiste 3 UNA ESTRATEGIA PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Aprender a reconocer cuáles ites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa (estos ites se enumeran en los teoremas a 6) Si el ite de f() cuando se aproima a c no se puede evaluar por sustitución directa, tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo distinto de c [Seleccionar una g tal que el ite de g() se pueda evaluar por medio de la sustitución directa] 3 Aplicar el teorema 7 para concluir de manera analítica que ( ) g( ) g( c) 4 Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión

5 SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 63 Técnicas de cancelación de racionalización En los ejemplos 7 8 se muestran dos técnicas para calcular ites de manera analítica La primera utiliza la cancelación de factores comunes la segunda, la racionalización del numerador de una fracción EJEMPLO 7 Técnica de cancelación Encontrar el ite: Solución Aunque se trata del ite de una función racional, no se puede aplicar el teorema 3 debido a que el ite del denominador es La sustitución directa falla 3 4 f() Puesto que el ite del numerador también es 0, numerador denominador tienen un factor común: ( 3) Por tanto, para toda 3, se cancela este factor para obtener 5 f no está definida para 3 Figura 8 f Empleando el teorema 7, se sigue que g, 3 NOTA En la solución del ejemplo 7, cerciorarse de distinguir la utilidad del teorema de factorización del álgebra Este teorema establece que si c es un cero de una función polinomial, entonces ( c) es un factor del polinomio Por tanto, si se aplica sustitución directa a una función racional se obtiene rc pc qc 0 0 puede concluirse que ( c) es un factor común de p() de q() Aplicar el teorema 7 Usar sustitución directa Este resultado se muestra de forma gráfica en la figura 8 Observar que la gráfica de la función f coincide con la de la función g(), sólo que la gráfica de f tiene un hueco en el punto (3, 5) En el ejemplo 7, la sustitución directa produce la forma fraccionaria 00, que carece de significado A una epresión como 00 se le denomina forma indeterminada porque no es posible (a partir sólo de esa form determinar el ite Si al intentar evaluar un ite se llega a esta forma, debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no tenga 0 como ite Una manera de lograrlo consiste en cancelar los factores idénticos o comunes, como se muestra en el ejemplo 7 Otra manera consiste en racionalizar el numerador, como se hace en el ejemplo 8 CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Puesto que las gráficas de f 6 3 g Gráfica incorrecta de f Figura 9 Irregularidades (3, 5) 5 difieren sólo en el punto (3, 5), la configuración normal de una herramienta de graficación podría no distinguir entre ellas No obstante, debido a la configuración de puntos ( pieles ) a los errores de redondeo, quizá sea posible encontrar configuraciones de pantalla que distingan las gráficas De manera específica, aplicando el zoom repetidas veces cerca del punto (3, 5) en la gráfica de f, la herramienta de graficación podría mostrar fallas o irregularidades que no eisten en la gráfica real (ver la figura 9) Si se modifica la configuración de pantalla, podría obtenerse la gráfica correcta de f

6 64 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO 8 Técnica de racionalización Encontrar el ite: 0 Solución Al utilizar la sustitución directa, se obtiene la forma indeterminada La sustitución directa falla En este caso, se puede reescribir la fracción racionalizando el denominador: f(), 0 Ahora, cuando se emplea el teorema 7, se puede evaluar el ite como se muestra a continuación: 0 0 El ite de f() cuando se aproima a 0 es Figura 0 Una tabla o una gráfica puede servir para fortalecer la conclusión de que el ite es (ver la figura 0) se aproima a cero por la izquierda se aproima a cero por la derecha f ? f() se aproima a 05 f() se aproima a 05 NOTA La técnica de racionalización en el cálculo de ites se basa en multiplicar por una forma conveniente de En el ejemplo 8, la forma apropiada es

7 SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 65 f g h h() f() g() Teorema del encaje Figura f queda aquí c h g f Teorema del encaje El siguiente teorema se refiere al ite de una función que está encajada entre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo ite en un valor dado de, como se muestra en la figura (ver la demostración de este teorema en el apéndice A) TEOREMA 8 TEOREMA DEL ENCAJE Si h() f() g() para todos los en un intervalo abierto que contiene a c, por la posible ecepción de la propia c, si h L g entonces el f eiste es igual a L En la demostración del teorema 9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje (también se le llama teorema del emparedado o del pellizco) TEOREMA 9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES sen 0 cos 0 0 (cos, sen ) (, tan ) DEMOSTRACIÓN Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de, se presenta la demostración utilizando la variable, donde denota un ángulo agudo positivo medido en radianes En la figura se muestra un sector circular encajado o emparedado entre dos triángulos (, 0) tan sen Sector circular utilizado para demostrar el teorema 9 Figura Área del triángulo Área del sector Área del triángulo tan Al multiplicar cada epresión por sen resulta cos sen sen tomando sus recíprocos e invirtiendo las desigualdades se obtiene: cos sen Puesto que cos cos () (sen ) [sen ()](), se conclue que esta desigualdad es válida para todo distinto de cero dentro del intervalo abierto (, ) Por último, dado que cos, se puede aplicar el teorema del encaje para con- 0 0 cluir que (sen ) La demostración del segundo ite se deja como ejercicio para 0 el lector (ver el ejercicio 3)

8 66 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO 9 Un ite en el que interviene una función trigonométrica f() = tan 4 Encontrar el ite: Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 00 Para resolver este problema, se puede escribir tan como (sen )(cos ) obtener Ahora, puesto que se puede obtener tan 0 tan 0 sen 0 cos sen 0 0 cos El ite de f() cuando se aproima a 0 es Figura 3 tan 0 sen 0 0 (Ver la figura 3) cos EJEMPLO 0 Un ite en el que interviene una función trigonométrica Encontrar el ite: 0 sen 4 g() = sen 4 El ite de g() cuando se aproima a 0 es 4 Figura 4 6 Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 00 Para resolver este problema, se puede escribir el ite como sen 4 0 Al ser ahora 4 observar que 0 si sólo si 0, se puede escribir 0 (Ver la figura 4) 4 sen sen sen sen Multiplicar dividir entre 4 Aplicar el teorema 9() TECNOLOGÍA Utilizar una herramienta de graficación para confirmar los ites de los ejemplos del conjunto de ejercicios Por ejemplo, las figuras 3 4 muestran las gráficas de: f tan g sen 4 Observar que la primera gráfica parece contener el punto (0, ) la segunda al punto (0, 4), lo cual respalda las conclusiones obtenidas en los ejemplos 9 0

9 SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 67 En los ejercicios a 4, utilizar una herramienta de graficación para representar la función estimar los ites de manera visual 3 h 4 g 9 3 f cos 4 En los ejercicios 5 a, calcular el ite En los ejercicios 3 a 6, encontrar los ites h 4 b) h b) f ft 0 t4 b) f b) f 5, g 3 En los ejercicios 7 a 36, encontrar el ite de la función trigonométrica 7 sen 8 9 cos sec sen Ejercicios g 4 g 0 f t t t t ft f b) g c) 4 f 7, g f b) g c) 3 4 f 4, g f b) g c) 3 f 3, g 3 6 f b) g c) g f 4 4 tan sen cos 3 53 g f g f 3 g f cos 35 tan En los ejercicios 37 a 40, utilizar la información que se epone para evaluar los ites 37 f g b) f g b) c) f g c) f d) d) g 39 f 4 40 g f 3 b) f b) En los ejercicios 4 a 44, utilizar la gráfica para determinar el ite (si eiste) de manera visual Escribir una función más simple que coincida con la dada, salvo en un punto 4 g 4 43 g 3 44 sec 7 6 f 3 g 4f f 7 3f f g f g f g f 8 c) 3f c) f d) f 3 d) f 3 b) 3 3 g 0 g g h 3 f b) g b) f 0 b) h h 0 f 3

10 68 CAPÍTULO Límites sus propiedades En los ejercicios 45 a 48, encontrar el ite de la función (si eiste) Escribir una función más simple que coincida con la dada salvo en un punto Utilizar una herramienta de graficación para confirmar el resultado En los ejercicios 49 a 64, encontrar el ite (si eiste) 49 lm En los ejercicios 65 a 76, determinar el ite (si eiste) de la función trigonométrica sen sen cos sen cos h 7 7 h0 h cos cot Análisis gráfico, numérico analítico En los ejercicios 77 a 84, utilizar una herramienta de graficación para representar la función estimar el ite Emplear una tabla para respaldar la conclusión Posteriormente, calcular el ite empleando métodos analíticos sen 3t t0 t sen 0 sen 3 3 lm 0 tan 0 4 Sugerencia: Encontrar 0 3 cos 0 cos tan 0 sec tan sen cos sen sen sen 3t t0 t 8 sen En los ejercicios 85 a 88, encontrar En los ejercicios 89 90, utilizar el teorema del encaje para calcular f 89 c 0 90 f 3 f f 3 f 4 4 f 4 c a En los ejercicios 9 a 96, utilizar una herramienta de graficación para representar la función dada las ecuaciones en una misma ventana Usando las gráficas para visualizar el teorema del encaje, calcular f() 0 9 f cos 9 93 f sen f sen 96 Desarrollo de conceptos 97 En el conteto del cálculo de ites, analizar qué se quiere decir mediante las funciones que coinciden en todo salvo en un punto 98 Elaborar un ejemplo de funciones que coinciden en todo salvo en un punto 99 Qué se quiere decir con indeterminación o forma indeterminada? 00 Eplicar el teorema del encaje b a f b a 0 0 cos sen 3 f f f sen f cos h cos 0 Redacción Utilizar una herramienta de graficación para hacer la representación de f, g sen, h sen en la misma ventana Comparar las magnitudes de f() g() cuando se acerca a 0 Utilizar la comparación para escribir un breve párrafo en el que se eplique por qué h 0

11 SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 69 0 Redacción Utilizar una herramienta de graficación para representar f, g sen h sen en la misma ventana Comparar las magnitudes de f() g() cuando se acerca a 0 Utilizar la comparación para escribir un breve párrafo en el que se eplique por qué h() 0 0 Objeto en caída libre En los ejercicios 03 04, utilizar la función de posición s(t) 6 t 500, que da la altura (en pies) de un objeto que lleva caendo t segundos desde una altura de 500 pies La velocidad en el instante t a segundos está dada por sa st ta a t 03 Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500 pies, a qué velocidad estará caendo luego de 5 segundos? 04 Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500 pies, cuánto tiempo tardará ésta en llegar al suelo? A qué velocidad se producirá el impacto? Objeto en caída libre En los ejercicios 05 06, utilizar la función de posición s(t) 49t 00, que da la altura (en metros) de un objeto que cae desde una altura de 00 m La velocidad en el instante t a segundos está dada por ta sa st a t 05 Determinar la velocidad del objeto cuando t 3 06 A qué velocidad golpeará el suelo? 07 Encontrar dos funciones f g tales que f() g() no 0 0 eistan, pero sí [f() g()], si eiste 0 08 Demostrar que si f() eiste [f() g()] no eiste, entonces g() tampoco eiste 09 Demostrar la propiedad del teorema 0 Demostrar la propiedad 3 del teorema (Se puede utilizar la propiedad 3 del teorema ) Demostrar la propiedad del teorema Demostrar que si f() 0, entonces f() 0 3 Demostrar que si f() 0 g() M para un número fijo M todas las c, entonces f()g() 0 4 Demostrar que si f() 0, entonces f() 0 (Nota: Este ejercicio es inverso al del problema ) b) Demostrar que si f() L entonces f() L [Sugerencia: Utilizar la desigualdad f() L f() L] 5 Para pensar Encontrar una función f que muestre que el recíproco del ejercicio 4b no es verdadero [Sugerencia: Buscar una función f tal que f() L, pero donde f() no eista] Para discusión Verdadero o falso? En los ejercicios 7 a, determinar si la afirmación es verdadera o falsa Si es falsa eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre Si f() g() para todos los números reales distintos a 0, 0 3 Demostrar la segunda parte del teorema 9 probando que 4 6 Sea f 3, 5, Encontrar f 0 f L, 0 Sean f 0,, entonces Si f L, entonces f c L sen f 3, donde Si f < g para todas las a, entonces f < g a a cos 0 0 g 0,, g L 0 f 3, 0, si es racional si es irracional si es racional si es irracional > Calcular (si es posible) f() g() 0 0 sec 5 Razonamiento gráfico Considerar f Determinar el dominio de f b) Utilizar una herramienta de graficación para hacer la representación de f Resulta evidente el dominio de f a partir de la gráfica? Si no es así, eplicar por qué c) Utilizar la gráfica f para calcular f() 0 d) Confirmar la respuesta del apartado c) utilizando el método analítico 6 Aproimación cos Calcular 0 b) Utilizar el resultado del apartado anterior para obtener la aproimación cos para cercanas a 0 c) Aplicar el resultado del apartado b) para estimar cos (0) d) Utilizar una herramienta de graficación para estimar cos (0) con cuatro decimales Comparar el resultado con el del apartado c) 7 Para pensar Al utilizar una herramienta de graficación para generar una tabla con el fin de estimar [(sen )], un estu0 diante conclue que el ite, no, era Determinar la probable causa del error