Prof. J. Contreras S. Prof. C. del Pino O. Método de cambio de variable. U de Talca

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Elisa de la Cruz Valdéz
hace 5 años
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1 Sesión Temas Método de sustitución o cambio de variable.. Introducción Capacidades Conocer y comprender el método de cambio de variable. Calcular integrales indefinidas que se pueden obtener aplicando el método de cambio de variable. Como se observó anteriormente, para la integración hay diversos métodos que sirven para ciertas clases de funciones. Uno de ellos es el uso de fórmulas, para calcular integrales inmediatas, trabajado en la sesión anterior. Otros métodos que serán tratados en nuestro curso son: sustitución o cambio de variable, integración por partes, integración por fracciones parciales y algunas integrales trigonométricas. Todos los métodos de integración tienen por finalidad transformar una integral no inmediata, en otra cuyo cálculo resulte más sencillo. En esta sesión se revisará el método de sustitución o de cambio de variable. 5

2 . Ejemplo ilustrativo El método se ilustrará con el cálculo de la siguiente integral: ( + ) d Notar que, esta integral no se puede obtener usando las fórmulas básicas de integración. Solución. Sustituir: u = + y calcular du: u = + = du d = = du = d Aplicar la sustitución para obtener una integral en la variable u: ( + ) d = ( } {{ + } ) }{{ d} = u du du Integrar con respecto a u: u u u 4 du = 4 Reemplazar u por la epresión + (deshacer el cambio de variable): ( + ) ( + ) 4 d = 4 Nota.. Para comprobar el resultado precedente, qué se debería hacer?. Nota.. El método de sustitución o cambio de variable, consiste en transformar una integral en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Nota.. El método de sustitución se usa para ciertas clases de funciones. general, se usa para calcular integrales de la forma: f(g()) g () d En y que se etiende a otros casos. Instituto de Matemática y Física 6 Universidad de Talca

3 . Justificación del método El método de sustitución se basa en la regla de derivación de una función compuesta o regla de la cadena. Teorema.. Si F es una antiderivada de f() entonces: f(g()) g () d = F (g()) Demostración Por la regla de la cadena: d d F (g()) = F (g()) g () Como F es una antiderivada de f: d d F (g()) = f(g()) g () Luego : Integrando : se obtiene : Por lo tanto: d(f (g())) = f(g()) g () d d(f (g())) = f(g()) g () d F (g()) = f(g()) g () d f(g()) g () d = F (g()) ( ) Nota.4. En la práctica, para calcular la integral indefinida de una función en la variable (o la variable de integración que sea) se acostumbra realizar el cambio de variable usando la sustitución: u = g(), de donde du = g () d Luego, reescribiendo la relación (*) se obtiene: f(g()) g () d = f(u) du = F (u) En particular: Instituto de Matemática y Física 7 Universidad de Talca

4 a) b) cos( g() }{{} u g() }{{} u=g() ) g () d = }{{} du g () d = }{{} du u cos u du = sin u du = ln u = sin(g()) = ln g() Nota.5. La aplicación del método de sustitución para calcular la integral de una función en, que se deja resolver con esta técnica, considera los siguientes pasos: () Definir una nueva variable u = g(), donde g() se elige convenientemente. () Calcular du u = g() = du = g () d y luego transformar la integral en en una integral en la variable u. () Integrar la función en u obtenida en el paso anterior. (4) Reescribir el resultado obtenido en términos de, reemplazando u por g(). Ejemplo.. Calcular Solución: 4 d [Sea u =, entonces du = d]. Luego: 4 d = d = Reemplazando u = se obtiene: = 4 u/ d = 4( ) / u du Ejercicio.. Calcular 4 e 5 d. ln Ejemplo.. Calcular d. Solución: [Sea: u = ln, entonces: du = ] d Instituto de Matemática y Física 8 Universidad de Talca

5 Luego: ln d = u du = u Ejemplo.. Determinar = sin cos d. (ln ) Solución: [Sea: u = sin, entonces: du = cos d] Luego: sin cos d = u du = u = sin Nota.6. La integral precedente también se deja calcular usando el cambio de variable u = cos. Nota.7. Usando la identidad trigonométrica sin() = sin cos, se obtiene que sin cos d = sin() d. Realizar el cálculo de la integral usando esta forma equivalente y comprobar que se llega al mismo resultado. sin Ejemplo.4. Calcular d Solución: [ Sea: u = entonces: du = ] d Luego: sin d = sin u du = ( cos u) = cos Ejercicio.. Calcular cada integral indefinida, considerando la sustitución sugerida: cos e ( + ln ) a) d, u = e b) d, u = + ln e c) d, u = + d) e / d, u = Instituto de Matemática y Física 9 Universidad de Talca

6 Nota.8. Una sustitución adecuada es fundamental para simplificar la integral, y en algunos casos, además se requiere despejar en términos de u. Ejemplo.5. Calcular d + Solución: Sea: u = + entonces: du = d = u luego: + d = + Ejercicio.. Calcular d. + d = du u du u = 9 = ( ) u / 9 / u/ / (u / u / ) du = ( ) ( + ) / ( + ) / 9 Nota.9. Para calcular ciertas integrales que contienen un trinomio cuadrático se puede usar el método de sustitución, completando previamente el cuadrado de un binomio, como se verá en los siguientes ejemplos. Ejemplo.6. Calcular + + d. Solución: Completando cuadrado: + + = ( + ) +. Luego: + + d = ( + ) + d Sustituyendo: [Sea: u = + entonces: du = d] Luego: ( + ) + d = u + du = arctan + Instituto de Matemática y Física 0 Universidad de Talca

Ejemplo.7. Calcular + 4 d. Solución: Reemplazando u = 4 se obtiene du = (4 )d. Luego, con esta sustitución la integral dada no se transforma en una integral inmediata.

7 Ejemplo.7. Calcular + 4 d. Solución: Reemplazando u = 4 se obtiene du = (4 )d. Luego, con esta sustitución la integral dada no se transforma en una integral inmediata. Se tratará primero algebraicamente. + d = d = d 5 + d 4 4 }{{}}{{} () () La integral () se puede calcular usando la sustitución u = 4, de donde du = (4 )d, obteniendo: 4 du d = du = u = 4 4 u Para calcular la integral (), se completa cuadrado: 4 = ( ). Luego: 5 d = 5 d 4 ( ) Sustituyendo: u = y du = d, se obtiene: 5 d = 5 du = 5 arcsin( ) ( ) u Luego: + 4 d = arcsin( ) Ejercicio.4. Probar, usando el método de sustitución que: Sugerencia: sustituir u =. + 4 d = arctan Ejercicio.5. Calcular las siguientes integrales indefinidas: Instituto de Matemática y Física Universidad de Talca

8 a) d) + d b) + 5 d e) cos sin d c) + d f) + ln ( ln ) d + d.4 Autoevaluación Calcular las siguientes integrales indefinidas: ) ( + sin t) + cos t dt ) d ) + 4) e t dt 5) t Respuestas: ( + sin t) 4 ) ) 4 4) d 6) + ln( + ) ) + (ln ) d e +e d e t 5) arcsin( ) 6) e e.5 Desafío Hallar todas la funciones f() tal que f () = en, para n 0. e n + (ln ) + ln Instituto de Matemática y Física Universidad de Talca

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