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3 FECHAS IMPORTANTES 1er parcial : jueves 26 de abril 2do parcial : sábado 16 de junio Recuperatorio: martes 3 de julio

4 SUCESIONES

5 Ejemplo: a n = 4 n = 4,2, 4 3, 1, 4 5,.. Definición: Una sucesión es una función tal que f n = a n o a n f n, f: N R

6 Sucesión de Fibonacchi a 1 = 1 a 2 = 1 a n = a n 1 + a n 2 Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci Espiral áurea

7 Sucesión creciente Una sucesión a n es creciente si para todo n N: a n a n+1 a n < a n+1 (a n+1 a n 0) en sentido Amplio (a n+1 a n > 0) en sentido Estricto Sucesión decreciente Una sucesión a n es decreciente si para todo n N: a n a n+1 (a n a n+1 0) en sentido Amplio a n > a n+1 (a n a n+1 > 0) en sentido Estricto

8 Sucesión monótona Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente Sucesión acotada Una sucesión a n es acotada si: k R +, tal que a n k, o sea k a n k, n N

9 SUCESIÓN CONVERGENTE DIVERGENTE OSCILANTE

10 Algo para recordar: Se llama entorno de radio ε > 0 del punto a R al conjunto de todos los x R / x a < ε es decir O sea a ε < x < a + ε xε a ε; a + ε

11 Definición de Sucesión convergente Se dice que la sucesión a n es convergente a L o que tiene límite L: si: lim a n = L ε > 0; n 0 (ε), tal que n N, n > n 0 se cumple que: O sea a n L < ε a n L ε; L + ε

12 Definición de Sucesión divergente Se dice que la sucesión a n es divergente ( lim a n = ) Si para cualquier k R +, existe n 0 k tal que: n > n 0 se verifica a n > k a n ε, k k, + : Sucesión oscilante Una sucesión es oscilante si y solo si no tiene límite ni finito ni infinito.

13 Propiedades de los límites de Sucesiones 1) Si una sucesión tiene límite L, L R entonces éste es único. 2) Si lim a n = L entonces lim ( a n L) = 0 3) Si una sucesión es constante el límite de dicha sucesión es la constante 4) Si lim a n = a, lim b n = b y a n b n, nεn a b

14 5) TEOREMA DEL ENCAJE Si una sucesión se mantiene entre otras dos sucesiones que convergen a un mismo número entonces dicha sucesión converge a ese número. En símbolos: Dadas a n ; b n ; c n tales que a n b n c n nεn y además lim a n = lim c n = L entonces lim b n = L

15 Propiedades de límites de operaciones entre sucesiones convergentes Si lim a n = a, lim b n = b, k R, a R, b R, entonces: 1) lim (a n +b n ) = lim a n + lim b n = a + b 2) lim k. a n = k lim a n = k. a 3) lim (a n. b n ) = lim a n. lim b n = a. b 4) lim (a n /b n ) = lim a n / lim b n = a b, b 0 cada b n 0 5) lim (a n ) b n= ( lim a n ) ( lim b n) = a b, aεr, bεr, no simultaneamente nulos

16 Observación de la propiedad 4) Si Entonces lim a n = 0 y lim b n = 0 lim a n b n = 0 0 es INDETERMINADO ya que no puede asegurarse el resultado del límite. Por lo tanto debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no contenga a 0 como límite.

17 Ejemplo: lim 3 n 2 n 2 = 0 0 indeterminado!!! Cuál es el límite entonces?

18 Operaciones con sucesiones convergentes y divergentes Suma y resta lim a n lim b n lim(a n + b n ) lim(a n b n ) a) aεr bεr a+b a-b b) bεr c) d) e) + +

19 Operaciones con sucesiones convergentes y divergentes Producto lim a n lim b n lim(a n. b n ) a) aεr bεr a.b b) a c) d) a =

20 Operaciones con sucesiones convergentes y divergentes Cociente lim a n lim b n lim(a n /b n ) a) aεr bεr 0 a b b) aεr + 0 c) + bεr + d) a 0 0 d) 0 0 e)

21 Indeterminaciones algebraicas

22 Regla de Stolz Sea a n una sucesión de la forma a n = P(n) Q(n) si grp n > grq(n) lim a P(n) n = lim Q(n) = 0 si grp n < grq(n) p q si grp n = grq(n) (donde p y q son los coeficientes principales de los polinomios P(n) y Q(n) respectivamente)

23 Formas exponenciales Indeterminaciones exponenciales Propiedades 1) Si lim a n = a, (a > 0) entonces lim log ca n = log c lim a n = log c a 2) Si lim a n = a, (a > 0) y lim b n = b entonces lim a n b n = a b 3) Si a > 0, lim b n = b entonces lim a b n = a b

24 4) Si lim a n = 0 + (tiende a cero conservando el positivo) y lim b n = b entonces: Si b > 0 lim a b n n = 0 b Si b < 0 lim a n n = Si b = 0 lim a b n n = 0 0 Indeterminación 5) Si lim a n = + y lim b n = b entonces: Si b > 0 lim a b n n = + b Si b < 0 lim a n n = 0 Si b = 0 lim a b n n = + 0 Indeterminación

25 6) Si lim a n = a, (a > 0) y lim b n = + entonces: Si a > 1 lim a b n n = Si 0 < a < 1 lim a b n n = 0 b Si a = 1 lim a n n = 1 Indeterminación 7) {a n } a, a > 0, b n entonces b Si a > 1 lim a n n = 0 b Si 0 < a < 1 lim a n n = Si a = 1 lim a n b n = 1 Indeterminación

26 Indeterminaciones algebraicas Indeterminaciones exponenciales

27 Otros límites lim n a = 1 aεr + lim n n = 1

28 Propiedad Criterio de convergencia de Bolzano-Weirestrass Toda sucesión monótona (creciente o decreciente) y acotada es convergente (tiene límite). La recíproca no es cierta!!! Contraejemplo: ( 1) n n 0 pero no es monótona!!!!

29 Comentarios: Las sucesiones divergentes NUNCA son acotadas Las sucesiones oscilantes NUNCA son monótonas Nota: Si una sucesión es monótona y no acotada entonces diverge a + o. Si es creciente el límite es supremo, si es decreciente es ínfimo.

30 Número e lim n n = e en general lim a n para a n a n = e

31 Propiedades del número e 1) lim 1 + c n n = e c 2) lim n cn = e c 3) lim n±c n = e 4) lim n n±c = e