Lista de ejercicios # 2. Uso de series de potencias y de Frobenius

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FCULTAD DE CIENCIAS MA-15 Ecuaciones Diferenciales ESCUELA DE MATEMÁTICA I Ciclo del 217 Lista de ejercicios # 2 Uso de series de potencias y de Frobenius Uso de series alrededor de un punto ordinario En la ecuación diferencial a 2 (x)y + a 1 (x)y + a (x)y =, (1) decimos que el punto x es un punto ordinario de la ecuación diferencial (1) si las funciones P (x) = a 1(x) a 2 (x) y Q(x) = a (x) a 2 (x) son analíticas en x. Si x es un punto ordinario de (1), esta posee dos soluciones linealmente independientes de la forma y = + n= a n (x x ) n. 1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante desarrollos en series de potencia alrededor del punto x = : (a) y + y =. (b) y + xy =. (c) y + x 2 y =. (d) y + x 2 y + xy =. (e) (x 2 + 1)y + 2xy =. 2. Encuentre dos soluciones en forma de serie de potencias de la ecuación diferencial dada alrededor del punto x = (a) (x 2 + 2)y + 3xy y =. 1

2 (b) y (x + 1)y + y =. (c) (x 2 1)y + xy y =. 3. Considere la ecuación diferencial (x 2 + 1)y + xy y =. (a) Halle la solución general de esta ecuación mediante un desarrollo en serie de potencias al rededor de x =. (b) Halle la solución general de esta ecuación notando que y 1 = x es una solución particular. Compare con el resultado obtenido en el inciso anterior. 4. (2PII216) Considere la ecuación diferencial (x 2 + x)y (2x + 5)y 4y =. (2) Encuentre, para la ecuación diferencial (2), una solución, por medio de series. Debe identificar a la función que usted encuentre. 5. (2PII215) Considere la ecuación diferencial (1 + x 2 )y 4xy + 6y =. Halle la solución general de la ecuación diferencial dada, asumiendo que esta posee un desarrollo en forma de serie de potencia (de Maclaurin). 6. (2PII214) Considere el siguiente problema de valores iniciales: { (2 x 2 )y 2xy + 6y =, y() = 1, y () =. (3) Suponiendo que dicha ecuación posee una solución en la forma y(x) = que encuentre dicha solución. 7. (2PI213) Considere la siguiente ecuación diferencial: (1 + x 2 )y 2xy + 2y =. + n= a n x n se pide Al buscar una solución general de la ecuación en la forma y(x) = + n= a nx n se le pide lo siguiente: (a) Verifique que los coeficientes a n satisfacen la relación para todo n. (n + 2)(n + 1)a n+2 + (n 2)(n 1)a n =, 2

3 (b) Halle la solución tal que y() = y () = La ecuación diferencial y 2xy + λy =, (4) donde λ es una constante dada, se conoce como la ecuación diferencial de Hermite. Muestre que cuando λ = 2n (n = 1, 2, 3,...) es un entero par positivo, la ecuación de Hermite posee una solución polinomial. Método de Frobenius En la ecuación diferencial a 2 (x)y + a 1 (x)y + a (x)y =, (5) decimos que el punto x es un punto singular regular de la ecuación diferencial (5) si alguna (o ambas) de las funciones no es analítica en x, pero ambos límites P (x) = a 1(x) a 2 (x) y Q(x) = a (x) a 2 (x) lim x x (x x )P (x) y lim x x (x x ) 2 Q(x) existen. Si x es un punto singular regular de (5), esta posee al menos una solución de la forma + y = x r a n (x x ) n, (a ), n= para algún valor de r por determinar. 1. Determine si x = es un punto singular regular de las siguientes ecuaciones diferenciales (no resuelva la ED): (a) ax 2 y + bxy + cy =, donde a, b, c son constantes. (b) x 2 y + (sin x)y (1 cos x) + y =. x (c) 2(x 2)x 2 y + 3(x 2)y + xy =. (d) x 3 y + (e x 1 x)y + (sin x)y =. 2. Utilice el método de Frobenius para hallar dos soluciones linealmente independientes de las siguientes ecuaciones diferenciales: 3

4 (a) 2xy + (1 + x)y + y =. (b) 2x 2 y xy + (x 2 + 1)y =. (c) 2x 2 y + 3xy + (2x 1)y =. (d) 3xy + (2 x)y y =. 3. Halle al menos una solución en forma de serie de Frobenius alrededor de x = de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) xy + 2y xy =. (b) xy + 3y 2y =. (c) xy + y + y =. 4. Considere la ecuación diferencial donde λ es una constante dada. x 4 y + λy =, (6) (a) Verifique que x = es un punto singular irregular de (6). (b) Realice el cambio de variable t = 1/x produce la ecuación diferencial d 2 y dt + 2 dy + λy =. 2 t dt (c) Utilice el inciso anterior para hallar la solución general de (6). 5. (2PII215) Considere la ecuación diferencial 4x 2 y + 4xy + (4x 2 1)y =. (a) Justifique que x = es un punto singular regular y que la ecuación característica (indicial) posee dos raíces cuya diferencia es un entero. (b) Verifique que, al utilizar el método de Frobenious, para hallar una solución de la forma y = n= a nx n+r con a se llega a que los coeficientes cumplen a 1 =, 4a n 2 a n = 4(n + r) 2 1 para todo n 2. (c) Halle la solución en serie de Frobenius correspondiente a la raíz de la ecuación indicial r 1 = 1/2, y escribala como el cociente de dos funciones conocidas. 6. (2PII214) Considere la siguiente ecuación diferencial de segundo orden 2x 2 y xy + (1 + x)y =. 4

5 (a) Justifique por qué existen, para esta ecuación, dos soluciones linealmente independientes, ψ 1 (x) y ψ 2 (x), en serie de Frobenius alrededor del punto x =. (b) Hallar explícitamente las series ψ 1 (x) y ψ 2 (x). (c) Use las partes anteriores, o el teorema de existencia y unicidad, para calcular el valor de la siguiente serie: + n= 7. (2PI214) Considere la ecuación diferencial ( 1) n 2 n (π 2 ) n+ 1 2 (2n)! (x 2 x)y + xy y =. (a) Justifique que x = es un punto singular regular de la ecuación y encuentre las raíces de la ecuacuón indicial asociada. (b) Al buscar una solución de la ecuación diferencial por el método de Frobenius, alrededor del punto x = en la forma y(x) = n= a nx n+r con a, verificar que se cumple a n+1 = n + r 1 a n, n. n + r (c) Utilizando la parte anterior encuentre una solución de la ecuación diferencial. (d) Hallar explícitamente una segunda solución linealmente independiente con la encontrada en la parte anterior. 8. (2PI213) Halle la solución general de la ecuación diferencial de Bessel ( x 2 y + xy + x 2 1 ) y =, 4 mediante el método de Frobenius. 9. (Rep3PI211) Considere la ecuación diferencial xy y + 4x 3 y =. (a) Clasifique el punto x = e indique las raíces de la ecuación indicial. (b) Encuentre, utilizando el método de Frobenius, una solución de esta ecuación. (c) Encuentre otra solución que sea linealmente independiente con la solución hallada en el punto anterior. 1. Considere la ecuación diferencial 2xy + (1 + x)y + y =. 5.

6 (a) Muestre que la solución asociada a la raíz r = 1/2 de la ecuación indicial, produce la solución y 1 = xe x/2. (b) Muestre que la solución asociada a la raíz r = de la ecuación indicial, produce la solución ( 1) n y 2 = (2n 1) xn. n=1 6

7 Transformada de Laplace Propiedades básicas y transformadas inversas Sea f(t) una función definida para t. La integral impropia L{f(t)} := e st f(t) dt, se llama la transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converga (para algunos valores de s). Si F (s) es una función dada, una función f(t) tal que L{f(t)} = F (s) se llama una transformada inversa de Laplace de F (s), y se denota por f(t) = L 1 {F (s)}. 1. Demuestre las siguientes propiedades: (a) L{t cosh(ωt)} = s2 ω 2 (s 2 + ω 2 ) 2. (b) L{t sinh(ωt)} = 2ωs (s 2 + ω 2 ) 2. (c) L { e at sin(bt) } b = (s a) 2 + b. 2 (d) L { e at cos(bt) } s a = (s a) 2 + b Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones: (a) sin 2 t. (b) cos 3 t. (c) cos(3t + 5). (d) sinh 2 t. (e) sin(2t) cos(3t). (f) sin t. t (g) sin u u du. (h) t 2 cos t. (i) te 2t sin(3t). (j) et 1. t (k) sin t cos t. 3. Calcule la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: (a) 2s + 6 s (b) (s 3) 2 s(s 2 1). 7

8 (c) (d) (e) (f) s s(s 1)(s + 1)(s 2). 6s + 3 s 4 + 5s s 2 26s + 26 (s 1)(s 2)(s 3). 6 (s 5). 4 (g) (h) (i) (j) 2s + 5 s 2 + 6s (s + 1)2 (s + 3). 4 e s s(s + 1). 1 (s 2 + 1) (2PII216) (a) Verigique que L { sin 2 (t) } = { } sin 2 (t) (b) Calcule L t 2 s(s 2 + 4). 5. (2PII215) Suponga que la transformada de Laplace de f(t) es F (s). Utilice la definición para verificar que se cumple la siguiente fórmula { ( )} L e bt t a f = af (as + b), a donde a, b son constantes positivas. 6. (2PII215) (a) Halle L{sin(t) cos(t)}, y exprese el resultado como una fracción. (b) Calcule { } 2s(s L 1 2 3). (1 + s 2 ) 3 Sugerencia: Puede usar 2x 3 6x (x 2 + 1) 3 dx = x (x 2 + 1) 2 + C. (c) Halle el valor de la integral impropia x 2 cos(x)e x dx. 7. (3PI215) Calcule la transformada de Laplace de la función e 215t, si < t < 3, f(t) =, si 3 < t < 5, 2t 1, si t > 5. Indique para cuales valores de s es válida dicha transformada, F (s) = L{f(t)}(s). 8

9 8. Calcule las siguientes transformadas de Laplace inversas: (a) (3PI215) L 1 { 4 s s 1 4 s2 1 + ln (1 + 1s )}. 2 (b) (3PI214) { L 1 2s + 3 s(s + 1)(s + 2) + e 2s s 2 + 4s } s s 4 + 2s e 5s. 9. (3PI213) Sean f y g dos funciones definidas sobre ], + [ tales que f() = 1, f (t) = g(t), s2 + 1 s L{g(t)} = s Calcule la transformada de Laplace L{f(t)}. 1. (2PI212) (a) Suponga que F (s) = L{f(t)} y G(s) = L{g(t)}. Compruebe que se verifica la fórmula L{ t (f(t) g(t))} = F (s)g(s) + F (s)g (s). (b) Calcule L 1 { 2 s 3 1 s a + 1 s 2 } 1. (s a) (2PII212) Calcule el valor de f(π/2), donde ( )} f(t) = L {ln 1 s + 1. s2 + 4s Una definición de la función Gamma está dada por la integral impropia Γ(α) := (a) Calcule Γ(1). t α 1 e t dt, α >. (b) Pruebe que la función Gamma satisface la ecuación funcional Γ(α + 1) = αγ(α). (c) Concluya que si n es un entero positivo, entonces Γ(n) = (n 1)! 9

10 (d) Muestre que si α > 1, entonces L{t α } = Γ(s) s α+1. (e) Usando el hecho que Γ(1/2) = π, calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 1 t, t, t t. 13. Calcule las siguientes transformadas de Laplace: { } (a) L ue 3u cos u du. { (b) L t (c) L {te t } u cos(t u) du. u d } du (e2u sin u) du. 14. Calcule la transformada de Laplace de las funciones cuyos gráficos se muestran a continuación: (a) (c) (b) (d) (3PI215) 15. (a) Usando la serie de Taylor para la función sin t : ( 1) n t 2n+1 sin t = (2n + 1)!, 1 n=

11 y asumiendo que la transformada de Laplace de esta serie se puede calcular término a término, verifique que L{sin t} = 1 s 2 + 1, s > 1. (b) Repita el procedimiento anterior para calcular L{cos t}, L{e t } y L{te t }. (c) Repita el procedimiento anterior para calcular L{f(t)}, donde sin t, t >, f(t) = t 1, t =. 16. (a) Sean n, m enteros positivos, y considere las funciones f(t) = t n y g(t) = t m. Muestre que (b) Concluya que 1 1 f g = t n+m+1 u n (1 u) m du = t n+m+1 u m (1 u) n du. 1 u n (1 u) m du = n!m! (n + m + 1)!. (c) Extienda el resultado anterior al caso que n, m >, pero no necesariamente enteros. Ecuaciones diferenciales e integro-diferenciales 1. Utilice la transformada de Laplace para hallar la solución de los siguientes problemas de valor inicial: (a) y 2y + 2y = ; sujeto a y() =, y () = 1. (b) y (4) 4y + 6y 4y + y = ; sujeto a y() =, y () = 1, y () =, y () = 1. (c) y 2y + 2y = cos t; sujeto a y() = 1, y () =. { (d) y 1, < t < π, + 3y = sujeto a y() = 1, y () = 1., t > π; t, < t < 1, (e) y + y = 2 t, 1 < t < 2, sujeto a y() =, y () =., t 2; (f) y (4) y = δ 1 (t); sujeto a y() = y () = y () = y () =. 11

12 2. Use la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de valores iniciales: (a) y ty = ; y() = 1, y () = (Ecuación de Airy). (b) (1 t 2 )y 2ty + α(α + 1)y = ; y() =, y () = 1 (Ecuación de Legendre). 3. (2PII216) Use la transformada de Laplace para hallar la solución, y(t), del problema de valores iniciales: { y 6y t < 2, + 9y = δ(t 2) + e 3t t > 2, donde y() = y () =. A la función y(t) la debe escribir como una función a trozos. 4. (2PII216) Utilice la transformada de Laplace para hallar la solución, f(t), de la ecuación integro-diferencial f (t) f(t) + si se conoce que f() = 1. (t u)f (u) du f(u) du = t 216 δ(t 1), 5. (2PII215) Considere el siquiente problema de valores iniciales:, t π, y + 4y = sin t, π < t < 3π 2, 1, t 3π, 2 donde y() = 1 y y () =. (a) Verifique que la transformada de Laplace de la función que aparece al lado derecho es igual a: e πs s e 3πs/2 + se 3πs/2 s s (b) Hallar la solución, mediante el uso de la transformada de Laplace (c) Cuál es el signo de y (5π/4)? 6. (3PI215) Considere el siquiente problema de valores iniciales: ( ϕ (t) + ϕ(t) = H(t π) + δ t π ) ; ϕ() = ϕ () =. 2 (a) Use la transformada de Laplace para hallar ϕ(t), la solución de dicho problema. (b) Calcule el valor de ϕ(215) + ϕ (215). 12

13 7. (3PI215) Conociendo que y() = y () =, halle la solución de la siguiente ecuación integro-diferencial: y (t) + y(t) + y(u) sinh(t u) du + 8. (Rep3PII213) Resuelva la ecuación integral y(u)y(t u) du = 1 (sin t t cos t). 2 y (u) cosh(t u) du = cosh(t). 9. (3PI213) Halle la solución, f(t), de la siguiente ecuación integral, por medio de la transformada de Laplace: que cumpla f() = 1. f(t u)f(u) du = t(1 e t ) + 2 f(t u)e u du 1. (2PI211) Utilice la transformada de Laplace para resolver el siguiente sistema, sujeto a las condiciones iniciales dadas: 9 dx dt 32dy dt 32y = H 1(t) 2 dx dt + x(u) du + 8 dy dt + 8y =, x() = 32, y() =