Series de Polinomios Ortogonales, continuación

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1 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Series de Polinomios Ortogonales, continuación. Polinomios de Hermite Los polinomios de Hermite a diferencia de los de Legendre (y Tchevychev), vienen definidos en toda la recta real, vale decir, x (, ), por lo cual la función peso w(x) en el producto interno deberá decrecer más rápido que x n, para garantizar que la norma de los vectores en este espacio vectorial sea finita. La función más simple que cumple estos requisitos es w(x) = e x (también algunos autores utilizan w(x) = e x / ) Esto es, el producto interno entre los polinomios de Hermite vendrá definido como w(x)f(x)g(x) = e x f(x)g(x). Otra vez, para este producto interno, si ortogonalizamos con Gram-Schmidt se obtienen los polinomios de Hermite. Al igual que el resto de los polinomios ortogonales, existe una fórmula de Rodrigues para los polinomios de Hermite dn = ( ) n e x n e x, los cinco primeros polinomios de Hermite son los siguientes: H (x) =, H (x) = x H (x) = 4x, H 3 (x) = 8x 3 x, H 4 (x) = 6x 4 48x +.. Generalidades de los Polinomios de Hemite Los polinomios de Hermite serán ortogonales, pero no normales por lo tanto: H 5 (x) = 3x 5 6x 3 + x e x H β (x)h α (x) = α α! π δ αβ, e x H α(x) = α α! π. Donde la función delta de Kronecker es δ αβ = si α β; y δ ββ =. Antes de desarrollar funciones en términos de los polinomios de Hermite, expondremos un par de teoremas sin demostración. Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

2 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Teorema : Sean f y g dos funciones arbitrarias, cuando menos continuas a trozos en (, ) y que cumplen con e x f (x) e x g (x)d Entonces el conjunto de estas funciones forman un espacio vectorial euclideano I w interno definido por e x f(x)g(x) con un producto Las funciones f(x) y g(x) se denominan cuadrado-integrables respecto al peso w. Es por ello que denotamos el espacio de funciones como I w. Teorema : Si f(x) es una función continua arbitraria en I w un polinomio en ese mismo espacio. Es decir entonces puede ser aproximada por ( / lím f(x) p n(x) = lím e x [f(x) p n (x)] ) = n n Así, la expresión de una función arbitraria en la base de los polinomio de Hermite se reduce a f(x) = k= [ ] k k! e t f(t)h k (t) π H k (x), donde Ejemplo: Si f(x) = x a k = k k! e t f(t)h k (t). π f(x) = x = b k x k = k= a k H k (x) k= f(x) = x = a H (x) + a H (x) + a H (x) = a + a (x) + a (4x ) = (a a ) + a x + 4a x a = 4, a =, a = 4. = 4 H (x) + 4 H (x) Si generalizamos para funciones del tipo f(x) = x p con p =,, 3,, entonces f(x) = x p = p b k x k = k= k= a k H k (x), Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

3 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series por lo tanto a k = k (k)! e x x p H k (x) = π Una integración por partes estratégica muestra que: a k = {x k (k)! p dk e x π k k (k)! p dk x π k e x. } p dk px k e x. El primer término de la resta se anula debido a la definición de los polinomios de Hermite p dk x e x k = x p ( ) k e x H k (x). Repitiendo el proceso k veces, tendremos a k = k (k)! (p)! π (p k)! si en la integral hacemos x = t obtenemos a k = = k (k)! (p)! π (p k)! k+ (k)! π (p)! (p k)! x p k e x t p k t dt e t t p k e t dt y utilizando la definición Γ (z) e t t z dt (z )!, queda como ( a k = k+ (k)! (p)! π (p k)! Γ p k + ). Ahora, recurrimos a la propiedad de duplicación de la Función Gamma, i.e. ( z Γ (z) Γ z + ) = πγ (z) tenemos que ( p k Γ p k + ) (p k)! = π (p k)! quedan entonces los coeficientes determinados como a k = (p)! p+ (k)! (p k)! y, por lo tanto el desarrollo en la base de los polinomios de Hermite f(x) = x p = (p)! p+ p k= H k (x) (k)! (p k)! < x <. Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida

4 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Muestre que del mismo modo se puede encontrar f(x) = x p+ = (p )! p p k= H k+ (x) (k + )! (p k)! < x <. Si f(x) = e a x con Re a >. Otra vez entonces = ( )k π(k)! a k = f(x) = e a x = a k H k (x) k= k (k)! e (a +)x H k (x) π Sustituyendo H k (x) por su expresión integral tendremos [ a k = k (k)! e (a +)x k+ ( ) k e x π π [ ] e a x e t t k cos xt dt ( )k π(k)! = ( )k π(k)! e t t k [ e t t k [ π a e t /a ] = ( )k e t (+a ) t k dt π(k)!a = ( )k π(k)! = ( )k π(k)! a k ( + a ) k+/ a k ( + a ) k+/ Γ ] e a x cos xt dt = dt e t t k cos xt dt e s s k ds t ( + a ) = s ( k + y ahora usando, otra vez la propiedad de duplicación de la función gamma, ( k Γ k + ) k! = π (k)! ) ] obtenemos por lo tanto f(x) = e a x = ( ) k a k a k = k k! ( + a ) k+/ k= ( ) k a k k k! ( + a ) k+/ H k(x) Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida

5 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Al igual que los polinomios de Legendre, los de Hermite, surgen tambián en sus orígenes como soluciones a la ecuación diferencial ordinaria del tipo Vale decir: d x dh n(x) + n = n Ecuación de Hermite Solución d H (x) x dh (x) = H (x) = 3 4 d H (x) d H (x) d H 3 (x) d H 4 (x) x dh (x) x dh (x) x dh 3(x) x dh 4(x) + H (x) = H (x) = x + 4H (x) = H (x) = 4x + 6H 3 (x) = H 3 (x) = 8x 3 x + 8H 4 (x) = H 4 (x) = 6x 4 48x +.. Función Generatriz de los Polinomios de Hermite Se puede encontrar una función generatriz H(t, x) de los polinomios de Hermite: H(t, x) = e xt t = H (x) + H (x) t + H (x) t + H 3(x) 3! t + = t n para la cual los son los coeficientes de su desarrollo en series de potencias. Es fácil darse cuenta que esta expresión proviene del desarrollo en Serie de Taylor para lo cual [ n ] H(t, x) t n H(t, x) = e xt t = t= [ n ] H(t, x) t n t= t n t < [ ] [ ] n = e x t n e (x t) = ( ) n d n e x t= du n e (u) = u=x Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad de Los Andes, Mérida

6 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series.3. Relación de Recurrencia A partir de la función generatriz se puede construir la siguiente identidad H(t, x) t = (x t) H y utilizando el desarrollo en series de potencias en t tendremos, es decir: H (x) + Por lo tanto: n= n= n= nt n = x nt n x H n+ (x) (n + )! (n + )tn x H n+ (x) (n + )! (n + )tn xh (x) x H (x) xh (x) }{{} = Así la relación de recurrencia será + n= t n t n + t n+, t n+ =, t n H n (x) + t n =, (n )! n= t n + n= n= [ Hn+ (x) (n + )! (n + ) xh n(x) + H n (x) (n )! H n+ (x) (n + )! (n + ) xh n(x) + H n (x) (n )! tn =. n= }{{} = H n+ (x) x H n(x) + H n (x) (n )! = H n+ (x) x + nh n (x) = De igual modo, podemos partir de otra identidad H n (x) (n )! tn =, ] t n =, H(t, x) x = t H H n(x) t n = t n+, es decir: n= H n(x) t n = n= H n (x) (n )! t n H n(x) = H n (x) (n )! Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad de Los Andes, Mérida

7 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series y encontrar una relación para generar las derivadas de los polinomios de Hermite en término de ellos mismos: H n(x) = n H n (x), n =,, 3,. Finalmente, utilizando la ecuación anterior en la relación de recurrencia y derivando esa expresión una vez más, queda como: H n+ (x) x + H n(x) = H n(x) xh n(x) + n = con lo cual queda demostrado que los polinomios de Hermite son una solución particular de esa ecuación diferencial. y xy + ny =, Donde hemos hecho y = Adicionalmente, podremos demostrar que y = e x / es solución de la ecuación diferencial autoadjunta y + ( n + x ) y =..4. Ortogonalidad y Norma de los Polinomios de Hermite En general estos polinomios cumplen con e x H β (x)h α (x) = α α! πδ αβ. Donde la función delta de Kronecker es δ αβ = si α β; y δ ββ =. Para demostrar el caso α β partimos de u β [ u α + ( α + x ) u α ] = u α [ u β + ( β + x ) u β ] = restando miembro a miembro e integrando se tiene que: [ u α u β u β u ] α + (α β) uα u β = ya que (α β) e x H α (x)h β (x) = e x H α (x)h β (x) = α β; e x / {α H α (x)h β (x) β H β (x)h α (x)} = Para encontrar el valor de la norma, procedemos a partir de la relación de recurrencia [ xh n (x) + (n )H n (x)] = H n (x) [H n+ (x) x + nh n (x)] = Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad de Los Andes, Mérida

8 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series restando miembro a miembro, multiplicando por e x e integrando entre (, ) se obtiene e x Hα(x) = α e x Hα (x) repitiendo la operación y recordando que al final queda e x x = π Obtenemos e x H α(x) = α α! π.5. Representación Integral de los Polinomios de Hermite Los polinomios de Hermite pueden ser representados como = n ( i) n e x π e t +itx t n dt que puede ser separada como y para los términos impares = n+ ( ) n e x π e t t n cos(xt)dt, n =,, 3, H n+ (x) = n+ ( ) n e x π e t t n+ sen(xt)dt, n =,, 3, La forma de llegar a cualquiera de estas últimas fórmulas se parte de las conocidas integrales desarrolladas en el plano complejo e x = π e t cos(xt)dt se deriva n veces a ambos miembros se utiliza la definición de los polinomios de Hermite..6. El Oscilador armónico, independiente del tiempo, en Mecánica Cuántica. La Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y en una dimensión es d µ ψ(x) + [E U(x)] ψ(x) =, Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidad de Los Andes, Mérida

9 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Figura : Polinomios de Hermite con µ la masa de la partícula; E los niveles de energía y U(x) el potencial al cual está sometida la partícula. En el caso que estudiemos un potencial del tipo U(x) = µω x en el cual la frecuencia angular del oscilador viene representada por ω. La ecuación de Schrödinger se convierte en d µ ψ(x) + [E µω x ] ψ(x) =, haciendo un cambio de variable ξ = x µω/ para adimensionalizar la ecuación de Schrödinger, se obtiene [ ] E ψ (ξ) + ω ξ ψ(ξ) =, la cual corresponde a la forma autoadjunta de la Ecuación de Hermite: y por lo tanto identificamos ψ (ξ) + [ n + ξ ] ψ(ξ) =, ( E ω = n + E = n + ) ω, con lo cual comprobamos la forma como viene cuantizada la energía en este sistema y la energía del estado fundamental. Por su parte, la función de onda se podrá expresar en la base de soluciones de esa ecuación ψ(ξ) = c n ψ n (ξ) = c n e ξ / H n (ξ). Si mantenemos la normalización ψ n(ξ)dξ = con c n = ( µω ) /4 π n. Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidad de Los Andes, Mérida

10 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series.7. Resumen de Propiedades Polinomios Hermite Definición: = ( ) n dn x e n e x, n =,,,... = n/ k= ( ) k k! (n k)! (x)n k Ejemplos: H (x) = ; H (x) = x; H (x) = 4x ; H 3 (x) = 8x 3 x Relaciones de Recurrencia: H (x) = ; H (x) = x; H (x) = 4x Ecuaciones Diferenciales: y xy + ny = H n(x) = n H n (x), n =,, 3,... u + ( n + x ) u = ; u(x) = e x / Función Generatriz: H(t, x) = e xt t = t n Representación Integral: = n+ ( ) n e x π e t t n cos(xt) dt H n+ (x) = n+ ( ) n e x π Ortogonalidad: α α! π δ αβ = e x H β (x)h α (x) e t t n+ sen(xt) dt Practicando con Maple: > restart: with(orthopoly): > plot([h(,x), H(,x), H(,x), H(3,x), H(4,x)], x=-3..3,y=-5..5);. Planteamiento General para Polinomios Ortogonales Hemos considerado un par de ejemplos de Polinomios Ortogonales. En ambos podemos idenficar algunas características comunes. En base a estas características comunes definiremos otras familias de polinomios ortogonales. Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

11 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Nomenclatura Nombre a b w(x) h n h P n (x) Legendre n + π T n (x) Tchebychev E π x π U n (x) Tchebychev E x Hermite e x n π L n (x) Laguerre e x L α n(x) Laguerre G x α e x con α > P αβ Γ(n+α+) n (x) Jacobi ( x) α ( + x) β Cuadro : Propiedades genéricas de los Polinomios Ortogonales, N n indica la norma del polinomio de grado n. En el caso de los polinomios de Jacobi, la norma es h n = α+β+ Γ(n + α + )Γ(n + β + ) n + α + β + Γ(n + α + β + ) con α > y β >. 3. Producto interno genérico, norma y ortogonalidad Los polinomios ortogonales se definen como un conjunto de polinomios {p n (x)} de orden n definidos en un determinado intervalo a x b, los cuales son ortogonales respecto a una definición de producto interno b a w(x)p m (x)p n (x) = h n δ nm con w(x) > una función peso en a x b que garantiza que la norma sea finita en ese intervalo. Dado que el Teorema de Weierstrass garantiza que el conjunto de polinomios {, x, x,, x n, } es una base completa para un espacio vectorial E, se procede a ortogonalizar esa base con la definición de producto interno y el intervalo que corresponda. Para cada caso tendremos una base ortogonal de polinomios. En el cuadro resumimos las propiedades más resaltantes, com lo son: la función peso en el producto interno, el intervalo en el cual están definidas estas fuciones y su norma. 4. Fórmula de Rodrigues genelarizada En general todos los polinomios ortogonales {p n (x)} vienen definidos por la fórmula de Rodrigues generalizada d n p n (x) = w(x)µ n n (w(x)q(x)n ) donde w(x), q(x) y µ n vienen especficados en el cuadro para cada conjunto de polinomios ortogonales Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

12 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Polinomio µ n w(x) q(x) P n n x ( ) n T n n+ Γ ( n + ) π x x ( ) n U n (n + ) π n+ Γ ( n + 3 ) x x H n ( ) n e x L n e x x L α n x α e x x Cuadro : Funciones para determinar la Fórmula de Rodrigues generalizada 5. Ejemplos de Polinomios Ortogonales Utilizando la fórmula de Rodrigues generalizada, podemos construir algunos polinomios generalizados. El cuadro 3 muestra algunos de ejemplos de estos polinomios ortogonales Polinomio n = n = n = n = 3 n = 4 P n x (3x ) (5x3 3x) 8 (35x4 3x + 3) T n x x 4x 3 3x 8x 4 8x + U n x 4x 8x 3 4x 6x 4 x + H n x 4x 8x 3 x 6x 4 48x + L n x x x + 6 (x3 9x + 8x 6) Cuadro 3: Ejemplos de Polinomios Ortogonales 4 (x4 6x 3 + 7x 96x + 4) 6. Relaciones de Recurrencia También se pueden formular, de manera genérica las relaciones de recurrencia. Obviamente, las relaciones de recurrencia también constituyen una forma alternativa de ir construyendo los polinomios ortogonales. Así, un polinomio ortogonal genérico, p n (x), cumplirá p n+ (x) = (a n + xb n )p n (x) c n p n (x) El cuadro 4 contiene las expresiones de los coeficientes para construir las relaciones de recurrencia generalizadas para cada uno de los polinomios 7. Función generatriz generalizada Para todos los polinomimos ortogonales podemos definir una función generatriz G(x, t), de tal manera que cada uno de los polinomios ortogonales {p n (x)} será proporcional al coeficiente de t n del Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

13 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series Polinomio a n b n c n n + n P n n + n + T n U n H n n n + L n n + L α n + + α n n + n + n + n n + α n + Cuadro 4: Funciones para determinar la Relación de Recurrencia Generalizada desarrollo en series de Taylor, en potencias de t alrededor del punto x =. Esta función generatriz que constituye una forma alternativa de definir los polinomios ortogonales viene expresada por la serie G(x, t) = C n p n (x) t n con a n constante Las funciones generatrices no son exclusivas de los polinomios ortogonales. Como veremos más adelante, existen funciones generatrices para las funciones de Bessel. Polinomio C n G(x, t) P n xt + t t T n xt + t + U n xt + t H n / e xt x H n n /(n)! cos(xt)e t H n+ n /(n + )! sen(xt)e t xt L n t e t xt L α n ( t) α e t Cuadro 5: Funciones para determinar la función generatriz generalizada Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida

14 Semana 3 - Clase 7 9// Tema : Series 8. Ecuación diferencial para los Polinomios Ortogonales Cada uno de los polinomios ortogonales habrá de ser solución de una ecuación diferencial ordinaria de la forma g (x) d p n (x) + g (x) dp n(x) + α n p n (x) = En el cuadro 6 mostramos las expresiones para los coeficientes de las ecuaciones correspondientes a las ecuaciones diferenciales para las cuales cada uno de los polinomio ortogonales es solución Polinomio g (x) g (x) α n P n x x n(n + ) T n x x n U n x x n(n + ) H n x n L n x x n L α n x x + α n Pn αβ x β α x( + α + β) n(n + α + β + ) Cuadro 6: Funciones para determinar la ecuación diferencial para la cual son solución los polinomios ortogonales Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida