Soluciones del capítulo 9 Optimización Estática

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1 Soluciones del capítulo 9 Optimización Estática Héctor Lomelí y Beatriz Rumbos 6 de febrero de 00 9 Sean A y B dos subconjuntos convexos de R n : b Sea A + B = {a + b : a A y b B} y sean x, y A + B Se tiene que x = a + b y y = a + b con a, a A y b, b B Como A y B son convexos entonces λ 0, se tiene que λa + λa A y λb + λb B Por lo tanto λx + λy = λa + b + λa + b = [λa + λa ] + [λb + λb ] A + B Por lo tanto A + B es convexo c Sea R y A = {a : a A} y sean x, y A Entonces, x = a y y = a con a, a A Como A es convexo entonces λ 0, se tiene que λa + λa A Por lo tanto, λx + λy = λa + λa = λa + λa A Por lo tanto A es convexo 9 Sea X R n un conjunto convexo y sean f, g : X R dos funciones cóncavas y α R a Como f es cóncava, entonces λ 0, y x, x X, se tiene que f λx + λx λf x + λ f x Si α > 0 entonces α f λx + λx αλf x + λ f x = λα f x + λα f x Por lo tanto α f es cóncava b Como f es cóncava, entonces λ 0, y x, x X, se tiene que f λx + λx λf x + λ f x Si α < 0 entonces Por lo tanto α f es convexa α f λx + λx αλf x + λ f x = λα f x + λα f x c Como f y g son cóncavas, entonces λ 0, y x, x X, se tiene que f λx + λx λf x + λ f x y gλx + λx λgx + λgx Entonces f λx + λx + gλx + λx [λf x + λ f x ] + [λgx + λgx ] Por lo tanto f + gλx + λx λ f + gx + λ f + gx Es decir, f + g es cóncava

2 d Como f es cóncava, entonces λ 0, y x, x X, se tiene que gλx + λx λgx + λgx Como h es creciente y cóncava entonces h gλx + λx = hgλx + λx Por lo tanto h g es cóncava hλgx + λgx λhgx + λhgx = λh gx + λh gx 93 a Convexo b No convexo c Convexo 94 a Dado > 0, el contorno superior C S f = {x, y R + : xy } es un conjunto convexo, por lo tanto f es cuasi cóncava b Como f es doblemente diferenciable podemos usar su matriz hessiana H = Como f xx = f yy = > 0 y H = 0, entonces H es positiva semidefinida Por lo tanto, f es convexa 0 c Como f es doblemente diferenciable podemos usar su matriz hessiana H = Como 0 f xx = f yy = > 0 y H = 4 > 0, entonces H es positiva definida Por lo tanto, f es estrictamente convexa 95 f es una función cóncava para a 0 y b 0 96 a Si el dominio de la función se restringe a R ++, entonces como gx, y = xy es cuasi cóncava y log x es estrictamente creciente, f x, y = log xy es cuasicóncava Si el dominio incluye x, y < 0 entonces el dominio no es convexo b f es cóncava c f es convexa 97 gx = log n = x α = n= α logx Como g es doblemente diferenciable en su dominio podemos considerar a su matriz hessiana α 0 0 x 0 H = α 0 x 0 0 α n xn

3 Como H es positiva definida, entonces H es negativa definida y g es estrictamente cóncava 98 Sea hx = expgx = n = x α En el ejercicio anterior se demostró que g es estrictamente cóncava Dado que expx es creciente, entonces f q es cuasi cóncava 99 a Sean ã = a f a y b = b Sea µ = f b b Entonces f ã = f a f a = f a f a f a f a = De manera similar, f b = Por lo tanto, ã b C S f λf b λ f a+λf b Como λ, λ, f b, f a > 0, entonces µ > 0 Por otra parte, como λ f a > 0, entonces λf b < λf b + λ f a Por lo tanto µ = Entonces µ 0, λf b λ f a+λf b < c Como ã, b C S f, µ 0, y C S f es convexo, entonces µã + µ b C S f Por lo tanto f µã + µ b d De la definición de µ se tiene que 90 Entonces µ = f µã + µ b λ f a a = f λ f a + λf b f a λa + λb = f = λ f a + λf b λf b λ f a + λf b = λ f a λ f a + λf b + f λa + λb λ f a + λf b λf b λ f a + λf b Por lo tanto f λa + λb λ f a + λf b Es decir, f es cóncava b f b En el ejercicio 98 se mostró que f x = n i= x α es cuasicóncava Además, para x R n ++, f x > 0 Si n = α =, entonces f es homogénea de grado Por lo tanto, por el resultado del ejercicio 99 se tiene que f es cóncava Si 0 < n = α <, entonces la función se obtiene como una transformación cóncava y creciente de la función gx = n i= x α cóncava pues β n= α = ; por lo tanto, f x es también cóncava 9 a Si λ > 0 entonces wλx = δ λx + δ λx + + δ n λx n β con β = n = α, que es = λ δ x + δ x + + δ nx n = λ δ x + δ x + + δ nx n = λwλx, λx,, λx n 3

4 b Supongamos que n i= δ i = Entonces, Tenemos que lim en donde f = log lim n δ x = lim i= exp n log δ x = lim i= n lim i= δ x f g = lim n log δ x i= n = lim exp log δ x i= log ni= δ x = lim f g,, y g = Usando el teorema de L Hopital f g ni= δ x log x ni= δ x = lim n = δ log x i= = ni= δ log x ni= δ De esta forma, como la función exponencial es continua, se tiene: log ni= δ x n lim exp = lim exp δ log x i= n n = exp log = c Si = entonces wx = n i= δ x i= x δ i= x δ d La matriz hessiana de gx es δ x δ H = x δ n xn Por lo tanto, si 0,, H es negativa definida y g es cóncava e wx = gx, por lo tanto como g es cóncava, entonces w es cuasi cóncava Como además es positiva y homogénea de grado, por el teorema demostrado en el ejercicio 99, w es también cóncava Además cuando = es lineal y por lo tanto cóncava En general, si 0, ], entonces w es cóncava 4

5 9 Se definen ã = f a a y b = f b b Como f es homogénea de grado se tiene que f ã = f b = y, por lo tanto, ã, b C I f Para a, b X y para λ 0, se define µ = λf b λ f a + λf b y se muestra como en el ejercicio 99 que 0 < µ < Como la función es cuasi convexa, C I f es convexo y por lo tanto f µã + µ b Finalmente, substituyendo con µ, ã y b y utilizando la homogeneidad de f resulta que λ f a + λf b f λa + λb Es decir, f es convexa Sea w una función CES Cuando > se tiene que w es cuasi convexa ver ejercicio 9, como además es homogénea de grado y positiva, es necesariamente convexa 93 a Sean a < z < z 3 < b y z = λz + λz con λ 0, ; entonces, f z λf z + λ f z 3 Además se tiene que si λ = z 3 z z 3 z y λ = z z z 3 z se cumple: f z = λf z + λ f z = z 3 z z 3 z f z + z z z 3 z f z λf z + λ f z 3 = z 3 z z 3 z f z + z z z 3 z f z 3 Multiplicando por z 3 z > 0 y reacomodando términos se obtiene que es decir, z 3 z f z f z z z f z 3 f z, f z f z z z f z 3 f z z 3 z b Dado que los números reales forman un campo completo, siempre se puede encontrar un número real entre dos números reales distintos Por lo tanto, para cualquier x a, b, se pueden elegir r, s, t, u tales que a < r < s < x < t < u < b c Eligiendo r, s, t, u como en el inciso b y usando el resultado del inciso a se tiene que f s f r s r f x f s x s f t f y t y f y f x y x f u f t u t Por lo tanto, si definimos las constantes C y C comoro C = obtiene que para todo y x, t se tiene que f s f r s r y C = f u f t u t se C f y f x y x C 5

6 d lim C y x lim f y f x lim y x + y x + C y x Como lim C y x = lim C y y x + y x + y x + x = 0, entonces lim f y f x = 0 Esto implica que lim y x + f y = lim f x = f x y x + y x + Análogamente se puede demostrar que lim f y = f x Por lo tanto lim f y = f x, es y x y x decir, f es una función continua en a, b 94 Como f es clase C, podemos escribir su mejor aproximación de segundo orden como: f y f x + y x T f x + y xt H f xy x f es cóncava si y sólo sí f x + y x T f x f y f x + y x T f x + y xt H f xy x Entonces f es cóncava si y sólo si para todo y, x X se tiene que y xt H f xy x 0 Es decir, si y sólo si H f es negativa semidefinida Si H f es negativa definida, entonces para todo y, x X se tiene que y xt H f xy x < 0, y por lo tanto f x + y x T f x > f x + y x T f x + y xt H f xy x f y Por lo tanto, f es estrictamente cóncava De forma análoga se muestra que f es convexa si y solo si H f es positivo semidefinido y que si H f es positiva definida entonces f es estrictamente convexa 95 Sea x = x, y la solución del problema con gx 0, entonces g y x 0 y, por el teorema de la función implícita, en una vecindad de x, y es una función diferenciable de x y dy dx = g x g y Entonces, el problema se puede reescribir como max Fx = f x, yx y la condición de primer orden es d F dx x = f x x + f y x g xx g y x = 0 Es decir, Se define f x x g x x = f yx g y x λ = f xx g x x = f yx g y x Por lo que la condición de primer orden equivale a: f x = λ gx 6

7 96 a Por el lema de Shepard C w j = x j > 0 Por lo tanto C es creciente en w j para cada j =,,, n Entonces, w > w implica que Cw, q > Cw, q b Cw, q = min{w x : f x = q}, Ctw, q = min{tw x : f x = q} = t min{w x : f x = q} Por lo tanto, el vector de insumos óptimo x tw, q es igual a x w, q la intuición es que los precios relativos de los insumos no cambian Por lo tanto: Ctw, q = tw x tw, q = tw x w, q = tcw, q c Sea w = λw + λw Los vectores óptimos de insumos para w y w son x w, q y x w, q, respectivamente, de manera que se cumple: 97 Por lo tanto Cw i, q = w i x w i, q w i x w, q, i =, Cw, q = Cλw + λw, q = λw x w, q + λw x w, q λw x w, q + λw x w, q = λcw, q + λcw, q La última igualdad se cumple en virtud del inciso anterior a El máximo f max ocurre en x, y = 6000, Además f max = = b La distancia mínima d min ocurre en los puntos P = y P = Además d min = c El máximo f max ocurre en x, y = 0, 4 con f max = ln 0 d El mínimo f min ocurre en x, y = 5, 5 con f min = 50 e El máximo f max ocurre en x, y, z =,, con f max = 98 a El lagrangiano es Lx, y, λ, λ, A = 3 log x + 3 log y λ 3x + y A λ x + y 40 Las condiciones de Kuhn Tucer están dadas por: L x = 3x 3λ λ 0, x > 0, 3x 3λ λ L y = 3y λ λ 0, y > 0, 3y λ λ 3x + y A 0, λ 0, λ 3x + y A = 0, x + y 40 0, λ 0, λ x + y 40 = 0 x = 0, y = 0, 7

8 El ingreso se tiene que restringir al intervalo 40, 0 porque si A 40 entonces la segunda restricción será inútil De forma similar, si A 0, entonces la primera restricción del problema será inútil b Si A 40, 60, entonces x = 6 A, y = A, λ = 3A, λ = 0 c Si A [60, 80], entonces x = A 0, y = 60 A, λ = A A 40 d Si A 80, 0, entonces x = y = 0, λ = 0, λ = 60 A 40 0 A, λ = 99 La función valor es V A = 3 log x + 3 log y = Lx, y, λ, λ, A = 3 log x + 3 log y λ 3x + y A λ x + y 40 El teorema de la envolvente dice que V A = λ Ahora bien, para los tres casos del problema anterior tenemos: a Si A 40, 60, entonces b Si A [60, 80], entonces c Si A 80, 0, entonces V A = 3 log x + 3 log y = 3 log 6 A + 3 log A, V A = 3A = λ V A = 3 log A log 60 A, V A = 3 A 40 = λ 0 A V A = 3 log 0 + log 0, 3 V A = 0 = λ 90 a Elevar al cuadrado es una transformación creciente de manera que el vector x, y, z, w que minimiza la distancia es el mismo que minimiza la distancia al cuadrado La función valor definida V α representa el cuadrado de la distancia mínima entre la parábola y = x y la recta y = αx para un valor dado de la pendiente α 8

9 b El lagrangiano del problema es Lx, y, z, w, λ, λ, α = x z + y w λ αx + y + λ w z c La función valor es 0 si α V α = 4 α si α < 4 +α d V α = { 0 si α 4 α α6+α si α < +α 4+α Geométricamente, la recta es tangente a la parábola si α = y secante si α > En ambos casos la distancia mínima es = 0 y se tiene que x, y = z, w = α ± α 4 α ± α, 4, λ = λ = 0 9 Si α <, entonces la parábola y la recta no se cortan La distancia mínima de la parábola a la recta sucede en el punto z, w en el cual se cumple que la tangente a la parábola tiene una pendiente igual a α El problema puede resolverse explícitamente utilizando el lagrangiano obteniendo: x, y α6 + α = 4 + α, α 6 + α 4 + α z, w α =, α, 4 Así, λ = 4 α + α, λ = 4 α + α si α < V α = y se verifica el teorema de la envolvente { 0 si α λ x si α < El lagrangiano del problema es Lx, q, λ; w, p = pq wx λ f x q La función de máxima ganancia es la función valor Por el teorema de la envolvente y L w, p = p p x w, p, q w, p, λ w, p = q w, p L w, p = w w x w, p, q w, p, λ w, p = x w, p 9

10 9 El lagrangiano del problema es Lx, λ; p, Ū = p T x λ Ux Ū La función de gasto es la función valor Por el teorema de la envolvente E p, Ū = L x h p, Ū, λ p, Ū = x h j p, Ū p j p j 93 D En el óptimo del problema de minimización de gasto se cumple la restricción Ux h p, V p, m = V p, m = Ux p, m Si U es monótona creciente y cóncava entonces es también invertible y es posible cancelar U de ambos lados de la igualdad Por lo tanto x h p, V p, m = x p, m D En el óptimo del problema de maximización de utilidad se cumple la restricción p T x p, Ep, Ū = Ep, Ū = p T x h p, Ū Como esto vale para p arbitraria, entonces x p, Ep, Ū = x h p, Ū D3 Por el inciso anterior y porque se cumple la restricción de Hics se tiene que V p, Ep, Ū = Ux p, Ep, Ū = Ux h p, Ū = Ū D4 Por el inciso anterior y porque se cumple la restricción de Marshall se tiene que 94 a xp, m = αm p, yp, m = βm p [ α β b V p, m = log α β p p m ] c Ep, Ū = p α β p α β eū d x h p, Ū = 95 a xp, m = m Ep, V p, m = p T x h p, V p, m = p T x p, m = m αp βp β eū, y h p, Ū = r p r r r r p +p [ r b V p, m = m p r + p r, yp, m = m r [ r c Ep, Ū = Ū p r + p r [ d x h r p, Ū = Ū p p r r r ] r r ] r r r + p r βp αp α eū r p r r r r p +p ] [ r, y h r p, Ū = Ū p ] r + p r r p r r 0

11 96 Se tiene que x p, Ep, Ū = x h p, Ū Entonces Por el lema de Shepard E p j = x h j, y como x i p j + x i m E p j = xh i p j Ū = V p, m, m = Ep, Ūyx h j p, V p, m = x j p, m, entonces xi + x xi j p j m = xh i p j 97 a No es convexo b Un elefante dentro de una boa En serio