TEORÍA CLÁSICA DE LA DEMANDA ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA 1 Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana

Transcripción

1 TEORÍA CLÁSICA DE LA DEMANDA ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana La teoría clásica de la demanda La teoría clásica de la demanda pretende explicar el comportamiento del consumidor, caracterizado por el aparato conceptual de la teoría de la elección, mediante el concepto de preferencia: la aserción es que el consumidor demanda lo que demanda precisamente porque posee un cierto ordenamiento de preferencias que de hecho puede ser representado por una cierta función de utilidad. La TCD genera, a partir de una estructura de preferencia, una serie de funciones. Dada una cierta clase de estructuras de preferencia que aquí llamaré clásicas se procede a generar las funciones de demanda alrasiana, indirecta de utilidad, de demanda hicksiana y de gasto. El concepto de estructura de preferencia clásica es introducida en la siguiente definición. DEFINICIÓN es una estructura de preferencia clásica syss existe tal que (0) Å ; () es una estructura de preferencia regular; () es estrictamente convexa; (3) es localmente insaciada; (4) es suave. TEOREMA Sea Å una estructura de preferencia clásica. Entonces existe una función de utilidad u:å R que representa y tiene las siguientes propiedades: () u es estrictamente cuasicóncava; () u es continuamente diferenciable; (3) u(0) 0 y u(x) 0 para todo x 0.

2 GARCÍA DE LA SIENRA Demostración: Los argumentos dados en el capítulo anterior establecen la existencia de una función de utilidad continuamente diferenciable. Para demostrar (), sean x, x ¼ elementos arbitrarios de Å con u(x) u(x ¼ ) y x x ¼, y sea «¾ (0 ). Tenemos que x x ¼ y x x ¼ lo cual implica, por la estricta convexidad de, que «x ( «)x ¼ x ¼ ; luego, u«x ( «)x ¼ u(x ¼ ). Llamaremos normal a una función de utilidad que represente una estructura de preferencia clásica y que posea las propiedades enunciadas en el Teorema. El problema de calcular el máximo de u para un (p ) dado es llamado el problema del consumidor (PC) o el problema de la maximización de la utilidad (PMU). El problema de calcular el mínimo costo de alcanzar un determinado nivel de utilidad para un sistema de precios dado p dado es llamado el problema de la minimización del gasto (PMG). De hecho cada uno de estos problemas es dual del otro. Estos problemas usualmente se atacan mediante el método de los lagrangianos. TEOREMA Sea Å la estructura de elección inducida por la estructura de preferencia clásica Å y u:å R una función de utilidad normal que representa Å. Para cada (p ) ¾ Å Æ R, la función de utilidad u alcanza un máximo global en un único punto (x) de B p. Demostración: Para cualquier par (p ), el conjunto B p es compacto. Como u es continua, el teorema de Weierstrass implica que u tiene un máximo (de hecho, también un mínimo) en B p. Si ˆx es el punto en el que u asume el máximo, tiene que ser único. Pues de lo contrario, como B p es convexo, si x fuera otra punto de B p con u(x ) u( ˆx), la combinación convexa «ˆx ( «)x estaría en B p y sería estrictamente más preferida que ˆx, debido a la convexidad estricta de, lo cual es imposible. DEFINICIÓN La función : Å Æ R Å, que asigna a cada (p ) ¾ Å Æ R el único punto de B p en el que u asume el máximo valor, es llamada la función de demanda alrasiana. TEOREMA 3 La función de demanda alrasiana es homogenea de grado cero.

3 TEORÍA DE JUEGOS 3 Demostración: Esto se sigue del hecho de que px «px «Es decir, B p B «p«. TEOREMA 4 (LEY DE WALRAS) La función de demanda alrasiana satisface la Ley de Walras. Demostración: Se requiere demostrar que el punto ˆx en el que u asume el valor máximo en B p pertenece al hiperplano x ¾ Å px. Si ˆx ¾ x ¾ Å px hay una vecindad V de ˆx y un punto x ¼ ¾ V B p tal que x ¼ ˆx. Pero ello es imposible porque ˆx es óptimo en B p. TEOREMA 5 La función de demanda alrasiana es continua. Demostración: Es menester mostrar que, para cualquier sistema (p ), vector infinitesimal ε ¾ * Å Æ y número infinitesimal positivo, (p ε ) ³ (p ) Para ello procederé del siguiente modo. Siendo p ¼ p ε y ¼, mostraré primeramente que hay puntos (no estándar) sobre el hiperplano presupuestal de B p ¼ infinitamente cerca de ˆx (p ). En segundo ¼ lugar, y de manera análoga, mostraré que hay puntos (estándar) sobre el hiperplano presupuestal de B p infinitamente cerca de ˆx ¼ (p ¼ ¼ ). La continuidad de u implicará que ˆx ¼ ¾ hal( ˆx), pues de lo contrario habrían menús x (estándar) en el hiperplano de B p y x ¼ (no estándar) en el de B tales que p ¼ ¼ x¼ ³ ˆx y x ³ ˆx ¼, en cuyo caso tendríamos que la diferencia u( ˆx) u(x) es positiva y apreciable (porque ˆx x), de modo que la diferencia u(x ¼ ) u( ˆx ¼ ) también lo es, lo cual es imposible porque ˆx ¼ x ¼. TEOREMA 6 La función de demanda alrasiana es continuamente diferenciable. DEFINICIÓN 3 La función indirecta de utilidad es la aplicación v:å Æ R R que asigna a cada (p ) el máximo u( ˆx) de u en B p ; es decir, v(p ) u(p ).

4 4 GARCÍA DE LA SIENRA TEOREMA 7 La función indirecta de utilidad v tiene las siguientes propiedades: () v es homogénea de grado cero; () v es estrictamente creciente en y no creciente en p l para todo l; (3) v es cuasiconvexa; (4) v es continuamente diferenciable en p y. Demostración: () Si «es un número real positivo, la desigualdad px es equivalente a «px «, de modo que el conjunto presupuestal B p es idéntico a B «p«y el óptimo de B p es idéntico al de B «p«. Pero esto significa que v(p ) v( «p «). () Si ¼, B p es un subconjunto propio de B p ¼ y sus correspondientes hiperplanos presupuestales no se intersectan, de modo que el óptimo de B p ¼ es estrictamente preferido al de B p ; pero esto significa que v(p ) v(p ¼ ). Si p ¼ l p l entonces p ¼ es idéntico a p excepto en la coordenada l, donde aparece el precio pl. ¼ Como el hiperplano de B p ¼ puede tener elementos en común con el de B p, el óptimo puede ser el mismo en ambos conjuntos pero también es posible que el óptimo del segundo sea estrictamente preferido al del primero, lo cual significa que v(p ¼ ) v(p ). (3) Es menester demostrar que si v(p ) ṽ, v(p ¼ ¼ ) ṽ y «¾ 0 entonces v«(p ) ( «)(p ¼ ¼ ) ṽ Para cualquier menú x ¾ Å, si x no está en ninguno de los conjuntos presupuestales B p y B p ¼ ¼, tampoco está en el conjunto B «(p) ( «)(p ¼ ¼ ). En efecto, px y p ¼ x ¼ implican «p ( «)p ¼ x «px ( «)p ¼ x «( «) ¼ Luego, el óptimo de B «(p) ( «)(p ¼ ¼ ) tiene que pertenecer a B p o a B p ¼ ¼. En el primer caso, v«(p ) ( «)(p ¼ ¼ ) v(p ) ṽ;

5 TEORÍA DE JUEGOS 5 en el segundo, v«(p ) ( «)(p ¼ ¼ ) v(p ¼ ¼ ) ṽ (4) Para demostrar que v es continuamente diferenciable en p y, observemos que v es la composición u Æ de las funciones de utilidad y de demanda alrasiana. Como ambas funciones son continuamente diferenciables, la regla de la cadena implica que v es continuamente diferenciable. En efecto, J v(p) J u(p) J (p) TEOREMA 8 Para cada ( p ũ) ¾ Å Æ u( Å), la función : Å R tal que (x) px tiene un mínimo precisamente en un punto de K x ¾ Å u(x) ũ. Demostración: Como (K) está acotado por abajo, tiene un inf, digamos. Mostraremos que es elemento de (K). Pero ello es inmediato porque K es cerrado. Se sigue que hay un punto x en K tal que ( x). El nivel de utilidad de cualquier punto que satisfaga la ecuación ( x) debe ser precisamente ũ pues de lo contrario sería mayor y sobre la recta R x ¾ Å «x para algún «¾ 0, que une a x con 0, habría un punto «x tal que u( «x) ũ, debido a la continuidad de u. Pero entonces tendríamos «x ¾ K con ( «x) «( x) ( x), contradiciendo el hecho de que alcanzaba su mínimo en K en x. x es el único punto en el que alcanza un mínimo en K pues, si x ¼ fuera otro punto tal, la combinación convexa «x ( «) x ¼ también lo sería, lo cual implicaría que u«x ( «) x ¼ ũ, contradiciendo el hecho de que u«x ( «) x ¼ u( x). DEFINICIÓN 4 La función de gasto es la aplicación e : Å Æ u( Å) R que asigna a cada (p u) el mínimo de en x ¾ Å u(x) u. TEOREMA 9 La función de gasto e tiene las siguientes propiedades: () e es homogénea de grado uno en p; () e estrictamente creciente en u y no decreciente en p l para todo l; (3) e es cóncava en p; (4) e es continuamente diferenciable en p y u.

6 6 GARCÍA DE LA SIENRA Demostración: DEFINICIÓN 5 La función de demanda hicksiana es la aplicación h : Å Æ u( Å) (R) que asigna a cada (p u) el vector óptimo del PMG. TEOREMA 0 La función de demanda hicksiana h tiene las siguientes propiedades para todo (p u) ¾ Å Æ u( Å): () h es homogénea de grado cero en p; () h es estrictamente creciente en u y no decreciente en p l para todo l; (3) hay precisamente un elemento en h(p u), de modo que h es una función. (4) Para todo ph(p u) ; TEOREMA La función de demanda hicksiana satisface la ley compensada de la demanda; e.e. (p ¼¼ p ¼ ) h(p ¼¼ u) h(p ¼ u) 0 TEOREMA Para cada (p u), la función de demanda hicksiana es el vector de derivadas de la función de gasto con respecto a los precios h(p u) Ö p e(p u) Demostración: Sea K el conjunto x ¾ Å u(x) ũ. Como K es convexo y cerrado, y hemos demostrado (Teorema 8) que y la función soporte de K, e(p u), es diferenciable con respecto a p, existe un único punto ˆx ¾ K tal que p la característica de que Öe(p u) ˆx, donde es el único punto tal que Esto es una consecuencia del Teorema de Dualidad, donde TEOREMA 3 La función de demanda hicksiana h( u) satisface las siguientes identidades: () D p h(p u) D pe(p u); () D p h(p u) es semidefinida negativa; (3) D p h(p u) es simétrica; (4) D p h(p u)p 0.

7 TEORÍA DE JUEGOS 7 TEOREMA 4 (ECUACIÓN DE SLUTSKY) Para todo (p ) y u v(p ): h l (p u) l(p ) l(p ) p k p k De manera compacta, k (p ) D p h(p u) D p (p ) D (p ) (p ) t TEOREMA 5 (IDENTIDAD DE ROY) x(p ) Ö v(p ) Ö pv(p ) TEOREMA 6 Sea :Å Æ R Å la función que asigna a cada (p ) el vector óptimo con respecto a u en el conjunto B p. Entonces Å es una estructura de demanda alrasiana.. El modelo Cobb-Douglas Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un espacio específico obtenemos un modelo específico de la TCD. Aquí desarrollaremos el modelo para L. Es interesante observar que la función Cobb-Douglas satisface las propiedades enunciadas en el teorema?? y por lo tanto representa una relación de preferencia clásica. En la construcción de cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funciones: () La función de demanda alrasiana, la cual asigna a cada sistema de precios-riqueza (p p ) el menú de consumo ( ˆx ˆx ) (p p ) que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema. Esta función se obtiene resolviendo el PMU. () La función indirecta de utilidad v, la cual asigna a cada (p p ) la utilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa situación; es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo: v(p p ) u(p p ). (3) La función de demanda hicksiana h, la cual asigna a cada vector (p p ũ), donde ũ es un nivel de utilidad determinado, el menú de consumo ( ˇx ˇx ) que minimiza el costo de alcanzar el nivel de

8 8 GARCÍA DE LA SIENRA utilidad ũ: h(p p ũ) = ( ˇx ˇy). Esta función se obtiene resolviendo el PMG. (4) La función de gasto e, la cual asigna a cada (p p ũ), donde ũ es un nivel de utilidad determinado, el costo mínimo de alcanzar el nivel de utilidad ũ: e(p p ũ) p ˇx p ˇx ph(p p ũ). Debe verificarse que e(p p (p p )). Así, para un consumidor con una función Cobb-Douglas se requiere resolver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes: () La función de demanda alrasiana (p p ); () la función de utilidad indirecta v(p p ); (3) la función de demanda hicksiana h(p p ũ); (4) la función de gasto e(p p ũ) Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente: (5) Demostrar que e(p p v(p p )) y v(p p e(p p ũ)) ũ (6) Demostrar que Ö (p p )e(p p ũ) h(p p ũ) (7) Demostrar que las funciones satisfacen la Ecuación de Slutsky: D p h(p u) D p (p ) (p )D (p ) L (p )D (p ) (8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy: (p ) Ö v(p ) Ö pv(p ) Se procede primero a resolver el PMU: Maximizar x «x «

9 TEORÍA DE JUEGOS 9 sujeto a p x p x Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano: L(x x ) x «x «p x p x Derivando L con respecto a x, x y, e igualando las derivadas a cero, obtenemos las condiciones de primer orden: y Así, «x «x «p 0 () ( «)x «x «p 0 () p x p x 0 (3) Despejando en () y (), obtenemos p «x «x «(4) p ( «)x «x «(5) p «x «x «p ( «)x «x «(6) y obte- Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por x «nemos p «x «x p ( «)x «(7) Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x «, p «x p ( «)x (8) Despejando x, obtenemos x p «p ( «)x (9)

10 0 GARCÍA DE LA SIENRA Al sustituir la parte derecha de (9) por x en la tercera condición, obtenemos: p x p p «p ( «)x p x p «( «)x «( «)x p x p «( «) x p «x Luego, ˆx «p y, sustituyendo x con ˆx en la ecuación (9), obtenemos ˆx p «p ( «) «p ( «)p Por lo tanto, la función de demanda alrasiana es «p (p p ) ( «)p La función de utilidad indirecta se calcula así: v(p p ) u (p p ) «p «( «)p «««p ««( «) «p ««««( «) «p «p «(0) Procedemos ahora a resolver el PMG para determinar la función de demanda hicksiana. El problema es Minimizar (xx ) 0 p x p x sujeto a x «x «ũ Nuevamente, procedemos a través de la introducción de un lagrangiano. L(x x ) p x p x ũ x «x «

11 TEORÍA DE JUEGOS con condiciones de primer orden L x p «x «x «0 () L x p ( «)x «x «0 () L ũ x «x «0 (3) Despejando dos veces e igualando, p «x «x «p ( «) x «x «Multiplicando por x «x «p «x «x «x «x «p ( «) x «x «x «x «p «x p ( «) x Despejando x, x «( «)p p x Sustituyendo en la condición 3, de donde y así, x ««( «)p p x «ũ x «( «)p p «ũ ˇx p p ( «) «««ũ Sustituyendo en (), y haciendo algunas transformaciones algebraicas, ˇx p p ( «) «««ũ La resolución del PMG establece que la función de demanda hicksiana es

12 GARCÍA DE LA SIENRA h(p p ũ) ««( «) «p «p «««( «) «p «p «ũ ũ (4) La función de gasto es pues e(p p ũ) ««( «) «p «p «ũ (5) ««( «) «««( «) «««( «) «( «) TEOREMA 7 Tenemos: ««( «) «««( «) ««( «) ««««( «) ( «) ««««( «) ( «)( «) ( «) ««««( «) ( «) ( «) ««««( «) ( «) «««( «) «() e(p p v(p p )) () v(p p e(p p ũ)) ũ. Demostración: Para mostrar (), recordemos que e(p p ũ) ««( «) «p «p «ũ Sustituyendo ũ con v(p p ) ««( «) «p «p «obtenemos ««( «) «p «p «««( «) «p «p «Para mostrar (), sustituimos con ««( «) «p «p «ũ en v(p p ) ««( «) «p «p «««( «) «p «p «ũ ũ TEOREMA 8 Ö (p p )e(p p ũ) h(p p ũ)

13 TEORÍA DE JUEGOS 3 Tenemos e p ««( «) «p «p «ũ e p ««( «) «p «p «ũ Estas ecuaciones implican que Ö (p p )e(p p ũ) h(p p ũ) TEOREMA 9 (ECUACIÓN DE SLUTSKY) Para todo (p ) y u v(p ): h l (p u) l(p ) l(p ) p k p k k (p ) Para demostrar que la función Cobb-Douglas satisface la Ecuación de Slutsky, observemos que ««( «) «p «p «ũ ««( «) «p «p «D (p p )h(p p ũ) Ahora bien, ũ ũ ««( «) «p «p «ũ ««( «) «p «p ( «) ««( «) «p «p «ũ ««( «) «p «p «««( «) «p «p ««( «)p ««( «) «p «p «ũ ««( «) «p «p «««( «) «p «p ««( «)p p ««( «) «p «p «ũ ««( «) «p «p «««( «) «p «p ««( «)p p

14 4 GARCÍA DE LA SIENRA ««( «) «p «p ( «) ũ ««( «) «p «p ( «) De manera que D (p p )h(p q ũ) Por otra parte, D (p p ) (p p ) Además, Así, D (p p ) ««( «) «p «p ««( «)p «( «)p «( «)p p «( «)p p «( «)p «p 0 0 ( «)p «p ( «)p D p (p ) (p )D (p ) (p )D (p ) «p 0 0 ( «)p «( «)p «p «( «)p p «( «)p p ( «) p p «( «)p «( «)p p «( «)p D (p p )h(p q ũ) TEOREMA 0 (IDENTIDAD DE ROY) (p p ) Notemos que Ö v(p p ) Ö (p p )v(p p ) Ö v(p p ) ««( «) «p «p «

15 TEORÍA DE JUEGOS 5 Además, Ö p v(p p ) ««( «) «p ( «) p «««( «) «p «p «Una par de sencillas multiplicaciones muestra que (p p ) Ö v(p p ) Ö (p p )v(p p ) 3. Integrabilidad Tenemos, como punto de partida, una función determinada de demanda, por ejemplo, la función Cobb-Douglas: (p p ) «p ( «)p Introduzcamos la función de compensación :Å Å R R, la cual está definida por la condición (p q; p 0 q 0 ) e(p q v(p 0 q 0 )) (p q; p 0 q 0 ) es el mínimo costo de alcanzar el nivel de utilidad v(p 0 q 0 )) si los precios vigentes son p y q. A partir de las ecuaciones de integrabilidad (p q; p 0 q 0 ) (p q (p q; p 0 q 0 )) p (6) (p q; p 0 q 0 ) (p q (p q; p 0 q 0 )) q (7) (p 0 q 0 ; p 0 q 0 ) (8) podemos obtener una función de compensación la cual contiene implícitamente una función indirecta de utilidad y a partir de ésta es posible obtener la función directa de utilidad, resolviendo el siguiente problema: Minimizar (pp ) 0 v(p q ) sujeto a px qy

16 6 GARCÍA DE LA SIENRA La función incógnita a determinar es precisamente. Podemos normalizar los precios de tal manera que el precio del bien sea q, siendo p el precio del primer bien, de modo que es suficiente resolver la ecuación () para p. Sustituyendo en () obtenemos d dp «p (9) o, de modo equivalente, d dp «p 0 (0) La ecuación (5) es de la forma d f (p) 0 () dp donde f (p) «p. El método general para resolver una ecuación de esta forma consiste en integrar la función f (p) y en observar que la ecuación es equivalente a d dp ef(p) 0 () p donde F(p) Ê f ( )d. En el caso que nos ocupa, p F(p) ( «) d «log p de modo que d dp ef(p) d dp e «log p d dp e «log p «p e «log p e «log p 0 d dp «p

17 TEORÍA DE JUEGOS 7 Se sigue que existe una constante c tal que e «log p c, o ce «log p c(e log p ) «cp «(3) Se comprueba que ésta es, efectivamente, una solución de la ecuación (4), pues, o d dp «cp««p cp ««p Sustituyendo en la condición inicial (3) encontramos (p ¼ ; p ¼ ) c(p ¼ ) «c (p ¼ ) «Así obtenemos la expresión explícita de : (p ¼ ) «p «(4) Se comprueba que esta expresión es correcta, pues (p ; p ¼ ) (p ¼ ) «p ««( «) p «(p ¼ ) «««( «) «««( «) «p «««( «) «(p ¼ ) «e(p v(p ¼ )) Si partimos de la función de demanda alrasiana obtenida a partir de la función de utilidad Cobb-Douglas, el problema es recuperar esta función a partir de la misma, es decir, la función u(x y) x «x «. Para esta función de demanda, la solución general al sistema ()-(3) es cp «p «(5)

18 8 GARCÍA DE LA SIENRA Se comprueba: p «p«p ««p p «p ««p ; q ( «)p««p ( «)p qp «p «( «)p p «p «( «)p Sustituyendo en la condición inicial obtenemos cp «0 q 0 «o c p «0 q «0. Por lo tanto, (p q; p 0 q 0 ) p «0 q «0 p «p «««( «) «p «0 q «0 ««( «) «p «p «v(p 0 q 0 ) e(p p ũ)u Vemos así que, para cualquier sistema de precios (p 0 q 0 ), la función de utilidad indirecta es v(p 0 q 0 ) (p q; p 0 q 0 ) e(p p ũ)u ««( «) «p «0 q «0 Procedemos ahora a resolver el siguiente problema: Minimizar (pp ) 0 ««( «) «p «p «sujeto a px qy Construimos el lagrangiano: L(p q ) ««( «) «p «p «px qy

19 TEORÍA DE JUEGOS 9 con condiciones de primer orden y L p ««( «) «p ( «) p «x 0 (6) L q ( «) «p «««p «y 0 (7) L px qy 0 (8) Despejando en las condiciones (5) y (6) obtenemos ««( «) «p ( «) p «x (9) ««( «) «p «p «x (30) Igualando los términos derechos de las ecuaciones (8) y (9), y multiplicando ambos por ««( «) «, «p ( «) p «x ( «)p «p «x (3) Nuevamente, multiplicando ambos lados de (0) por p «p «xy, obtenemos «qy ( «)px (3) Despejando q, q «( «)pxx (33) Sustituyendo este valor de q en la condición (7), px «( «)px (34) Como «( «) «, el valor óptimo de p es ˆp «x (35) Sustituyendo este valor de p en () obtenemos el valor óptimo de q: ˆq ( «)x (36) Sustituyendo estos valores de p y q en la función objetivo obtenemos v( ˆp ˆq ) x «x «(37) que es precisamente la función de utilidad Cobb-Douglas.