1. Sensibilidad en caso de restricciones de igualdad

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1 FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA57B Optimización No Lineal. Semestre Profesor: Héctor Ramírez C. Auxiliar: Oscar Peredo. Clase Auxiliar #4 Análisis de Sensibilidad en Optimización No Lineal 12 de abril de Sensibilidad en caso de restricciones de igualdad Recordemos dos teoremas importantes: Teorema 1.1 (Función Implícita). Sea f : R m+n R m función de x R m e y R n tal que: 1. f(x, y) = 0 2. f es continua y la matríz y f(x, y) es no singular en algún abierto que contiene a (x, y) Entonces existen: 1. Abiertos S x y S y que contiene a x e y respectivamente. 2. Una función continua φ : S x S y tal que y = φ(x) y f(x, φ(x)) = 0 en S x. Además si f es continuamente diferenciable para algún p > 0, lo mismo se tiene para φ. Teorema 1.2 (Condiciones de Suficiencia de Segundo Orden en caso de igualdad). Supongamos que f y h son de clase C 2 y sean x R n, λ R m que satisfacen x L(x, λ ) = 0 y L(x, λ ) = 0 (1) 2 xxl(x, λ ) 0 para todo y 0 tal que h(x ) T y = 0 (2) Entonces x es un minimo local estricto de f sujeto a h(x) = 0. Ahora probemos el primer teorema de sensibilidad: Teorema 1.3 (Sensibilidad en caso de igualdad). Sean x R n, λ R m minimo local y multiplicador de Lagrange respectivamente, donde ambos satisfacen las condiciones de suficiencia de segundo orden del teorema 1.2. Considere la familia de problemas mín{f(x) : x R n, h(x) = u} (3) parametrizada por el vector u R m. Entonces existe una bola abierta centrada en u = 0 tal que para todo u S existen (x(u), λ(u)) R n+m par minimo local y multiplicador de Lagrange de 3. Además x( ) y λ( ) son continuamente diferenciables en S, x(0) = x y λ(0) = λ, y se tiene que u S u p(u) = λ(u) con p(u) = f(x(u)) el costo optimal parametrizado por u. 1

2 Demostración. Trataremos de usar el teorema de la función implícita. Consideremos el sistema f(x) + h(x)λ = 0, h(x) = u (4) ( ) f(x) + h(x)λ Tomemos la función F (u, (x, λ)) =, que es continua por hipótesis del teorema 1.2. h(x) u Evaluando en el punto (0, (x, λ )), se tiene que F (0, (x, λ )) = 0. Calculemos (x,λ) F (0, (x, λ )): J = (x,λ) F (0, (x, λ )) = [ 2 xx L(x, λ ) h(x ) h(x ) T 0 Probemos que J es no singular. Si fuera singular, existe un vector (y, z) 0 tal que J (y, z) = 0, es decir, 2 xxl(x, λ )y + h(x )z = 0 (6) h(x ) T y = 0 (7) Premultiplicando 6 por y T y usando 7 se tiene que y T 2 xxl(x, λ )y = 0, pero por hipótesis del teorema 1.2, 2 xxl(x, λ ) 0, se tiene y = 0. Usando y = 0 en 6, se tiene h(x )z = 0, lo cual implica z = 0 por independencia lineal de las columnas de h(x ) (hipótesis de 1.2). Esto implica que (y, z) = 0, lo cual es una contradicción. Ahora, usando teorema de la función implícita, con F (u, (x, λ)), existe una bola abierta S centrada en u = 0 tal que las funciones x( ) y λ( ) son continuamente diferenciables, x(0) = x, λ(0) = λ y además f(x(u)) + h(x(u))λ(u) = 0 (8) h(x(u)) = u (9) Veamos que el par (x(u), λ(u)) satisfacen las hipótesis del teorema 1.2 para u suficientemente cercano a cero. Supongamos que no, es decir, existen sucesiones u k 0 e y k (sin perdida de generalidad, suponemos y k = 1, haciendo Nikita Nipone con la norma) que satisfacen h(x(u k )) T y k = 0, k y yk T 2 xxl(x(u k ), λ(u k ))y k 0, k. Llamemos y k a alguna subsucesión convergente de y k, con límite ỹ. Si se cumple yk T 2 xxl(x(u k ), λ(u k ))y k 0, tomando límite y usando continuidad se tiene ỹ T 2 xxl(x(0), λ(0))ỹ 0, lo cual es una contradicción. Falta probar u p(u) = u {f(x(u))} = λ(u). Multiplicando 8 por x(u) se tiene Derivando 9 con respecto a u se tiene Finalmente, derivando f(x(u)) con respecto a u u x(u) x f(x(u)) + u x(u) x h(x(u))λ(u) = 0 (10) u h(x(u)) = u u u x(u) x h(x(u)) = I u f(x(u)) = u x(u) x f(x(u)) Combinando las dos últimas ecuaciones con 10, se obtiene el resultado u p(u) + λ(u) = Sensibilidad en caso de restricciones de desigualdad El caso de restricciones de desigualdad se reduce a restricciones de igualdad, despreciando las restricciones no activas de la siguiente manera: Lema 2.1. Si x es óptimo local del problema mín{f(x) : h(x) = 0, g(x) 0, x R n } entonces x es óptimo local del problema mín{f(x) : h(x) = 0, g j (x) 0, j A(x )} con A(x ) = {j : g j (x ) = 0} ] (5) 2

3 Usando este lema, y el teorema 2.1, el teorema de sensibilidad en caso de desigualdades 2.2 se demuestra de manera análoga al teorema 1.3 Teorema 2.1 (Condiciones de Suficiencia de Segundo Orden en caso de desigualdad). Supongamos que f, h y g son de clase C 2 y sean x R n, λ R m, µ R r que satisfacen x L(x, λ, µ ) = 0, h(x ) = 0, g(x ) 0 (11) µ j > 0, j A(x ) µ j = 0, j / A(x ) (12) 2 xxl(x, λ, µ ) 0 para todo y 0 tal que h(x ) T y = 0, g j (x ) T y = 0, j A(x ) (13) Entonces x es un minimo local estricto de f sujeto a h(x) = 0 y g(x) 0. Teorema 2.2 (Sensibilidad en caso de desigualdad). Sean x R n, λ R m, µ R r minimo local y multiplicadores de Lagrange respectivamente, que satisfacen las condiciones de suficiencia de segundo orden del teorema 2.1. Considere la familia de problemas mín{f(x) : x R n, h(x) = u, g(x) v} (14) parametrizada por el vector (u, v) R m+r. Entonces existe una bola abierta centrada en (u, v) = (0, 0) tal que para todo (u, v) S existen (x(u, v), λ(u, v), µ(u, v)) R n+m+r trío minimo local y multiplicadores de Lagrange de 14. Además x( ), λ( ) y µ( ) son continuamente diferenciables en S, x(0, 0) = x, λ(0, 0) = λ y µ(0, 0) = µ, y se tiene que (u, v) S u p(u, v) = λ(u, v) v p(u, v) = µ(u, v) con p(u, v) = f(x(u, v)) el costo optimal parametrizado por (u, v). 3. Aplicación A partir de los dos teoremas principales de las secciones anteriores, podemos estimar la variación de la función objetivo, dada una perturbación del lado derecho en caso de restricciones de igualdad o desigualdad. Supongamos que el problema mín{f(x) : h(x) = 0} con solución x, se perturba de la forma h(x) = δ, con δ chico. La solución del problema perturbado será x + x, luego, se tiene que De las restricciones tenemos que por lo tanto costo = f(x + x) f(x ) = f(x ) T x + o( x ) = ( h(x )λ) T x + o( x ) = λ T h(x ) T x + o( x ) δ = h(x + x) h(x ) = h(x ) T x + o( x )1 m costo = λ T h(x ) T x + o( x ) = λ T (δ o( x )1 m ) + o( x ) = λ T δ + o( x )[λ T 1 m + 1] λ T δ 3

4 Ahora, supongamos que el problema mín{f(x) : h(x) = 0, g(x) 0} con solución x, se perturba de la forma h(x) = δ, g(x) γ, con δ y γ chicos. La solución del problema perturbado será x + x, luego, se tiene que De las restricciones tenemos que por lo tanto costo = f(x + x) f(x ) = f(x ) T x + o( x ) = ( h(x )λ g(x )µ) T x + o( x ) = λ T h(x ) T x µ T g(x ) T + o( x ) δ = h(x + x) h(x ) = h(x ) T x + o( x )1 m γ = g(x + x) g(x ) = g(x ) T x + o( x )1 r costo = λ T h(x ) T x µ T g(x ) T + o( x ) = λ T (δ o( x )1 m ) µ T (γ o( x )1 r ) + o( x ) = λ T δ µ T γ + o( x )[λ T 1 m + µ T 1 r + 1] λ T δ µ T γ donde µ j = 0 para j / A(x ) y µ j > 0 para j A(x ). Esto coincide con el resultado que nos entrega el teorema: f(x + x) f(x ) = p(u, v) p(0, 0) = u p(0, 0) T u + v p(0, 0) T v + o( u ) + o( v ) = λ(0, 0) T u µ(0, 0) T v + o( u ) + o( v ) λ(0, 0) T u µ(0, 0) T v Problema 1. Se sabe que 3 fondos mutuos A, B y C tienen retornos esperados del 10 %,10 % y 15 %. Se desea invertir en estos 3 fondos, minimizando el riesgo asociado, de tal manera que el retorno esperado sea de un 12 %. El riesgo se calcula como la varianza de la inversión, en este caso: Que ocurre si se desea un retorno del 12.5 %? 400x y xy z yz Solución 1. Definamos las variables x, y, z como el porcentaje de mis recursos que invierto en fondo A, B y C. El problema se plantea de la forma: mín 400x y xy z yz s.a x + y + 1,5z = 1,2 x + y + z = 1 4

5 Sin agregar las restricciones de positividad, usando multiplicadores de Lagrange, se tiene que: L(x, y, z, λ 1, λ 2 ) = 400x y xy z yz + λ 1 (1 x y z) + λ 2 (1,2 x y 1,5z) x = 800x + 200y λ 1 λ 2 y = 1600y + 200x + 400z λ 1 λ 2 z = 3200z + 400y λ 1 1,5λ 2 λ 1 = 1 x y z λ 2 = 1,2 x y 1,5z Resolver el sistema anterior, igualando a 0, se obtiene x = 0,5 y = 0,1 z = 0,4 λ 1 = 1800 λ 2 = 1380 Luego, como g 1 = ( 1, 1, 1) y g 2 = ( 1, 1, 1,5) son l.i., entonces los valores encontrados son candidatos al óptimo. el valor de la función objetivo es 390. Para ver que se satisface la condicón suficiente, hay que ver si H f + m i=1 λ ih gi es definido positivo. H f (x, y, z) = H g1 (x, y, z) = 0 H g2 (x, y, z) = Y como los valores propios de H f (x, y, z) son y aproximadamente, entonces es definida positiva en R 3. Si se cambia el retorno esperado a un 12.5 %, entonces utilizando la afirmacimación, = 0,05 y el incremento en la función objetivo es λ 1 = ,05 = 90. 5