Soluciones del capítulo 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Transcripción

1 Soluciones del capítulo 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Héctor Lomelí y Beatriz Rumbos 8 de marzo de 4 a X t C e t + C e 4t b X t C e c X t C d X t C + t + C e 4t 4 + C e t t + C e 4 a X t C e t cos t sin t b X t C e t 4 + C e t c X t C e t cos t sin t d X t C e t + C e t sin t cos t 4t t + C e t sin t cos t + C e t t t 4 a X t C e t b X t C e t c X t C e t + C e t cos cos + e t t t + sin t et 4 + C e t sin t sin t cos t +

2 44 a X t e t b X t e αt cos βt sin βt c X t + e t Por lo tanto, lim X t cos t + sin t cos t + sin t cos t sin t 4 a X t + we t + we t b w 46 a Se necesita que tra a + d y que det A ad cb xt b C yt e ωt b + C ω a e ωt b, con ω deta bc ad ω a a X t C b lim X t X t e t + C e 4t C + C e t cos t + sin t cos t + sin t 4 cos t + C e t sin t cos t sin t cos t 4 sin t 49 4 A 7 7 a El conjunto {w t, w t,, w n t} es linealmente independiente para todo tiempo t Por lo tanto las columnas de t son linealmente independientes, de modo que existe la inversa t b Cada w con i,,, n es solución de la ecuación Ẋ AX, por lo que ẇ i Aw i Así, t w, w,, w n Aw, Aw,, Aw n Aw, w,, w n A t

3 c Sea Y t t t s f sds Entonces ty t t s f sds Por otra parte, Ẏ t t t f t + t t s f sds f t + t ty t f t + A t ty t f t + AY t Por lo tanto Y t es una solución particular de Ẋt AX t + f t 4 Sea el sistema Ẋ AX con A Su polinomio característico esta dado por p A λ A I λ a a a a m a m λ λ λ a a a a m a m λ Si λ, entonces λ λ p A λ λ a + a λ a a m a m λ λ λ λ a + a λ + a a λ m a m λ λ λ λ λ + a m + a m λ + + a + a λ m λ m λ m λ + a m + a m + + a λ λ m + a λ m m λ m + a m λ m + + a λ + a Si λ, la igualdad también se cumple Por lo tanto, la ecuación característica del sistema es λ m +a m λ m + + a λ + a

4 4 Sea λ k un vector propio de la matriz A del problema anterior Entonces un vector v k vector propio de A asociado a λ k si y solo si satisface el sistema de ecuaciones: λ k λ k v v λ k v m a a a a m a m λ k v v v m es un El último renglón es una combinación lineal de los demás Entonces basta que para cada i,, m se cumpla v i λ k v i, o lo que es lo mismo v i λ i k v Es decir, vectores de la forma Por lo tanto, es un vector propio de A asociado a λ k 4 xt a yt xt b yt C e 4 t 4 C e 4 t 4 v k v k + C e t + C e t v λ k v λ k v λ m k v λ k λ k λ m k e t a ẋ ẏ f x, y b xt C e t t 4 4 Si t e w entonces w ln t Por lo tanto dw t e w Lo que implica que t dx e w dw dx dw dx dw ew e w dw dx dy De forma similar t dy dw Entonces el sistema se convierte en ẋw a xw + b yw, ẏw a xw + b yw 4

5 46 xt yt C t + C t 4 47 a Sean λ λ dos valores propios distintos y sean v, v vectores propios correspondientes Sean C y C constantes tales que C v + C v Entonces AC v + C v C λ v + C λ v Por otra parte λ C v + C v C λ v + C λ v Restando ambas ecuaciones C λ λ v Lo que implica C De forma similar C Por lo tanto v y v son linealmente independientes b Sean λ, λ,, λ k valores propios distintos y v, v,, v n vectores propios correspondientes Para demostrar pos inducción matemática se supone que {v, v,, v n } son linealmente independientes Sean C, C,, c n constantes tales que n i c iv i v n Entonces Por otra parte A n c i v i c i λ i v i λ n v n i n i n n λ n c i v i c i λ n v i λ n v n i i Restando ambas ecuaciones n i c iλ n λ i v i Lo que implica C C c n Por lo tanto {v, v,, v n } son también linealmente independientes 48 a xt cos t + sin te t Además, lim xt b xt + et Además, lim xt c xt 4 7 et 7 e 6t Además, lim xt d xt + te t Además, lim xt e xt te t Además, lim xt 49 f xt 4e t + 8 e t + Además, lim xt a yx u+w e x + u w cos x + u+v+w sin x b Si w u y v u entonces se tiene que yx ue x Por lo tanto lim yx x 4 yt e t + 4 et cos t et sin t Además lim yt no esta definido ya que la función oscila

6 4 a yx v u e x + v+u e x cos x + v u+4 e x sin x b Si u y v entonces yx e x Por lo tanto lim yx x 4 yt 4 et 4 e t sin t 44 En cada uno de los incisos, se demostrará que la función propuesta es una solución del problema lineal Sea A una matriz de El polinomio característico de A es p A λ λ traλ + deta Por el teorema de Cayley-Hamilton, se cumple la siguiente igualdad p A A A traa + detai a Si A tiene dos valores propios reales y distintos λ, λ, entonces el polinomio característico se puede escribir como: p A λ λ λ λ λ Esto implica que Por tanto, si definimos y A λ I A λ I M M λ λ A λ I λ λ A λ I, entonces se cumple que M + M I y M M M M Además, AM λ M y AM λ M Si X t [ e λ t M + e λ t M x, entonces Por otra parte, Ẋt [ e λ t λ M + e λ t λ M x AX t [ e λ t AM + e λ t AM x [ e λ t λ M + e λ t λ M x Ẋt Finalmente, al sustituir t, verificamos que X [M + M x x b Si A tiene un valor propio repetido λ, entonces Por tanto, si definimos se cumple que AM λm y M + λi A Si A λi M A λi X t e λt [I + t M x, 6

7 entonces Por otra parte, Ẋt e λt [λi + λt M + M x e λt [A + λt M x AX t e λt [A + t AM x e λt [A + λt M x Finalmente, al sustituir t, verificamos que X x c Si A tiene un par valores propios complejos conjugados α ± βi entonces el polinomio característico se puede escribir como: p A λ λ α + β Esto implica que A αi + β I Por tanto, si definimos M A αi, tendríamos que M β I y por tanto, AM αm β I Si [ X t e αt sin βt cos βt I + β M x, entonces [ Ẋt e αt sin βt cos βt αi + M + β αm β I x, [ e αt sin βt cos βt A + AM β x, Esto implica que Ẋt A X t Finalmente, al sustituir t, verificamos que X x 7