Control Moderno - Ing. Electrónica Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton

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1 Control Moderno - Ing. Electrónica Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton Introducción A continuación se presentan unos pocos y simples ejemplos que muestran como puede emplearse el Teorema de Cayley-Hamilton para simplificar algunas deducciones y cálculos algebraicos que son frecuentes en la teoría del control moderno. Polinomio de matrices Cualquier polinomio escalar P (x) = c + c 1 x + c 2 x c k x k, (1) puede emplearse para definir un polinomio de matrices P(M n n ) P (M) = c I + c 1 M + c 2 M c k M k. (2) También, puede decirse que todo polinomio de matrices tiene asociado un polinomio escalar. Una propiedad interesante de la correspondencia entre polinomios escalares y matriciales es que toda operación realizada sobre el polinomio escalar también es válida para el polinomio matricial. Así, por ejemplo, expresiones alternativas a la ecuación (1) del polinomio escalar P(x) P (x) = K (x a 1 ) (x a 2 )...(x a k ), (3) P (x) = K también son válidas para el polinomio de matrices P(M): (x 2 (a 1 + a 2 ) x + a 1 a 2 )...(x a k ), (4) P (M) = K (M a 1 I)(M a 2 I)...(M a k I), (5) P (M) = K ( ) M 2 (a 1 + a 2 )M + a 1 a 2 I...(M a k I). (6) Teorema de Cayley-Hamilton Este teorema, debido a Arthur Cayley y William Rowan Hamilton, dice que toda matriz verifica su ecuación característica. Luego, si Q(λ) = λi M = a + a 1 λ + a 2 λ a n λ n (7) 1

2 es la ecuación característica de M, entonces: Q(M) = a I + a 1 M + a 2 M a n M n = n n. (8) Ejemplo 1. Inversión de matrices. Calculemos la inversa de la matriz: La ecuación característica de A es: A = (9) λi A = (s 3)(s 2) 1 = λ 2 5λ + 5 (1) Y dado que toda matriz satisface su propia ecuación característica (Cayley-Hamilton): A 2 5A + 5I =. (11) Luego, premultiplicando por la inversa de la matriz A, conseguimos que dicha inversa aparezca explícitamente: y fácilmente puede despejarse A 5I + 5A 1 =, (12) A 1 = I A 5 = 2/5 1/5 1/5 3/5. (13) Ejemplo 2. Reducción del orden de un polinomio de matrices. Demostrar que el orden de un polinomio de matrices P (M) = a I + a 1 M + a 2 M 2 + a 3 M a k M k, (14) puede ser reducido a n 1, donde n define la dimensión de la matriz cuadrada M n n. Obviamente, nos interesa el caso en que k > n pudiendo tomar un valor infinito. Consideremos el polinomio escalar asociado al polinomio de matrices (14): y dividámoslo por el polinomio característico P (λ) = a I + a 1 λ + a 2 λ 2 + a 3 λ a k λ k (15) de la matriz M. De esta operación resulta Q(λ) = λi M (16) P (λ) R (λ) = C (λ) + Q(λ) Q(λ) (17) Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton 2

3 P (λ) = Q(λ) C (λ) + R (λ). (18) donde, 1) C (λ) es el polinomio cociente, y 2) R (λ) es el polinomio resto, siendo su orden menor que n, es decir R(λ) es de la forma Considerando (18), podemos retomar el polinomio de matrices R (λ) = α + α 1 λ α n 1 λ n 1. (19) P (M) = Q(M) C (M) + R (M), (2) expresión que puede simplificarse dado que toda matriz verifica su ecuación característica, es decir Luego: Q(M) = n n. (21) P (M) = R (M) = α I + α 1 M α n 1 M n 1. (22) Observe que esta expresión, alternativa de P(M), puede ser mucho más simple que la expresión (14) dado que k puede ser muy grande (incluso infinito) y n corresponde a la dimensión de la matriz cuadrada M. Para calcular los coeficiente α i de (22) puede evaluarse el polinomio escalar (18) en cada autovalor λ i. Dado que la ecuación característica se anula en los autovalores, resulta P (λ i ) = R (λ i ) = α + α 1 λ i α n 1 λ n 1 i. (23) Así, se dispone de n ecuaciones (una para cada autovalor) que permiten despejar las n incógnitas α i. En el caso de existir polos múltiples este procedimiento debe modificarse. Efectivamente, si M posee un autovalor λ k de orden m, al reemplazar λ k en (18), sólo se obtendrá una ecuación independiente. Para obtener otras m 1 ecuaciones linealmente independientes puede diferenciarse ambos miembros de la ecuación (18). Dado que d j Q(λ) dλ j las m 1 ecuaciones restantes resultan d j P (λ) dλ j = j =,1,...,m 1, (24) λ=λk = dj R (λ) λ=λk dλ j j =,1,...,m 1. (25) λ=λk Ejemplo 3. Cálculo de la matriz de transición de estados. Se quiere obtener la matriz de transición de estados del sistema autónomo Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton 3

4 dx 1 dt = 1 2 Los autovalores de la matriz A pueden calcularse a partir de: x. (26) Q(λ) = λi A = (λ + 1) 2 =. (27) Luego el sistema tiene un autovalor multiple en λ = 1. A partir del ejemplo anterior y como la matriz A es de 2 2 Φ (t) = P(A) = e At = R(A), (28) Φ (t) = e At = α I + α 1 A. (29) Los coeficientes α i (teniendo presente que el autovalor es de orden 2) se calculan a partir de 1) R(λ) = α + α 1 λ (3) e λ 1t = e t = α + α 1 ( 1) (31) α = e t α 1 (32) 2) dp (λ) dλ = λ= 1 dr (λ) dλ (33) λ= 1 Así, la matriz de transisción de estados resulta: α 1 = te t. (34) Φ (t) = e At = ( (1 + t) e t) I + ( te t) A, (35) Φ (t) = e At (1 + t) e t te = t te t (1 t) e t. (36) Ejemplo 4. Cálculo de la potencia de una matriz. En numerosos problemas tanto de sistemas de tiempo continuo, como de tiempo discreto es necesario elevar una matriz a una dada potencia. Consideremos el caso particular en que nos interesa conocer la matriz de transición de estado para un tiempo t = 1seg Φ (t=1seg) = Φ 1 (t=1seg) = a partir de la misma matriz evaluada en t = 1seg 1 =? (37) Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton 4

5 Φ (t=1seg) = (38) Luego, P (Φ) = R (Φ) Φ 1 = α I + α 1 Φ (39) Donde los coeficientes α y α 1 pueden calcularse a partir de P(λ i ) = λ 1 i = R (λ i ) = α + α 1 λ i, ( 1) 1 = α α 1, 1 1 = α + α 1. α = 1, α 1 =. (4) (41) Resultando Φ (t=1seg) = I. (42) Ejemplo 5. Test de controlabilidad. Sabemos que la solución de la ecuación de estados es t x(t) = e At x() + e A(t τ) Bu(τ) dτ, (43) y que si el sistema es completamente controlable sus estados iniciales pueden transferirse al origen en un tiempo finito T, es decir, x(t) = = e AT x() + e AT e Aτ Bu(τ) dτ, (44) Ahora bien, a partir de los dos ejemplos previos puede escribirse luego, = x() + e Aτ Bu(τ) dτ. (45) e Aτ = n 1 k= α k A k, (46) n 1 x() = A k B k= α k u(τ) dτ. (47) Donde, llamando Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton 5

6 resulta α k = α k u(τ) dτ, (48) n 1 x() = A k B α k = k= B AB... A n 1 B α α 1.. (49) α 2 Si el sistema es completamente controlable, esta ecuación debe satisfacerse para cualquier condición inicial, luego la matriz B AB... A n 1 B (5) debe de ser de rango completo (test de controlabilidad de Kalman). Control Moderno - Ing. Electrónica: Ejercicio Resuelto 3: Teorema de Cayley-Hamilton 6