Independencia lineal y rango Ejemplos. Rango. Rango y matriz inversa Teorema de Rouché-Frobenius revisitado

Transcripción

1 Independencia lineal y rango Ejemplos. Rango. Rango y matriz inversa Teorema de Rouché-Frobenius revisitado c Jana Rodriguez Hertz p. /2

2 Independencia lineal Si el sistema x A + x 2 A x n A n = O tiene una única solución, c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

3 Independencia lineal Si el sistema x A + x 2 A x n A n = O tiene una única solución, entonces decimos que los vectores {A,A 2,...,A n } son linealmente independientes (L.I.) c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

4 Independencia lineal Si el sistema x A + x 2 A x n A n = O tiene una única solución, entonces decimos que los vectores {A,A 2,...,A n } son linealmente independientes (L.I.) Caso contrario decimos que son linealmente dependientes (L.D.) c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

5 Ejemplo El conjunto siempre es L.D. {O} c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

6 Ejemplo El conjunto {O} siempre es L.D. En efecto, α.o = O α 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

7 Ejemplo 2 Estudiar la dependencia lineal de 0, 0, c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2

8 Ejemplo 2 Veamos: x + x x 3 0 = c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

9 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 x +x 3 x +x 2 +x 3 = c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

10 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x +x 3 = 0 x +x 2 +x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

11 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 x +x 2 +x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

12 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 +2x 2 +x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

13 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 +x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

14 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 +x 3 = 0 x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

15 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 +x 3 = 0 x 3 = 0 x 2 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

16 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 +x 3 = 0 x 3 = 0 x 2 = 0 x = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

17 Ejemplo 2 Veamos: x x 2 = 0 x 2 +x 3 = 0 +x 3 = 0 x 3 = 0 x 2 = 0 x = 0 son L.I. c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

18 Ejemplo 3 Estudiar la dependencia lineal de, 0, 2 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

19 Ejemplo 3 Veamos: x + x x = c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

20 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 +x 3 x +2x 3 x +x 2 +3x 3 = c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

21 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 +x 3 = 0 x +2x 3 = 0 x +x 2 +3x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

22 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 +x 3 = 0 x 2 +x 3 = 0 x +x 2 +3x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

23 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 +x 3 = 0 x 2 +x 3 = 0 +2x 2 +2x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

24 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 +x 3 = 0 x 2 +x 3 = 0 0.x 2 +0.x 3 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

25 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 = x 3 x 2 = x 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

26 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 = x 3 x 2 = x 3 x 3 cualquiera c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

27 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 = x 3 x 2 = x 3 x 3 cualquiera x 2 = x 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

28 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 = x 3 x 2 = x 3 x 3 cualquiera x 2 = x 3 x = 2x 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

29 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 = x 3 x 2 = x 3 x 3 cualquiera hay C.L. 0 que dan O x 2 = x 3 x = 2x 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

30 Ejemplo 3 Veamos: x x 2 = x 3 x 2 = x 3 x 3 cualquiera hay C.L. 0 que dan O x 2 = x 3 x = 2x 3 son L.D. c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

31 Independencia lineal - observación {A,A 2,...,A m } es L.I. el sistema AX = O es determinado para la matriz A = (A A 2...A m ) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

32 Proposición Una familia de vectores de K m {A,A 2,...,A l } es L.I. ninguno de los vectores de la familia puede escribirse como C.L. de los restantes. c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2

33 Proposición equivalente Una familia de vectores de K m {A,A 2,...,A l } es L.D. alguno de los vectores de la familia puede escribirse como C.L. de los restantes. c Jana Rodriguez Hertz p. 0/2

34 Proposición equivalente Una familia de vectores de K m {A,A 2,...,A l } es L.D. alguno de los vectores de la familia puede escribirse como C.L. de los restantes. c Jana Rodriguez Hertz p. 0/2

35 OJO!!! que {A,A 2,...,A l } L.D. NO implica que cada uno sea C.L. de los restantes. c Jana Rodriguez Hertz p. /2

36 vectores L.D. cómo determinamos cuáles vectores se pueden escribir como C.L. de los restantes, y cuáles no? c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

37 vectores L.D. cómo determinamos cuáles vectores se pueden escribir como C.L. de los restantes, y cuáles no? lo vemos en un ratito c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

38 Rango Dado un conjunto de vectores A = {A,A 2,...,A n } K m c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

39 Rango Dado un conjunto de vectores A = {A,A 2,...,A n } K m llamamos rango(a) c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

40 Rango Dado un conjunto de vectores A = {A,A 2,...,A n } K m llamamos rango(a) a la máxima cantidad de vectores L.I. que podemos encontrar dentro de A c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

41 Ejemplo Calcular el rango del conjunto A =, ,, , 0 5 9, c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2

42 Ejemplo Planteamos la ecuación de dependencia lineal: x +x x 3 +x x x = c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

43 Ejemplo x +2x 2 +x 3 +x 5 x 6 = 0 x 2x 2 +x 3 +x 4 x 6 = 0 x +2x 2 +x 3 +2x 4 +5x 5 +3x 6 = 0 x +2x 2 +x 3 +x 5 +3x 6 = 0 x +2x 2 +x 3 +4x 4 +9x 5 +3x 6 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

44 Ejemplo x +2x 2 +x 3 +x 5 x 6 = 0 +2x 3 +x 4 +x 5 = 0 +2x 4 +4x 5 +2x 6 = 0 +2x 6 = 0 +4x 4 +8x 5 +2x 6 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

45 Ejemplo x +2x 2 +x 3 +x 5 x 6 = 0 +2x 3 +x 4 +x 5 = 0 +2x 4 +4x 5 +2x 6 = 0 +2x 6 = 0 2x 6 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

46 Ejemplo x +2x 2 +x 3 +x 5 x 6 = 0 +2x 3 +x 4 +x 5 = 0 +2x 4 +4x 5 +2x 6 = 0 +2x 6 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

47 Ejemplo x +2x 2 +x 3 +x 5 x 6 = 0 +2x 3 +x 4 +x 5 = 0 +2x 4 +4x 5 +2x 6 = 0 +2x 6 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

48 Ejemplo x +2x 2 +x 3 +x 5 x 6 = 0 +2x 3 +x 4 +x 5 = 0 +2x 4 +4x 5 +2x 6 = 0 +2x 6 = 0 rango(a) = 4 c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

49 Rango de una matriz por columnas Dada una matriz A M m n llamamos rango por columnas de A rango C (A) c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

50 Rango de una matriz por columnas Dada una matriz A M m n llamamos rango por columnas de A rango C (A) al rango del conjunto de columnas de A c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

51 Rango de una matriz por filas Dada una matriz A M m n (K) llamamos rango por filas de A rango F (A) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

52 Rango de una matriz por filas Dada una matriz A M m n (K) llamamos rango por filas de A rango F (A) al rango del conjunto de filas de A c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

53 Proposición Si A M m n (K), entonces rango C (A) = rango F (A) c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2

54 Proposición Si A M m n (K), entonces rango C (A) = rango F (A) = e donde e es la cantidad de escalones de cualquier forma escalerizada de A c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2

55 Teorema de Rouché-Frobenius Sea AX = B un sistema m n. Entonces: AX = B es compatible rango(a) =rango(a B) c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2

56 Teorema de Rouché-Frobenius Sea AX = B un sistema m n. Entonces: AX = B es compatible rango(a) =rango(a B) Si AX = B es compatible, entonces: c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2

57 Teorema de Rouché-Frobenius Sea AX = B un sistema m n. Entonces: AX = B es compatible rango(a) =rango(a B) Si AX = B es compatible, entonces: AX = B es determinado rango(a) = n c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2

58 Rango e inversa (I) Dada A M n (K), tenemos c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

59 Rango e inversa (I) Dada A M n (K), tenemos rango(a) = n A es invertible a derecha c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

60 Rango e inversa (I) Dada A M n (K), tenemos rango(a) = n A es invertible a derecha c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

61 Rango e inversa (II) Dada A M n (K), tenemos rango(a) = n A es invertible c Jana Rodriguez Hertz p. 22/2

62 Corolario A invertible a derecha A invertible c Jana Rodriguez Hertz p. 23/2