A P U N T E S D E Á L G E B R A L I N E A L

Transcripción

1 A P U N T E S D E Á L G E B R A L I N E A L Universidad Nacional Autónoma de Méico Facultad de Ingeniería. M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia Grupo: Semestre: -

2 TEMA.- ESPACIOS VECTORIALES. Definición. Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre k si están definidas dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación por un escalar, tales que: I) La adición asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de elementos de V un único elemento ū + V, llamado la suma de ū y. II) ū,, V: ū+( + ) (ū+ )+. III) ō V tal que ō +, V. IV) V V tal que + ō V) ū, α: u+ + ū VI) La multiplicación por un escalar asigna a cada pareja ordenada (α,v) de elementos de α k y V un único elemento α k llado el producto de α por. VII) α k; ū, V: α(ū+ ) αū+ α VIII) α,β k; V: (α+β) α + β IX) α,β k; V: α(β ) (αβ) X) Si es la unidad de k, V A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares.. R 3 ; F,f: R R P n M I II III IV V VI VII VIII IX X. Sea el conjunto S {a + a + b ) a,b R} en R y las leyes de adición y multiplicación por un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.

3 i) CERRADURA P a + a + b ; P a + a + b P + P (a +a ) + (a +a ) + (b +b ) se cumple S R ii) ASOCIATIVIDAD P + (P + P 3 ) (P + P ) + P 3 P + [(a + a 3 ) + (a + a 3 ) + (b + b 3 )] [(a + a ) + (a + a ) + (b + b )] + P 3 (a +a +a 3 ) + (a +a +a 3 ) + (b +b + b 3 ) (a +a +a 3 ) + (a +a +a 3 ) + (b +b + b 3 ) Se cumple iii) E ELEMENTO IDENTICO ō + P P (e + e + ei ) + (a + a + b) a + a + b (e + a) + (e + a) + (ei + b) a + a + b e + a a e e + a a e () () +() + ei + b b ei iv) E ELEMENTO INVERSO p (I + I + d) + (a + a + b) () +() + (I + a) + (I + a) + (d + b) () +() + I + a I -a I + a I -a - a + a + b d+ b d -b v) CONMUTATIVIDAD P + P P + P (a +a ) + (a +a ) + (b +b ) (a +a ) + (a +a ) + (b +b ) vi) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR αp S αp αa + αa + αb S Se cumple vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR α(p + P ) αp + αp

4 α*(a +a ) + (a +a ) + (b +b )+ (αa + αa + αb ) + (αa + αa + αb ) (αa + αa ) + (αa + αa ) + (αb + αb ) (αa + αa ) + (αa + αa ) + (αb + αb ) Se cumple viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR (α + β)p αp + βp (α + β)a + (α + β)a + (α + β)b (αa + αa + αb ) + (βa + βa + βb ) (αa + βa ) + (αa + βa ) + (αb + βb ) (αa + βa ) + (αa + βa ) + (αb + βb ) Se cumple. i) α(βp) (αβ)p α (βa + βa + βb) αβa + αβa + αβb αβa + αβa + αβb αβa + αβa + αβb Se cumple X) UNIDAD DEL CAMPO p p a + a + b a + a + b Se cumple S es un campo vectorial -DEFINICIÓN DE SUBESPACIO. Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adición y multiplicación por un escalar definidas en V. Teorema Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si y solo si. ) ū + S; Para todo ū, S ) αū S; Para todo α K, ū S Demostración V E 3 S Plano XY S {(, y, ), y R} Determine si S es un subespacio. Solución: ) ū + S; Para todo ū, S (, y, ) + (, y, ) ( +, y + y,) S Se cumple

5 ) αū S; Para todo α K, ū S α(, y, ) (α, αy, ) S Se cumple S es un subespacio vectorial de V Sea п,(, y, z) + y -z ;, y, z R} Determinar si п es un espacio vectorial en R con las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución: + y -z ; z + y п, (, y, + y -), y R} I) (, y, + y -) ; (,y, + y -) + [ +, y + y, ( + ) + (y + y ) 4] п no es un espacio vectorial.. Sea el conjunto D { a, b R} determine si D es un espacio vectorial con las leyes de composición de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución: i) a b a b + a a b b D Se cumple ii) α D α D Se cumple

6 Espacios R n D es un subespacio vectorial. R [(a, b) a, b R] R 3 [(a, b, c) a, b, c R] R 4 [(a, a, a 3, a 4 ) a, a, a 3, a 4 R] R n [(a, a, a 3,..., a n ) a, a, a 3,..., a n R] R [a a R] COMBINACIÓN LINEAL. α + β Definición. Un vector es una combinación lineal de los vectores + + 3,..., n si puede ser epresado en la forma α + α,..., +α n n donde α,α,..., α n son escalares. Sea (3, 4, -) [(,,), (,,-)] α + β (,,) + (,,) [(,,-), (,,)] (3,4,-) α (,,-) + β(,,) (3,4,-) (α,α,-α) + (β,β,) (3,4,-) (α + β, α + β,-α) α + β 3 α + β 4 α ; β -α -. Sea (6,7,5) Forma trinómica 6i + 7j +5k 6(,, ) + 7(,, ) + 5(,, )

7 Sea D { a, b R} {, } a + b R [(a, b) a, b R] {(,), (,), (,)} α(,), β(,), γ(,) (a, b) (α,), (β, β), (, γ) (a, b) (α + β, β + γ) (a, b) α + β a β + γ b Del renglón β + γ b ; γ b - β Del renglón α + β a ; α a β β β Solución α a - k β k γ b k k R Definición. Sea S {,,..., n } un conjunto de vectores ) S es linealmente dependiente si eisten escalares α,α,..., α n, no todos son iguales a cero, tales que α + α α n n ō ) S es linealmente independiente si la igualdad α + α α n n ō, solo se satisface con α α,..., α n Ecuación de dependencia lineal α + α α n n ō B {, } Para B

8 α + α + α ; α B es linealmente independiente Bп {(,, ), (,, )} Teorema Sea S {,,..., n } un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, denotado con L(S), es un subespacio de S. S {(, )} a(, ) (a, a) F L(S) F {(a, a) a R } Teorema Todo conjunto que contiene al vector ō es linealmente dependiente. Demostración De la ecuación de dependencia lineal α, α,..., α i i,..., α n n ō ; α i R El conjunto es linealmente dependiente. Definición. Sea V un espacio vectorial en R, y sea G {,,..., n } un conjunto de vectores de V. Se dice que G es un generador de V si para todo R eisten escalares α,α,..., α n, tales que, α + α α n n. Definición. Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente. Teorema Sea V un espacio vectorial en K. Si B {,,..., otra base de dicho está formada por n vectores. n } es una base de V, entonces cualquier

9 Definición Sea V un espacio vectorial en K. Si B {,,..., dimensión n, lo cual denotamos con dimv n n } es una base de V se dice que V es de En particular, si V { }; dimv. R [(a, b) a, b R] B {(, ), (, )} (-3, ) α(, ) + β(, ) (-3, ) (, α) + (β, ) (-3, ) (β, α) (-3, ) por igualdad de vectores β -3 y α Vector de coordenadas ( ) B (α, β) (, -3) Definición Sea B {,,..., n } una base de un espacio vectorial V en K, y sea V. Si α + α α n n, los escalares α,α,..., α n se llaman coordenadas de en la base B, y el vector Kn ( ) B ( α,α,..., α n ) T se llama vector de coordenadas de en la base B. ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ. A Espacio renglón asociado a A G {(, ),(4, ),(-, 7)} L(G) {a(, ), b(4, ), c(-, 7) a, b, c R} 4R R R R3 R(/ ) 7R R3 B {(,), (,) } L(B) {a(,) + b(,) } dim A R A R L(B) {(a, b) a, b R } Espacio columna

10 A A T B G {(, 4, -), (,, 7)} Ac L(G ) {a(, 4, -) + b(,, 7) a, b R } Corolario elemento genérico a(, 4, -) + b(,, 7) (a, 4a + b, -a + 7b) Ac {(a, 4a + b, -a + 7b) a, b R } Dim Ac dim A R dim A c R [(a, b) a, b R] B {(, ), (, )}; B {(, ), (, )} Obtener los valores de coordenadas del vector (-, 3) G {,, } Para G β + β + β k; 3 k G es linealmente dependiente. B y G son conjuntos generadores V; B genera V; linealmente independiente Base

11 V; G genera V; linealmente dependiente Generador Algoritmo de obtención de bases P {a + b + c) a, b, c R} B {,, } R [(a, b) a, b R] B {(, ), (, )} M { a, b R} B {, } Sea el espacio п {(, y, z) + y -z ;, y, z R} + y -z п {(, y, + y), y, z R} z + y Matriz de transición B M B α + α β + β (,) α (,)+ α (,) (,) (α, α α (,) α α ½ α α (,) (,) + ½(,) ( ) B (, ½) T (,) β (,) + β (,) (,) (β, β ) β β β β ½ (,) ½(,) + (,) ( ) B (½, ) T + ½ ½ +

12 M A B ( ) A ( ) B ( ) A (M A B ) - ( ) B (M A B ) (M A B ) - ( ) A M B A ( ) B 3. A A T B AC {(,, ), (,,), (,, )} a(,, ) + b(,, ) + c(,, ) (a, b, c) elemento genérico A C {(a, b, c) a, b, c R} Solución: los 3 R Teorema Los espacios que tienen la misma dimensión se llaman isomorfos. R 3 [(a, b, c) a, b, c R]; dim R 3 3; B R 3 {(,, ), (,, ), (,, )} P {a + a + b) a, b R} dim R ; B R {( + + ) F (a + b + c) (a, b, c).- M { a, b, c R}; dim M 3; B M {,, } F (a, b, c).- V { a, b R} Solución: B V {, } dim V A no es base; B no es base; C si es base 3.-

13 f (,, -, 3) f (,,, ) Es linealmente independiente ESPACIOS DE FUNCIONES F Sea el conjunto H {e, e -, e } L(H) {ae + be - + ce a, b, c R} Determine si H es linealmente independiente Wronskiano W e e e e e e e e 4e e (-) e e e 4e + e (-) 3 e e e 4e + e (- ) 4 e e e e W e (-4e -e ) e - (4e 3 -e 3 ) + e (e + e ) W -6e e +e W -6e W H es linealmente independiente Sea el conjunto de funciones reales de variable real {f, f,..., f n } De la ecuación de dependencia lineal α f + α f α n f n Para α f( ) + α f( ) α n f( ) Para β f( ) + β f( ) β n f( ) Para n λ f( n ) + λ f( n ) λ n f( n ) Teorema Sea {f, f,..., f n } un conjunto de n funciones de variable real, derivables al menos n- veces en el intervalo (a, b); y sea

14 W f f f (n-) () () () f f f (n-) () () () f f f n n (n-) n () () () Si W( ) para algún (a, b), entonces el conjunto de funciones es linealmente independiente de dicho intervalo. Si W() no decide. Investigar la dependencia lineal del siguiente conjunto. F {sen, -cos, 3} W() sen 4sencos 4sen 4cos cos sen cos cos sen 3 4sencos 4sen 4cos cossen cos sen W() 3[4sencos (cos -sen ) (-4sen + 4cos )( cossen)] W() 3() no decide. F {sen, sen -, 3} α(sen ) + β(sen ) + γ(3) () sen + (α+ β)sen + (3γ β) () sen + (α+ β) α -β/ (3γ β) γ β/3 β k α -k/ β k γ k/3 Es linealmente dependiente. Nota: regla de correspondencia y W es linealmente dependiente. Sea el conjunto de funciones, determine si es linealmente dependiente o independiente en el intervalo indicado. D {h, f, g}

15 f() ; si < g() ; si ; si h() sen ; si cos ; ; si si 4 4 (-) 4 [( + ) - ( + + )] + (-) 6 [ - ] ( ) + (- ) ( - ) - -4 TEMA II ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Definición Sea V un espacio vectorial en C. Un producto interno en V es una función VXV en C, que asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de vectores de V un escalar (ū ) C, llamado el producto interno de ū por que satisface las siguientes propiedades: ) (ū ) (conjugado) ) (ū + ) (ū ) + (ū ) 3) (αū ) α(ū ) 4) (ū ) > ; ū Sea R [(a, b) a, b R] y a) f(ū ) [(a, b ) (a, b )] a a + b b b) h(ū ) [(a, b ) (a, b )] a a + b b Determine si f, h son productos internos. 3) (αū ) α(ū ) *(αa, αb ) (a, b )+ α(a a + b b ) αa a + αb b se cumple 4) (ū ) > [(a, b ) (a, b )] a + b > se cumple h es producto interno

16 Propiedades del producto interno. Sea V un espacio vectorial en C y sea ( ) un producto interno en V, entonces ū, V y α C. ) (ū α ) (ū ) ) (ū ū) R + 3) ( ū) (ū ) 4) (ū ū) ū NORMA DE UN VECTOR ( ) / ; La norma es un número real. Propiedades de una norma. Sí V es un espacio vectorial con producto interno, entonces ū, V y α C.. >. 3. ; 4. + Sea un generador de R 3,el conjunto G {(,, ), (,, 4), (,, ), (,, 3)}. Determine un conjunto ortogonal a partir de G utilizando el producto escalar ordinario. Gran Shmidt. (,, ) - v (,, 4) - (,,4) (,,) (,,) (,,) (,, 4) - ( 4 )(,, ) (,, 4) v 3 - v 3 3 (,, ) - (,,) (,,) 4 (,, ) - (,,) (,,4) (,,4) (,,4) (,, 4)

17 3 (,, ) - (,, ) - ( 6 )(,, 4) (,, ) v 4 - v 4 - v (,, 3) (,,3) (,,) 4 (,, ) - (,,3) (,,4) 6 (,, 4) - (,,3) (,,) (,,) (,,) (,, ) 4 (,, 3) - (,, ) - (,, 3) - (,, ) (,, ) G {(,, ), (,, 4), (,, ), (,, )} B ORT {(,, ), (,, 4), (,, )} B ORTN {(,, ), (,, ), (,, )} En el espacio vectorial de matrices simétricas de orden se define el siguiente producto a b a b interno a a + b b + c c y el conjunto G {,, b c b c,. Determine un conjunto ortogonal a partir de G B ORT {,,,.. Para el espacio vectorial C se define el producto interno (ū ) (y, y ) C donde i es el conjugado de yi. i i yi (, ) a) Determinar las normas de los vectores (4+i, 5 6i), (3-i, -i), (--i, i) / 9

18 3 b) Obtener el ángulo entre y / / angcos R( 4 i) 3 7 angcos Propiedades de la distancia entre dos vectores. Si V es un espacio vectorial con producto interno, entonces ū, V.. d(ū, ). d(ū, ) y solo si ū 3. d(ū, ) d(, ū) 4. d(ū, ) d(ū, ) + d(, ) / / / 8 Teorema de Pitágoras. Sea V un espacio con producto interno y sean ū, V. Si ū y son ortogonales, entonces: + Teorema Desigualdad de Cauchy-Scharz Sea V un espacio vectorial en C y sea ( ) un producto interno en V, entonces ū, V: donde es el módulo de. Además, la igualdad se cumple si y solo si son linealmente independientes..- Sea B {, } una base de un espacio vectorial.

19 Determine a partir de V una base ortogonal. B ORT {, } Proy vect v v v v - Proy vect - v B ORT, B {(,, ), (,, )} Ortogonalizado (,, ) - v (,, ) - (,,) (,,) (,,) (,,) (,, ) (,, ) - ( )(,, ) (-,,) B ORT {(,, ), (-,, )} B ORT { } q ei ei + q e e (,, 6) (,,) (,) + (,, 6) (,,) (,, ) ( + ) (,) + ( ) (,, ) 3 3 3

20 4 (,,) - (,, ) (,, ) Para el producto interno usual en R 3, obtener el cumplimiento ortogonal S de cada uno de los subespacios siguientes de R 3 y dar una interpretación geométrica de dichos complementos. a) S {(,,z) z R} (a, b, c) R 3 {(,, z) (a, b, c)} zc c a k b t S {(k, t, ) k, t R} b) S {(,,) R} (a, b, c) R 3 {(,, ) (a, b, c)} a + b (a +b) a -b ; a -t c k b t S {(-t, t, k) t, k R}

21 3.- Sea a, b R} un subespacio de las matrices cuadradas de orden dos en R con producto interno definido por (A B) tr(ab T ). Obtener la matriz perteneciente a W más próimo a M B {, } v - tr tr 5-5 {, } B ORT {, } α + β + 5γ α - k - 5 t; β k; γ t {(- k - 5 t ) +k + t k, t R } b) Dado el producto interno en R definido por u v - u v - u v + 3u v donde (u, u, u 3 ) y (v, v ).

22 a) Obtener el valor de K R tal que la distancia entre los vectores (, 3) y (k, 4) sea igual a. b) Con el vector de k obtenido, verificar que los vectores y del inciso anterior cumplan la desigualdad de Cauchy- Scharz. a) d(ū, ) (k-, ) / / k k k+-k 3 / k 4k 6 / k 4k 6 ; k 4k 4 ; ( k-)( k-) ; k b) 8 (8) ()(36) Es linealmente independiente. 5.- Obtener una base ortogonal del espacio vectorial F de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales a partir de la base B {, t, - t + t } considerando el producto interno p, q F t - t () t - (t ) t ( ) t () t 3 - t + t - t t () - t t t t t (t ) 3 - t + t t + t ( - t + t ) ( t t )dt t - 6t + 4t

23 (t - t -) ( - t + t t -) (4t 4t )dt 4 3 t3 - t + t t t 8t t (4t 4t t+4t t )dt 3 (4t 36t 6t )dt 6.- Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo y sea W el espacio solución de dicho sistema para el producto interno usual en R 3, determinar el complemento ortogonal, de W y escribir el vector (9,, 4) como la suma de un vector de W mas otro de y -z 3y z 3k -t y y y k z z; z t W {(3k -t, k, t) k, t b R} B ORT 5 5, i M ei ei M ei ei + M e e tr tr tr tr

24 (p ) i p ( i) q( i) p(), q() P W {a + b + c) a, b, c R} a) Obtener W {a + a + -a) a R} P {α + β + γ) α, β, γ R} a a -a γ(-a) + (α + β + γ)(a) + (4α + β + γ)(5a) -γa + αa + βa + γa + αa + βa + 5γa a(4α + β + γ) R 3 [(a, b, c) a, b, c R] [(3k -t, k, t) (a, b, c)] 3ak -at + kbt + c k(3a +b) + t(-a + c) 3a +b b -3a -a + c c a {a, -3a, a) a R} TRANSFORMACIONES LINEALES T: R 3 R T(, y, z) (, y) Definición Si V y W son espacios vectoriales, una función T: V W recibe el nombre de transformación, los espacios V y W se llaman, respectivamente dominio y codominio de la transformación. T(, y, z) (, y) T: R 3 R S(a + b + c) S: P D

25 Definición. Sea T: V W una transformación ) Se llama recorrido de T al conjunto T(v) { T( ) V } ) Se llama núcleo de T al conjunto N(T) { T( ) } T: R 3 R definida por T(, y, z) (, y) Dominio: R 3 Recorrido: R Núcleo: T(, y, z) (, ) ; y (, y) (, ) T(,, z) (, ) N(T) {(,, z) z R } Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales en K, una transformación T: V W es lineal si, V y α K Superposición ) T( + ) T( ) + T( ) Homogeneidad ) T( ) αt( ) Para las siguientes transformaciones determinar si son lineales o no..- T: R 3 R definida por T(, y, z) (, y) Solución: ) T( + ) T( ) + T( ) T( +, y + y, z + z ) (, y ) + (, y ) ( +, y + y ) ( +, y + y ) Cumple ) T( ) αt( )

26 T(α, αy, αz) α(, y ) (α, αy) (α, αy ) Cumple T es una transformación lineal..- S: P D; S(a + b + c) Solución: a c ) S( + ) S( ) + S( ) a + b + c ; a + b + c S [(a + a ) a + (b + b ) + (c + c )] c + a c a a c c a a c c Cumple ) S( ) αs( ) S(αa a + αb + αc ) α c a c a S es una transformación lineal. 3.- F: R R c Cumple F(, y) (, y) (, y ) (, y ) ) F( + ) F( ) + F( ) F( +, y + y ) (, y ) + (, y ) [( + ), y + y ] [ +, y + y ] F no es una transformación lineal Teorema.

27 Si T: V W es una transformación lineal entonces T( v) Teorema. Si T: V W es una transformación lineal entonces ) T(v) es un subespacio de W ) N(T) es un subespacio de T T: R 3 M definida por T(a, b, c) a b b c Teorema. Si T: V W una transformación lineal. Si B,,,..., n} es una base de V, entonces el conjunto T {T( ), T( ),...,T( n )} es un generador de T(v) Teorema. Si V es un espacio de dimensión finita y T: V W es una transformación lineal, entonces dim V dim T(v) + dimt(n) Sea la transformación lineal T: R 3 R 3 definida por T(, y, z) ( + y -z, + y, + y -z) a) Obtener una base, la dimensión y el recorrido de T(v) Solución: a) Dominio R 3 B R 3 {(,, ),(,, ), (,, )} T(,, ) (,, ) T(,, ) (,, ) T(,, ) (-,, -) G T(v) {(,, ), (,, ), (-,, -)} Generador de T(v) Espacio Renglón R R R R3 B T(v) {(,, ), (,, -)}

28 Elemento genérico de T(v) a(,, ) + b(,, -) (a, b, a-b) T(v) {(a, b, a-b) a, b V } dim T(v) b) Determinar la base y la dimensión de N(T) ( + y -z, + y, + y -z) (,, ) + y z + y + y -z R R 3 R R 3 + y z.i + y.ii De II y -z; De I +(-z) z ; 3z Solución general 3t; y -t; z t N(T) {(3t, -t, t) t R}; B N(T) {(3, -, )} dim N(T) dim R 3 dim T(v) + dimn(t) 3 + A H {,,, } A P {,, } T + ; [ + ] B (,, ) T T - + ; [- + ] B (-,, ) T

29 T - + ; [ - + ] B (, -, ) T T -; [ -] B (,, -) T M(H) ÁLGEBRA DE FUNCIONES Así como eisten operadores con funciones, también se tienen operadores con transformaciones. Por ejemplo se tienen entre otras las siguientes:.- Adición. Dada las transformaciones cuyo dominio es el mismo. T: U V y R : U V Se define como resultado esta operación. (T + R)( ) T( ) +R( ) M(T + R) M(T) +M(R).- Multiplicación por un escalar. Dada la transformación T: U V y α K, se define la operación por medio de: (αt)( ) αt( ) M(αT) αm(t) 3.- Composición. Dada las transformaciones T: U V y R: V W, se define la transformación S: V W como resultado de la composición entre las transformaciones de T y R si y sólo si: S( ) (RoT) S( ) R[T( )] En terminus de matrices B R 3 {(,, ),(,, ), (,, )} M(T) M(S) S*T(, y, z) M(S*T)(, y, z) M(S)M(T) M(S*T)

30 M(S*T)(, y, z) ( +z, -y + z) Propiedades de las operaciones con transformaciones..- Conmutatividad para la adición. T + S S +T M(T) + M(S) M(T + S).- Asociatividad para la adición. (T + S) + R T + (S + R) [M(T) + M(S)] + M(R) M(T) + [M(S) + M(R)] 3.- Homogeneidad para el producto por un escalar. α(βt) (αβ)t; α, β k α*βm(t)+ (αβ)m(t) 4.- Distributividad entre el producto por un escalar y la adición. (α + β)t αt + βt ; (α + β)mt αmt + βmt λ(t + S) λt + λs ; λ[m(t) + M(S)] λm(t) + λm(s) [(-8 + 4)] B [-8, 4] T [(4 - )] B [4, -] T M A B (T) ( ) A [a + b] A a + b α(- + ) + β( + ) a + b (-α + β, α + β) -α + β a α + β b 4β a + b -α + ( ) a β α

31 [a + b] A T M A B (T)( ) A [T( )] B B T(a + b) ( ) ( ) Sea A 3, su polinomio característico λ 3 + 5λ - 8λ + 4 A 3 + 5A 8A + 4I 4I A 3-5A + 8A 4I A(A - 5A + 8I) (A - )4I (A - A)(A - 5A + 8I) 4A - A - 5A + 8I A - (A - 5A + 8I)( ) det(a - λi) a - b a - (a - )( a - ) (A - λi) B ( ) B [T( )] B λ a de multiplicidad a - b a - y λ a; b propio {(k, ) k R, k } E λ {(k, ) k R} del R by y ; k B {(, )}; P A no es diagonizable

32 T(- + ) T( + ) 4 - b R R b ; es base Otra base de P B {, } Espacios característicos E λ {(k, k) k R }; B E {(, )} E λ {(t, -3t) t R }; B E {(, -3)} Matriz diagonalizada P 3 ; D P- AP D Matriz diagonal. A Matriz Asociada a la T. P Matriz diagonalizadora. P A M(T) - 6 D M(H)? B M {,,, } Vect. coord. α + β + γ + δ

33 H B (,,, ) T H B (,,, ) T H B (,,, ) T H B (,,, ) T T( ) λ( ) T(, y) λ(, y) ( + y, 6 + y) (λ, λy) ( + y - λ, 6 + y - λy) (,, ) Por igualdad de vectores + y λ ; ( - λ) +y 6 + y λy ; 6 + ( - λ) 6 y. I Ecuación Cartesiana det 6 ( )( ) 6 λ - 3λ - 4 II Polinomio característico (λ - 4)(λ - ) λ 4; λ -.III Valores característicos propios Vectores propios. Para λ 4; sustitución en I y

34 6 3 y Escalonando: - + y ; y Solución general: K; y k; λ {(k, k) k R, k } Para λ -; sustitución en I ( ) 6 ( ) y 3 6 y Escalonando: 3 + y ; y -3 Solución general: t; y -3t; λ {(t, -3t) t R, t } M(H) A; det A - H no eiste A - R R3 H - (A) A T