CLAVE DE LA ASIGNATURA

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1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA O UNIDAD DE APRENDIZAJE MÉTODOS MATEMÁTICOS CICLO Optativa CLAVE DE LA ASIGNATURA B1 OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DE LA ASIGNATURA El estudiante, al finalizar el curso, conocerá las bases fundamentales de Métodos Matemáticos y manejará estos métodos como una herramienta indispensable tanto en el aprendizaje de otras materias del área de la óptica, así como en sus tareas de investigación en el campo. TEMAS Y SUBTEMAS 1. ESPACIOS VECTORIALES (7 hrs) (Texto 1: cap. 5, Texto 2: Caps. 4-7, 9, 13 ) 1.1 Definición de espacio lineal Postulados Dependencia a independencia lineal de un conjunto de vectores Dimensión y base del espacio, coordenadas Subespacios Descomposición de un espacio en la suma de subespacios 1.2 Transformaciones lineales y matrices Correspondencia entre matrices y operadores lineales Espacio imagen y espacio nulo Producto de operadores lineales Inversas de transformaciones lineales 1.3 Cambio de base Transformación de coordenadas Cambio de representación de operador lineal 1.4 Métrica y ortogonalidad Producto interior Ortogonalidad y bases ortonormales Operadores adjuntos, hermitianos y unitarios Proyecciones ortogonales y proceso de Gram-Schmidt 1.5 Diagonalización de operadores lineales Eigenvalores y eigenvectores de operadores lineales 1.6 Espacios lineales de funciones 2. SERIES E INTEGRALES DE FOURIER (11 horas) (Textos 3: Caps. 1-5, Texto 4: Cap. 2, Texto 5: Caps. 1-7, Texto: 9, Caps. 8,11) 2.1 Funciones pares e impares, periódicas y ortogonales 2.2 Series de Fourier Funciones periódicas y paridad Definición y propiedades Condiciones de Dirichlet Series de Fourier de una función de periodo arbitrario Serie finita de Foruier y fenómeno de Gibss Diferenciación e integración de series de Fourier Expansión de una función no periódica mediante una serie de Fourier Representación compleja y espectros de frecuencia Teorema de Parseval Ortogonalidad de funciones complejas Series de Fourier en 2 y 3D Espectros de frecuencia 2.3 Definición de Transformada de Fourier y su Transformada Inversa Condiciones de existencia Propiedades de la Transformada de Fourier: linealidad, simetría, escalamiento en

2 el tiempo y en la frecuencia, desplazamiento en el tiempo y en la frecuencia Transformadas de Fourier: Funciones Rect, Sinc, Triángulo, Gaussiana. Transformadas de funciones generalizadas: Funciones escalón, delta de Dirac, coseno, seno y signo. 2.4 Convolución y Correlación La integral de convolución Evaluación gráfica de la integral de convolución 2.5 Forma alterna de la integral de convolución Teorema de la Convolución Teorema de la Convolución en la frecuencia Teorema de Parseval Correlación Teorema de Correlación 2.6 Teorema de muestreo 2.7 Calculo de integrales Transformadas seno y coseno de Fourier 2.8 Transformadas de Fourier en 2 y 3D Transformada de Fourier bidimensional - Propiedades: Linealidad, escalamiento, desplazamiento - Teorema de Rayleigh - Teorema de autocorrelación - Transformada inversa Transformada de funciones separables - Funciones: exponencial, rectángulo, triángulo, delta de Dirac Exponencial compleja, signo, peine de Dirac, Gaussiana Transformada de Fourier-Bessel - Funciones de simetría circular: circ Transformada de Fourier tridimensional - Funciones de simetría radial 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE (10 horas) (Texto 6: caps. 1-2, 4, Texto 10: caps. 9, 12, 18, Texto 9: Cap. 12) 3.1 Funciones seccionalmente continuas y funciones de orden exponencial 3.2 Condiciones de existencia 3.3 Definición y propiedades básicas de la transformada 3.4 Transformada de funciones elementales 3.5 Transformada derivadas e integrales 3.6 Teoremas del valor inicial y final 3.7 Transformada de funciones especiales: delta de Dirac, escalón, integrales seno, Coseno y exponencial, campana de Gauss, error y su complementaria, Bessel 3.8 Método de ecuaciones diferenciales para el cálculo de la transformada 3.9 Derivación e integración de la transformada. Convolución 3.10 Cálculo operacional y solución de ecuaciones diferenciales e integrales EDOs con coeficientes constantes EDOs con coeficientes variables Ecuaciones integrales del tipo de convolución 3.11 La integral de inversión de la transformada de Laplace 3.12 Fracciones parciales 3.13 Funciones periódicas 3.14 Definición de otras transformadas integrales: Z, Fourier-Stieltjes, Hadamard, Radon, Hilbert 4. TEORIA DE STURM-LIOUVILLE Y FUNCIONES ESPECIALES (12 horas) (Texto 7: caps., 4, Texto 8: caps. 8, 13-15, 18, Texto 9: 15) 4.1 Las ecuaciones diferenciales de la física matemática 4.2 La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas Ecuación de Legendre 4.3 La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas La Ecuación de Bessel

3 4.4 Teoría de Sturm-Liouville y desarrollos en funciones propias La Ecuación de Sturm-Liouville Problemas Regular, Periódico y Singular de Sturm-Liouville El teorema de Sturm-Liouville Desarrollo o expansión en Eigenfunciones Completez de las eigenfunciones 4.5 Solución de ecuaciones lineales mediante el método de series de potencias Series de Potencias, Serie de Taylor Representación de funciones por series en la vecindad de un punto El Principio de Identidad Radio de Convergencia de una Serie Puntos Ordinarios y Singulares El Método de Frobenius Funciones especiales 4.6 Polinomios y funciones asociadas de Legendre por series de potencias Normalización Paridad y Relaciones de Recurrencia Series de Fourier-Legendre Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt La Formula de Rodrigues Forma Integral Funciones Asociadas de Legendre Función generadora Relacione de de recurrencia Paridad Ortogonalidad y expansión en serie de funciones 4.7 Armónicos Esféricos 4.8 Polinomios de Hermite Ortogonalidad Formula de Rodrigues Relaciones de Recurrencia Paridad, y valores especiales 4.9 Polinomios de Laguerre Ortogonalidad Formula de Rodrigues Relaciones de Recurrencia Paridad, y valores especiales Polinomios Asociados de Laguerre Propiedades 4.10 La función gamma (3 horas) Definiciones mediante: El limite infinito de Euler La integral definida de Euler El producto infinito the Weiestrass Propiedades de la función gamma Fórmula gama-seno Fórmula de Stirling Fórmula de duplicación Derivada de la función gamma Definición del doble factorial Evaluación de Integrales mediante la función gamma La función beta: evaluación de integrales

4 4.11 Funciones de Bessel mediante método de Frobenius Análisis de funciones de orden entero y real Una segunda solución: funciones de Neumann Función generadora Formas integrales Relaciones de recurrencia Ceros de las funciones Las funciones de Hankel Las funciones de Bessel esféricas 5. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (16 horas) (Texto 7: Caps. 3-7, Texto 9: Caps. 8-13, texto 11: Cap. 6 ) 5.1 Clasificación de Ecuaciones Diferenciales Parciales lineales de segundo orden Condiciones limitantes para existencia de una solución 5.2 Ecuaciones fundamentales de la física matemática Ecuación de onda Ecuación de difusión y de Schrodinger Ecuaciones estacionarias: de Poisson, Laplace y Helmholtz 5.3 Problemas con condiciones en la frontera Problema de Cauchy Problemas con valores frontera para ecuaciones elípticas (problemas de Dirichlet y Neumann) Problema mixto para ecuaciones hiperbólicas y parabólicas 5.4 Solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales Separación de variables en problemas con valores frontera Solución por integración Solución mediante de la transformada de Fourier Solución mediante de la transformada de Laplace La ecuación de onda en 1, 2 y 3D - Problemas en coordenadas Cartesianas - Problemas en coodenadas cilíndricas y esféricas La ecuación de difusión en 1, 2 y 3D y diferentes sistemas coordenados La ecuación de Laplace en 1, 2 y 3D y diferentes sistemas coordenados La ecuación de onda de la mecánica cuántica coordenadas esféricas ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE i) Frente a docente: Se cubre un total de 56 horas-pizarrón, dos sesiones de dos horas a la semana con la participación activa del estudiante, a través de preguntas, aportación de ejemplos, desarrollos algebraicos en clase y sesiones de solución de problemas y discusiones. El alumno acude a consultas de asesoría con el profesor de la materia citada cuando lo desea. ii) Independientes: El estudiante realiza tareas diversas fuera del aula, como solución de problemas, lectura y análisis de artículos de investigación y referencias bibliográficas. Las actividades del alumno fuera del aula, le significan un promedio de 53 horas en total. CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACION Y ACREDITACION El curso se evalúa de acuerdo al siguiente criterio: 3 exámenes parciales y 1 final, que representan el 70% de su calificación total, así como tareas de cada capítulo que representan el 30% restante de su calificación total.

5 BIBLIOGRAFÍA 1. Fundamentos de Métodos Matemáticos, E. Kurmishev, Limusa Algebra Lineal, S. Lipschutz, Schaum Análisis de Fourier, Hwei P. Hsu, Adisson-Wesley Iberoamericana Introduction to Fourier Optics, J. W. Goodman, McGraw-Hill The Fourier Transform and its Applications, R.N. Bracewel, Mc Graw-Hill Transformadas de Laplace, M. R. Spiegel, Schaum Advanced Engineering Mathematics, P. V. O Neil, Cenage Learning Métodos Matemáticos para Físicos, G. Arfken, Academic Press G. J. Gbur, Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering, Cambridge University Press Integral transforms and their applications, L. Debnath and D. Bhatta, Chapman & Hall/CRC 2da Ed Química Cuántica, I. N. Levine, Pearson 2001