INDICE. Prefacio Parte I. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1 Capitulo Uno.

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1 INDICE Prefacio Parte I. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1 Capitulo Uno. 2 Ecuaciones Diferenciales en General 1. Conceptos de ecuaciones diferenciales Algunas definiciones y observaciones Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera Soluciones generales y particulares Soluciones singulares Observaciones singulares relacionadas con las soluciones Observaciones sobre existencia y unicidad Campo de direcciones y el método de las isoclinas 28 Capitulo Dos. Ecuaciones Diferenciales de Primera Orden U ordinarias Simples de alto Orden 1. El método de separación de variables El método de la transformación de variables La ecuación homogénea Otras transformaciones especiales La idea intuitiva de exactitud Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran 49 una variable 5.2. La ecuación de primer orden lineal El método de inspección Ecuaciones de orden superior al primero que se resuelven fácilmente Ecuaciones inmediatamente integrables Ecuaciones con unas variables ausente La ecuación de Clairaut Revisión de métodos importantes 64 Capitulo Tres. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Simples de Orden Superior 1. Aplicaciones a la mecánica Introducción Las leyes del movimiento de Newton Aplicaciones a los circuitos eléctricos Introducción Unidades La ley de Kirchhoff Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones Aplicaciones a la química y a las mezclas químicas Aplicaciones a flujo de calor de estado estacionario Aplicaciones a problemas misceláneos de crecimiento y decaimiento El cable colgante

2 8. Un viaje a la luna Aplicaciones a cohetes Problemas de física que involucran geometría Problemas misceláneos en geometría La deflección de vigas Aplicaciones a biología Crecimiento biológico Un problema en epidemiología Absorción de drogas en órganos o células Aplicaciones a la economía Oferta y demanda Inventarios 162 Capitulo Cuatro. 166 Ecuaciones Diferenciales Lineales 1. La ecuación diferencial lineal general de orden n Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales Cómo obtener la solución complementaria? La ecuación auxiliar El caso de raíces repetidas El caso de raíces imaginarias Independencia lineal y wronskianos Cómo obtener una solución particular? Método de los coeficientes indeterminados Justificación al método de coeficientes indeterminantes. El método 194 aniquilador 4.3. Excepciones en el método de los coeficientes Casos donde funciones más complicadas aparecen en e lado 199 derecho 4.5. El método de variación de parámetros Métodos abreviados involucrados operadores Observaciones relacionados con ecuaciones con coeficientes variables las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientes constantes: la ecuación de Euler 6. Repaso de métodos importantes 218 Capitulo Cinco. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales 1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos El resorte vibrante. Movimiento armónico simple El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento sobre 232 amortiguado y críticamente amortiguado 1.3. El resorte con fuerzas externas El fenómeno de resonancia mecánica Problemas de circuitos eléctricos Problemas de circuitos eléctricos El péndulo simple Osciladores verticales de una caja flotando en un líquido Un problema en cardiografía Aplicación a la economía 255 Capitulo Seis

3 Solución de Ecuaciones Diferenciales por Transformadas de Laplace 1. Introducción al método de las transformadas de Laplace Motivación para las transformadas de Laplace Definición y ejemplos de los transformada de Laplace Propiedades adicionales de las transformadas de Laplace La función Gamma Observaciones concernientes a la existencia de las transformadas 267 de Laplace 2. Funciones impulso y la función delta de Dirac Aplicación de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales Solución de ecuaciones diferenciales sencillas. Transformadas 278 inversas de Laplace 3.2. Algunos métodos para hallar transformadas inversas de Laplace Observaciones concernientes a la existencia y unicidad de las 287 transformadas inversas de Laplace 4. Aplicaciones a problemas físicos y biológicos Aplicaciones a circuitos eléctricos Una aplicación a la biología El problema tautócrono Aplicación de una ecuación integral en 294 mecánica 4.4. Aplicaciones involucrando la función delta Una aplicación a la teoría de control automático y servomecanismos 299 Capitulo Siete. Solución de Ecuaciones Diferenciales Usando Series 1. Introducción al uso de series Motivación para soluciones con series Uso de la notación sumatoria Algunas preguntas de rigor El método de la serie de Taylor Método de iteración de Picard el método de Frobenius motivación para el método de Frobenius Ejemplos usando el método de Frobenius Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales 338 importantes 3.1. La ecuación diferencial de Bessel Ecuación diferencial de Legendre Otras funciones especiales 350 Capitulo Ocho. 353 Funciones Ortogonales y Problemas de Sturm Liouville 1. Funciones ortogonales Funciones como vectores Ortogonalidad Longitud o norma de un vector. Ortonormalidad y Eigenfunciones Problemas de Sturm Liouville Motivación para los problemas de Sturm Liouville. Eigenvalores y 361 Eigenfunciones 2.2. Una aplicación al pandeo de vigas 368

4 3. Ortogonalidad de las funciones de Bessel y Legendre Ortogonalidad de las funciones de Bessel Ortogonalidad de las funciones de Legendre Funciones ortogonales misceláneas Series ortogonales Introducción Series de Fourier Series de Legendre Series de Legendre Series ortogonales misceláneas Algunos tópicos especiales Ecuaciones diferenciales así mismo adjuntas El método de ortonormalización de Gram Schmidt 417 Capitulo Nueve. 420 La Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales 1. Solución numérica de y = f(x, y) El método de pendiente constante o método de Euler El método de pendiente promedio o método modificado de Euler Diagrama de computador Análisis de errores Algunas guías prácticas para la solución numérica El método de Runge Kutta 433 Parte II. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Capitulo Diez. Sistemas de ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones 1. Sistemas de ecuaciones diferenciales Motivación para los sistemas de ecuaciones diferenciales Método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones 441 diferenciales 1.3. El uso de operadores en la eliminación de incógnitas Métodos abreviados de operador Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales 448 ordinarias 3. Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden Aplicaciones a la mecánica El vuelo de un proyectil Una aplicación a astronomía El movimiento de satélites y mísiles El problema de las masas vibrantes Aplicaciones a las redes eléctricas Aplicaciones a la biología Concentración de una droga en un sistema de dos compartimientos El problema de epidemia con cuarentena El problema depredador presa: Un problema en ecología Formulación matemática Investigación de una solución Algunas aplicaciones adicionales Solución de sistemas lineales por transformadas de Laplace 498

5 9. Método de las soluciones complementarias y particular Como encontramos la solución complementaria? Cómo encontramos una solución particular? Resumen del procedimiento 507 Capitulo Once. Métodos de Eigenvalores de Matrices para Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales 1. El concepto de una matriz Introducción Algunas ideas simples Vectores fila y columna Operaciones diferenciales matriciales Ecuaciones diferenciales matriciales La solución complementaria Eigenvalores y eigenvectores El caso de eigenvalores reales distintos El caso de eigenvalores repetidos El caso de eigenvalores imaginarios Un problema algo más complicado Independencia lineal y wronskianos La solución particular Resumen del procedimiento Aplicaciones usando matrices Algunos tópicos especiales Ortogonalidad Longitud de un vector Eigenvalores y eingenvectores de matrices reales simétricas 542 Parte III. Ecuaciones Diferenciales Parciales Capitulo Doce. Ecuaciones Diferenciales Parciales en General 1. El concepto de una ecuación diferencial parcial Introducción Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillas Significado geométrico de las soluciones general y particular Ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la eliminación de 555 fundones arbitrarias 2. El método de separación de variables Algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen de 569 problemas físicos 3.1. Problema que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda 569 vibrante 3.2. Problemas que involucran conducción o difusión de calor Problemas que involucran potencial eléctrico o gravitacional Observaciones sobre la deducción de ecuaciones diferenciales 578 parciales Capitulo Trece. Soluciones de Problema de Valor de Frontera usando Series de Fourier 581

6 1. Problemas de valor de frontera que involucran conducción de calor El problema de Fourier Problemas que involucran fronteras aisladas Temperatura de estado estacionario en una placa semi infinita Interpretación de difusión de la conducción de calor Problemas de valor de frontera que involucran movimiento vibratorio El problema de la cuerda vibrante La cuerda vibrante con amortiguamiento Vibraciones de una viga Problemas de valor de frontera que involucran la ecuación de Laplace Problemas misceláneos La cuerda vibrante bajo de gravedad Conducción de calor en una barra con condiciones no cero en los 617 extremos 4.3. La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero Vibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que 620 involucra series dobles de Fourier 4.5. Conducción de calor con radiación 625 Capitulo Catorce. Soluciones de Problemas de Valor de Frontera Usando Funciones 632 de Bessel y de Legendre 1. Introducción Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel El Laplaciano en coordenadas cilíndricas Conducción de calor en un cilindro circular Conducción de calor en un cilindro radiante Vibraciones de una piel de tambor circular Problemas de valor de frontera que conduce a funciones de Legendre El Laplaciano en coordenadas esféricas Conducción de calor en una esfera Potencial eléctrico o gravitacional debido a una esfera Problemas misceláneos El problema de la cadena vibrante Potencial eléctrica debido a un alambre circular uniformemente 659 cargado 4.3. El problema de la bomba atómica 662 Apéndice. A-1 Determinantes Respuestas a los ejercicios A-7 Tablas: de Trasformadas ; de Integrales T-1 Bibliografía B-1 Matemáticos que hicieron aportes M-1 Índice I-1