Pontificia Universidad Católica del Ecuador

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1 1. DATOS INFORMATIVOS FACULTAD: INGENIERIA CARRERA: SISTEMAS Asignatura/Módulo: ECUACIONES DIFERENCIALES Código: Plan de estudios: 1137 Nivel: III Prerrequisitos: Correquisitos: Período académico: N Créditos: DOCENTE. Nombre: Urvina Mayorga Ménthor Oswaldo Grado académico o título profesional: Magister en Investigación Operativa menthor.urvina@epn.edu.ec Breve reseña de la actividad académica y/o profesional: Ecuaciones Diferenciales, Probabilidades y Estadística, Análisis Numérico Indicación de horario de atención al estudiante: lunes, martes y jueves de 15h00 a 16h00 Teléfono: Domicilio: 29823, Celular: SCRIPCIÓN L CURSO (Señalar naturaleza, propósito y grandes temas) Le permite al estudiante de Ingeniería de Sistemas, obtener una ecuación diferencial ordinaria como modelo de problemas reales, resolverla mediante métodos clásicos e interpretar la solución. 3. OBJETIVO GENERAL Resolver problemas relacionados con situaciones concretas de la realidad mediante la construcción de modelos matemáticos, y la aplicación de los conocimientos apropiados, correspondientes al planteamiento y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.. Al finalizar el curso, el/a estudiante estará en capacidad de Nivel de desarrollo de los resultados de aprendizaje Aplicar los métodos que permiten resolver una ecuación diferencial Identificar el tipo de ecuación diferencial y sus condiciones iniciales Aplicar las ecuaciones diferenciales en algunos Inicial / Medio / Alto medio medio

2 modelos matemáticos Validar la solución de acuerdo al problema planteado Aplicar métodos alternativos como la Transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales Aceptar con responsabilidad social las consecuencias de los resultados obtenidos en la solución de los problemas inicial medio alto

3 5. RELACIÓN, ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Y 1.Introducción: 1.1. Definiciones generales: Ecuación diferencial ordinaria (EDO) Orden de una ecuación diferencial Solución de una EDO 1 profesor, referentes a identificación de ecuaciones diferenciales, su orden, solución. Consulta individual sobre lo aprendido en los cursos de Cálculo diferencial e integral Clases expositivas estudiantes, sobre tipos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Identificar los tipos de ecuaciones diferenciales y comprobar que una función dada sea solución. individual de la sobre tipos de ecuaciones con sus soluciones. Prueba escrita individual sobre tipos de ecuaciones diferenciales, orden y solución.

4 1.2. Tipos de soluciones General Particular Singular 1.3. Origen de las EDO`s 2 profesor, referentes a identificación de tipos de soluciones, familias de curvas. Clases expositivas estudiantes, sobre tipos de soluciones y EDO`s de familias de curvas. Identificar los tipos de soluciones, de acuerdo a las condiciones del problema. Determinar la EDO que representa a una familia de curvas en coordenadas cartesianas o polares sobre tipos de soluciones de una EDO y representación de una familia de curvas con una EDO.. Prueba escrita individual sobre tipos de EDO`s, sus stipos de soluciones y familias de curvas. 2.0

5 2. Ecuaciones de Primer Orden 2.1. Ecuaciones separables Cambios de variables que transforman una EDO en separable Ecuación homogénea 3 profesor, referentes a identificación de ecuaciones de primer orden que son separables o que se transforman en separables con cambio de variables Clases expositivas estudiantes, sobre ecuaciones de primer orden y ecuaciones que se transforman en separables con cambio de variables Ecuaciones homogéneas Identificar una EDO que es de variables separables Determinar cambios de variables para transformar una EDO en separable. Identificar una EDO homogénea solución de EDO`s de primer orden separables y con cambios de variables que transforman una EDO en separable.

6 2.2. Ecuación exacta Factor integrante profesor, referentes a ecuaciones exactas y ecuaciones que se resuelven con factor integrante. Métodos de determinación de factores integrantes. Clases expositivas estudiantes, sobre ecuaciones de primer orden exactas. Deducción de factores integrantes y aplicación a problemas de ecuaciones que se transforman en exactas con factores integrantes Identificar una EDO que es exacta a través de la condición necesaria y suficiente. Determinar si una EDO no exacta admite factor integrante y hallar el correspondiente factor integrante y la solución de la EDO. solución de EDO`s de primer orden que pueden resolverse con factor integrante. separables y con cambios de variables que transforman una EDO en separable. Prueba escrita individual sobre ecuaciones de primer orden. 3.0

7 Ecuación lineal de Primer Orden Ecuaciones especiales Ecuación de Bernoulli Ecuación de Riccati Ecuación de Clairaut 5 profesor, referentes a ecuaciones lineales y ecuaciones que se transforman en lineales a través de cambios de variables la ecuación lineal, determinación de un factor integrante. estudiantes, sobre ecuaciones lineales y otras ecuaciones que se transforman en lineales con cambio de variable Identificar una EDO lineal de primer orden. Determinar un factor integrante de una EDO de primer orden. Encontrar un cambio de variable que transforme algunas ecuaciones especiales en una EDO lineal. solución de EDO`s de primer orden lineales y ecuaciones especiales. Prueba escrita individual sobre ecuaciones de primer orden lineales y especiales. 5.0

8 2.3. Aplicaciones de EDO`s de primer orden problemas geométricos 6 profesor, referentes a modelos matemáticos que se modelizan con EDO`s de primer orden interpretación de la derivada y modelización con EDO`s de primer orden. estudiantes, sobre modelización y resolución de la EDO con su condición inicial. Identificar las condiciones y leyes o propiedades que rigen un problema. Determinación de la EDO que representa el problema modelizado con su correspondiente condición. Solución del problema de valor incial e interpretación de la solución.. de aplicación de las EDO`s de primer orden.

9 Problemas de movimiento Problemas de crecimiento 7 profesor, referentes a modelos matemáticos que se modelizan con EDO`s de primer orden interpretación de la derivada y modelización con EDO`s de primer orden. estudiantes, sobre modelización y resolución de la EDO con su condición inicial. Identificar las condiciones y leyes o propiedades que rigen un problema. Determinación de la EDO que representa el problema modelizado con su correspondiente condición. Solución del problema de valor incial e interpretación de la solución.. de aplicación de las EDO`s de primer orden. 1.0

10 2.3.. Problemas de mezclas Problemas diversos 8 profesor, referentes a modelos matemáticos que se modelizan con EDO`s de primer orden interpretación de la derivada y modelización con EDO`s de primer orden. estudiantes, sobre modelización y resolución de la EDO con su condición inicial. Identificar las condiciones y leyes o propiedades que rigen un problema. Determinación de la EDO que representa el problema modelizado con su correspondiente condición. Solución del problema de valor incial e interpretación de la solución.. de aplicación de las EDO`s de primer orden. Prueba escrita individual sobre aplicaciones de las EDO`s de primer orden 5.0

11 3. Ecuaciones Lineales de orden superior 3.1. Definiciones 3.2. Independencia lineal: Wronskiano 3.3. Solución general 9 profesor, referentes a definiciones, solución general,solución particular y solución complementaria de una ecuación lineal de orden n definiciones fundamentales de ecuaciones lineales, idependencia lineal e funciones, wronskiano, y solución complementaria y particular de una ecuación lineal de orden n. Identificar una ecuación lineal, comprobar que un conjunto fundamental de funciones es linealmente independiente y es solución de la ecuación homogénea, probar que una función es solución particular de la ecuación no homogénea. sobre definiciones básicas de ecuaciones lineales, solución complementaria, solución particular y solución general.

12 3.. Ecuación lineal homogénea Ecuación de segundo orden: fórmula de Abel Ecuación lineal homogénea a coeficientes constantes 10 profesor, referentes a ecuaciones homogénea de segundo orden definiciones fundamentales de ecuaciones lineales, idependencia lineal e funciones, wronskiano, y solución complementaria y particular de una ecuación lineal de orden n. Identificar una ecuación lineal, comprobar que un conjunto fundamental de funciones es linealmente independiente y es solución de la ecuación homogénea, probar que una función es solución particular de la ecuación no homogénea. sobre definiciones básicas de ecuaciones lineales, solución complementaria, solución particular y solución general.

13 3.5. Ecuación lineal no homogénea Método de coeficientes indeterminados o anuladores Ecuación lineal homogénea a coeficientes constantes 11 profesor, referentes a ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes que pueden resolverse con anuladores y con variación de parámetros anuladores y determinación de soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas. el método de variación de parámetros y solución de ejercicios en clase con la estudiantes sobre determinación de soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas Determinar anuladores de una combinación lineal de funciones. Encontrar una solución particular de una EDO no homogénea con el método de los anuladores. Hallar una solución particular de una EDO no homogénea con el método de variación de parámetros de ecuaciones no homogéneas con los métodos de anuladores o variación de parámetros. Prueba escrita individual sobre la solución de ecuaciones homogéneas y no homogéneas..0

14 3.6. Ecuaciones lineales con coeficientes variables Ecuación de Cauchy-Euler 3.7. Aplicaciones Movimiento armónico simple 12 profesor, referentes a ecuaciones con coeficientes no constantes: ecuación de Cauchy- Euler. Consulta sobre leyes de movimiento armónico. cambios de variables que transforman una ecuación con coeficientes variables a una de coeficientes constantes, caso particular: ecuación de Cauchy-Euler. modelización del problema de movimiento armónico simple Determinar cambios de variables que transforman una EDO con coeficientes variables en una de coeficientes constantes. Identificar y resolver una ecuación de Cauchy-Euler. Modelar el problema de movimiento armónico simple de ecuaciones no homogéneas con coeficientes variables.

15 Movimiento armónico amortiguado Movimiento armónico forzado: resonancia 3.8. Cable colgante 3.9. Péndulo simple 13 profesor, referentes movimiento armónico, cable colgante y péndulo simple modelización general del movimiento armónico, cable colgante y péndulo simple. estudiantes, sobre movimiento armónico, cable colgante y péndulo simple Determinar y resolver el modelo de problemas de movimiento armónico Determinar y resolver el modelo del problema del cable colgante. Determinar y resolver el modelo del problema del péndulo simple. de movimiento armónico general, del cable colgante y del péndulo simple Prueba escrita individual sobre problemas que se modelizan con ecuaciones lineales. 3.5

16 . Transformada de Laplace.1. Definición y transformadas básicas.2. Propiedades de la transformada de Laplace.2.1. Linealidad.2.2. Transformada de la derivada.2.3. Transformada de la integral 1 profesor, referentes a la determinación de transformada de Laplace, condiciones necesarias para la existencia de la transformada la definición y existencia de la transformada de Laplace. Determinación de la tabla de las principales transformadas de Laplace. estudiantes, sobre existencia de transformada de Laplace y aplicaciones de las propiedades. Determinar la existencia de la transformada de Laplace. Encontrar transformadas de Laplace usando la definición y/o propiedades. Obtener la solución de EDO`s elementales con la trasformada de Laplace. de existencia de la transformada de Laplace. Obtención de la transformada de Laplace de funciones especiales y de combinaciones de funciones usando la definición o propiedades. 1.0

17 .2.. Primer teorema de traslación.2.5. Segundo teorema de traslación.2.6. Función de impulso unitario.2.7. transformada de una función periódica 15 profesor, referentes a la determinación de transformada de Laplace usando propiedades propiedades de la transformada de Laplace y sus equivalencias en términos de la transformada inversa. estudiantes, sobre la determinación de la transformada de Laplace usando propiedades. Encontrar transformadas de Laplace usando la propiedades. Obtener la solución de EDO`s elementales con la trasformada de Laplace. de la transformada de Laplace. Obtención de la transformada de Laplace de funciones especiales y de combinaciones de funciones usando la definición o propiedades. Prueba escrita individual sobre determinación de transformadas de Laplace. 2.5

18 SEMA NA Teóricas.2.8. Función de Heaviside.3. Función de impulso unitario.. Convolución..1. Teorema de convolución 16 profesor, referentes a funciones de Heaviside y de impulso unitario. Solución de problemas de convolución funciones de Heaviside, Función de impulso unitario, convolución de dos funciones y sus propiedades. estudiantes, sobre funciones salto unitario o Heaviside, funciones de impulso unitario y convolución Identificar una función de salto unitario. Identificar una función de impulso unitario y su correspondiente transformada de Laplace. donde aparecen funciones de salto unitario y/o funciones de impulso unitario.

19 .5. Aplicaciones de la Transformada de Laplace.5.1. Problemas de valor inicial.5.2. Problemas integrales.5.3. Problemas de movimiento armónico, mezclas, deflexión de vigas, etc. 17 profesor, referentes a problemas de valor inicial, problemas integrales, integro-diferenciales, modelos de movimiento armónico, deflexión de vigas, mezclas, etc. diferenciales, integrales, integro-diferenciales, modelos de movimiento armónico, deflexión de vigas, mezclas, etc. estudiantes, sobre diversos problemas: diferenciales, integrales, modelos de movimiento armónico, deflexión de vigas, mezclas, etc. Resolver una ecuación diferencial usando Transformadas de Laplace. Resolver modelos de problemas de movimiento armónico, deflexión de vigas, mezclas, etc. usando transformadas de Laplace.. diferenciales, integrales, modelos de movimiento armónico, deflexión de vigas, mezclas. Prueba escrita sobre las aplicaciones de la transformada de Laplace. 3.0

20 6. METODOLOGÍA Y RECURSOS (Debe enunciarse de manera general: se refiere a las estrategias de enseñanza - aprendizaje y a los recursos didácticos que se utilizarán para alcanzar los objetivos planteados). a. METOLOGÍA Se trabaja a partir de la explicación de la teoría, propiedades, y resultados dados por el profesor, con base a los conocimientos matemáticos adquiridos por los estudiantes en asignaturas aprobadas en cursos anteriores, especialmente en Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. Para la solución de las diferentes situaciones, preguntas y alternativas que se encuentran en el desarrollo del conocimiento, se trabaja a partir de clases magistrales, con la participación de todo el curso en forma individual o con grupos. Las conclusiones, en general, se analizan y discuten globalmente, con la participación de todos los estudiantes. b. RECURSOS Para la realización de todas las actividades dentro del aula, es indispensable contar con pizarra y marcadores y que todos los estudiantes revisen de manera previa los conocimientos que se van a dar, de manera que se vuelva fácil la comprensión de los resultados a impartir por parte del profesor. 7. EVALUACIÓN TIPO EVALUACIÓN CRONOGRAMA CALIFICACIÓN 1. PARCIAL Lo tratado en las 5 primeras semanas 2. PARCIAL Lo tratado desde la sexta semana hasta la décima primera semana. 3. PARCIAL Lo tratado desde la décima segunda hasta la décima séptima semana. FINAL En la semana de exámenes finales BIBLIOGRAFÍA a. BÁSICA

21 Bibliografía (basarse en normas APA) Espinosa Herrera, Ernesto Javier., Ecuaciones diferenciales ordinarias : introducción, Ed. Reverté, Barcelona, España, 2010 Bronson, Richard, Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill, México, Zill, Dennis G., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. McGraw-Hill, México, 1982 Disponible en Biblioteca a la fecha? No. Ejemplares (si está disponible) si 1 si 2 si 1 b. COMPLEMENTARIA Bibliografía (basarse en normas APA) Ayres, Frank, Teoria y problemas de ecuaciones diferenciales, Ed. Reverte, México, Braun, M.,Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Disponible en Biblioteca a la fecha? No. Ejemplares (si está disponible) si si 1 c. RECOMENDADA Bibliografía (basarse en normas APA) Ricardo, Henry, Ecuaciones diferenciales : una introducción moderna, Ed.Reverté, Barcelona, España, 2008 Disponible en Biblioteca a la fecha? No. Ejemplares (si está disponible) si 1 d. BIBLIOTECAS VIRTUALES Y SITIOS WEB RECOMENDADOS

22 Revisado: f) Coordinación de Docencia Fecha: Aprobado: f) Decano Por el Consejo de Facultad Fecha: Fecha: