UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Facultad de Estudios Superiores Aragón Ingeniería Mecánica Programa de Asignatura

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Facultad de Estudios Superiores Aragón Ingeniería Mecánica Programa de Asignatura NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ÁLGEBRA LINEAL PLAN 2007 Tipo de asignatura: Teórico Clave: Créditos: 06 Carácter: Obligatoria Semestre: Segundo Duración del Curso Semanas: 16 Área de Conocimiento: Físico Matemáticas Horas: 48 Horas/Semana Teoría: 3.0 Práctica: 0.0 MODALIDAD: CURSO SERIACIÓN INDICATIVA PRECEDENTE: SERIACIÓN INDICATIVA SUBSECUENTE: Álgebra, Cálculo Diferencial e Integral y Geometría Analítica. Electricidad y Magnetismo (L) y Ecuaciones Diferenciales. OBJETIVO DEL CURSO: Analizar, con un manejo formal matemático, los elementos básicos de los espacios vectoriales y las características principales que se obtienen, al establecer en ellos, un producto interno y un operador lineal para aplicarlos en la solución de problemas que requieren de estos conceptos como instrumentos para su resolución. No. Nombre TEMAS HORAS Teoría Práctica I ESPACIOS VECTORIALES II ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO III TRANSFORMACIONES LINEALES IV OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Total de Horas Teóricas 48.0 Total de Horas Practicas: 0.0 TOTAL:

2 OBJETIVOS Y CONTENIDO DE LOS TEMAS TEMA I "ESPACIOS VECTORIALES" Objetivo: Identificar los espacios vectoriales y analizar sus características fundamentales. I.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales. El conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales como un ejemplo de espacio vectorial. I.2 Definición de subespacio vectorial. Condición necesaria y suficiente para que un subconjunto de un espacio sea un subespacio vectorial. I.3 Conceptos de combinación lineal y dependencia lineal. Concepto de conjunto generador de un espacio vectorial. Definición de base y dimensión de un espacio vectorial. I.4 Conceptos de base ordenada, coordenadas de un vector respecto a una base ordenada y matriz de transición. Concepto de isomorfismo entre espacios vectoriales reales de dimensión finita. I.5 Definiciones del espacio renglón y el espacio columna de una matriz. I.6 Concepto del espacio vectorial de funciones. Concepto de los subespacios de dimensión finita compuestos por funciones. Análisis de la dependencia lineal de funciones. Análisis de la dependencia lineal de funciones. Definición y aplicación del Wronskiano. TEMA II "ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO" Objetivo: Analizar las características fundamentales del producto interno a fin de aplicarlo ala solución de problemas en espacios vectoriales. II.1 Definición de producto interno en un espacio vectorial. Espacios euclídeos, reales y complejos, como casos particulares de los espacios con producto interno. Definición y propiedades de la norma. Concepto de vectores unitarios. II.2 Definición de ortogonalidad y ángulo entre vectores de un espacio con producto interno. Definición de conjuntos ortogonales y ortonormales. Obtención de las coordenadas de un vector respecto a una base ortogonal y una base ortonormal. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt. Concepto de la serie trigonométrica de Fourier. TEMA III "TRANSFORMACIONES LINEALES" Objetivo: Distinguir las transformaciones lineales de las no lineales y formular la matriz que describe la acción de una transformación lineal, a fin de calcular sus valores y vectores propios y otros elementos que caracterizan a las transformaciones lineales. 48

3 OBJETIVOS Y CONTENIDO DE LOS TEMAS III.1 Definición de trasformación entre espacios vectoriales. Definiciones de dominio y codominio. Propiedad de linealidad. Definición de transformación lineal. Definición de recorrido y núcleo elementos que caracterizan a las transformaciones lineales. III.2 El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales. Caso de dimensión finita: relación entre las dimensiones del dominio, el recorrido y el núcleo de una transformación lineal. Análisis de transformación lineal. III.3 Concepto y obtención de la matriz asociada a una transformación lineal con dominio y codominio de dimensión finita. Álgebra, de las transformaciones lineales, definición y propiedades de: adición, multiplicación por un escalar, composición e inversa. III.4 Concepto de operador lineal. Definición de valores y vectores propios de un operador lineal. Caso de dimensión finita: definición de polinomio característico. Propiedades de los vectores propios. Definición de espacio propio. III.5 Matrices simetricas, propiedades sobre los valores y vectores propios. Enunciado del teorema de Cayley-Hamilton. Definición y propiedades de las matrices similares. Concepto de operador diagonalizable. Proceso de diagonalización de un operador lineal. TEMA IV "OPERADORES LINEALES EN ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO" Objetivo: Analizar las características principales de los operadores lineales que, aplicados en espacios con producto interno, proporcionan instrumentos útiles, en la resolución de problemas de ingeniería. IV.1 Formas de Jordan, valores propios repetidos. Definición y propiedades de los operadores hermitianos y antihermitianos. Enunciado del teorema espectral. Definición y propiedades de los operadores unitarios y ortogonales. Enunciado del teorema espectral para los operadores unitarios y ortogonales. IV.2 Definición y propiedades de las formas cuadráticas. Aplicaciones al giro de ejes en dos y tres dimensiones. 49

4 Bibliografía Básica BIBLIOGRAFÍA Temas para los que se recomienda. Solar González, E. y Speziale de Guzmán L. Álgebra Lineal. 3ª Ed, México, Limusa-Fac. de Ingeniería UNAM, 866 pp Anton, Howard. Introducción al Álgebra Lineal. 3ª Ed., México, 356 pp Nakos, George y Joyner, David. Álgebra Lineal con Aplicaciones. Thomson Editores, México, 666 pp Bibliografía Complementaria Ayres, Frank Jr, Álgebra Moderna. McGraw-Hill, México, 242 pp Grossman, S. I. Álgebra Lineal. 5a. Ed, McGraw-Hill, México, 633 pp Temas para los que se recomienda. I, II y III 50

5 SUGERENCIAS DIDÁCTICAS ELEMENTOS DE EVALUACIÓN Exposición oral Exposición audiovisual Ejercicios dentro de clase Ejercicios fuera del aula Seminarios Lecturas obligatorias Trabajos de investigación Practicas de taller o laboratorio Prácticas de campo Otros Exámenes Parciales Exámenes Finales Trabajos y tareas fuera del aula Participación en clase Asistencia a practicas Otros PERFIL PROFESIOGRÁFICO DE QUIENES PUEDEN IMPARTIR LA ASIGNATURA Licenciatura en Ingeniería, Matemáticas, Física o carreras cuyo contenido en el área de matemáticas sea similar. Deseable haber realizado estudios de posgrado, contar con experiencia docente o haber participado en cursos o seminarios de iniciación en la práctica docente. 51