2.5 Ejercicios... 59

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1 Índice General 1 Espacios vectoriales Espacios vectoriales y subespacios Preliminares Espacios vectoriales Subespacios Sistemas de generadores Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas lineales homogéneos Método de triangulación Cantidad de soluciones de un sistema homogéneo Sistemas lineales no homogéneos Independencia lineal y bases Independencia lineal Bases y dimensión Suma de subespacios Subespacio suma Suma directa Ejercicios Matrices Definiciones y propiedades Matrices inversibles Matrices elementales Coordenadas Coordenadas de un vector en una base Cambios de base

2 vi ÍNDICE GENERAL 2.5 Ejercicios Transformaciones lineales Definiciones, ejemplos y propiedades básicas Transformaciones lineales Núcleo e imagen de una transformación lineal Composición de transformaciones lineales Espacios vectoriales de dimensión finita Teorema de la dimensión Proyectores Representación matricial Matriz de una transformación lineal Matriz de la composición y cambios de bases Rango de una matriz Rango columna y rango fila Equivalencia de matrices Espacios vectoriales de transformaciones lineales Ejercicios Espacio dual El espacio dual de un espacio vectorial Base dual Anulador de un subespacio Ejercicios Determinantes Definición y ejemplos básicos Funciones multilineales alternadas Existencia y unicidad del determinante Propiedades del determinante Determinante de la transpuesta de una matriz Matrices triangulares Desarrollo del determinante por una fila o columna Determinante del producto de matrices Determinantes y matrices inversibles Inversibilidad de matrices Adjunta de una matriz

3 ÍNDICE GENERAL vii Regla de Cramer Cálculo de algunos determinantes Rango de una matriz y determinante Otra fórmula para el determinante Ejercicios Diagonalización Nociones básicas Autovalores y autovectores Polinomio característico Una caracterización de matrices diagonalizables Suma directa de subespacios Espacios de autovectores y diagonalización Polinomios minimales Polinomio minimal de una matriz Polinomio minimal de un vector Teorema de Hamilton-Cayley Un criterio de diagonalización usando el polinomio minimal Subespacios invariantes Ejercicios Forma de Jordan Transformaciones lineales nilpotentes Definiciones y propiedades básicas Existencia de forma de Jordan para una transformación lineal nilpotente Unicidad de la forma de Jordan nilpotente. Semejanza Caso general Forma de Jordan de una transformación lineal Unicidad de la forma de Jordan Aplicación: Cálculo de las potencias de una matriz Ejercicios Espacios vectoriales con producto interno Producto interno Definición y ejemplos Norma de un vector Distancia entre vectores

4 viii ÍNDICE GENERAL Ángulo entre dos vectores Matriz de un producto interno Ortogonalidad Conjuntos ortogonales y ortonormales Complemento ortogonal Proyección ortogonal Distancia de un punto a un subespacio Endomorfismos en espacios vectoriales con producto interno Adjunta de una transformación lineal Transformaciones autoadjuntas y matrices hermitianas Transformaciones unitarias y ortogonales Clasificación de transformaciones ortogonales Ejercicios Variedades lineales Nociones básicas Variedades lineales Algunas variedades lineales particulares Otra forma de describir variedades lineales Intersección y suma de variedades lineales Intersección de variedades lineales Variedades lineales paralelas y alabeadas Suma de variedades lineales Variedades lineales en espacios con producto interno Ortogonalidad de variedades lineales Ángulo entre rectas y planos Distancia de un punto a una variedad lineal Distancia entre variedades lineales Ejercicios Formas bilineales Definición y ejemplos Matriz de una forma bilineal Formas bilineales simétricas Definiciones y propiedades básicas Diagonalización de formas bilineales simétricas Formas bilineales simétricas reales

5 ÍNDICE GENERAL ix Clasificación Formas bilineales definidas positivas Ejercicios Bibliografía 265 Índice Alfabético 266