Polinomios de Legendre.

Transcripción

1 . Introducción. Polinomios de Legendre. Los polinomios de Legendre constituyen una base ortogonal en el espacio de funciones definidas entre [, ]. Son soluciones de la familia de ecuaciones diferenciales ordinarias: [ d ( x ) d ] P n(x) +n(n+)p n (x) = 0 () Donde n = 0,... Como demostraremos, este problema tiene la forma de una ecuación de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. El autovalor es λ = n(n+). Existen varias formas alternativas para introducir los polinomios de Legendre. La más sencilla y física de ellas es a través del desarrollo multipolar. Sea r = r r = r y θ el angulo que forman r y r r r = r +r rr cosθ = r En lo sucesivo llamaremos x = cos(θ) y t = r r. Función generatriz. = +( r r ) ( r )cosθ r l=0 r l r l+p l(cosθ) Definimos la función generatriz g(x,t), cuyo desarrollo en serie de Taylor genera como coeficentes los polinomios de Legendre: g(x,t) = = P n (x)t n (3) xt+t Los dos primeros polinomios se pueden calcular desarrollando en serie de Taylor en la variable t: g(x,t) = P 0 (x)+p (x)t+... (4) t=0 = () g(x,0) = = = P 0 (x) (5) x t ( xt+t ) 3 t=0 = x = P (x) (6)

2 3. Propiedades. Utilizando exclusivamente la función generatriz se pueden comprobar varias propiedades.. La paridad de los polinomios de Legendre está bien definida: Para demostrarlo podemos considerar: P n ( x) = P n (x)( ) n (7) g( x, t) = = P n ( x)( ) n t n (8) ( x)( t)+( t) que al mismo tiempo es: g( x, t) = por tanto = = ( x)( t)+( t) xt+t P n (x)t n (9) P n ( x) = P n (x)( ) n (0) Además es posible conocer los valores de los polinomios en x = ±:. P n () = Si x = = = t+t ( t) ( t) = +t+t +... = de donde deducimos que P n () =. 3. P n ( ) = ( ) n. De forma analoga si x = t n P n ()t n () = = +t+t (+t) (+t) = t+t t 3... = ( ) n t n P n ()t n () de donde deducimos que P n ( ) = ( ) n.

3 4. Relaciones de recurrencia La función generatriz se puede utilizar para deducir relaciones entre los polinomios de Legendre. Vamos a demotrar que podemos calcular el polinomio P n+ (x) a partir de P n (x) y P n (x). A una relacion de este tipo se la denomina relación de recurrencia a tres términos. Empezaremos derivando g(x, t) con respecto a t dt = (x t)g(x,t) xt+t = (x t) P n (x)t n = por otro lado tenemos que: xt+t (xp n (x) P n (x))t n (3) dt = d dt P n (x)t n = np n (x)t n (4) igualando ambas expresiones para la derivada y multiplicando por xt+t llegamos a la relación: xp n (x)t n P n (x)t n+ = ( xt+t ) np n (x)t n (5) (xp n (x) P n (x))t n = P n (x)(nt n xnt n +nt n+ ) (6) (xp n (x) P n (x))t n = (n+)p n+ (x)t n xnp n (x)t n +P n (x)(n )t n (7) igualando términos con igual potencia t n obtenemos la relación de recurrencia a tres terminos: Ejercicio Calcula P (x) (n+)p n+ (x) = (n+)xp n (x) np n (x) (8) P (x) = 3xP (x) P 0 (x) (9) Ejercicio Calcula P 3 (x) P (x) = (3x ) (0) 3

4 . Podemos encontrar otra relación de recurrencia derivando la función generatriz con respecto a x = t tg(x,t) = () ( xt+t ) 3/ xt+t = d P n (x)t n = P n(x)t n () igualando ambas expresiones para la derivada llegamos a la relación y multiplicando por xt+t P n (x)t n+ = ( xt+t ) P n(x)t n (3) P n (x)t n+ = (P n(x)t n xp n(x)t n+ +P n(x)t n+ ) (4) En este caso vamos a igualar términos en t n+ P n (x)t n+ = P n (x)tn+ xp n (x)tn+ +P n+ (x)tn+ (5) llegamos a: P n (x)+p n+(x) = xp n(x)+p n (x) (6) 5. Ecuación Diferencial de Legendre. Utilizando las dos relaciones de recurrencia se llega a la ecuación de Legendre: [ d ( x ) d ] P n(x) +n(n+)p n (x) = 0 (7) Esta ecuacion tiene la forma de un problema de Sturm-Liouville generalizado. En concreto, es la ecuación de autovalores de un operador autoadjunto donde p(x) = x y λ = n(n + ). Por tanto sus autofunciones, que son los polinomios de Legendre, son ortogonales entre si: Para calcular C n xt+t = m=0 P n (x)p m (x) = C n δ mn (8) P n (x)p m (x)t n+m = t n P n (x) (9) 4

5 Donde hemos utilizado la ortogonalidad de los polinomios de Legendre. P n (x)p m (x) = C n δ mn (30) [ = xt+t t log( xt+t ) = [( ) n tn+ t n+ tn+ n+ igualando obtenemos ] t= t= = [log( t) log(+t)] =(3) t ] = tn n+ (3) P n (x) = n+ (33) 6. Fórmula de Rodrigues Los polinomios de Legendre se pueden calcular utilizando la fórmula de Rodrigues: P n (x) = d n [ (x ) n] (34) n n! n Ejercicio: Aplica la fórmula de Rodrigues para calcular P (x).. Vamos ahora a demostrar (34). Para ello consideraremos la ecuación diferencial ordinaria que satisface el polinomio r(x) = (x ) n o lo que es lo mismo: d [ (x ) n] = nx(x ) n (35) (x )r = nxr (36) Derivemos n+ veces esta ecuación ((x )r ) (n+) = n(xr) (n+) (37) y utilicemos la expresión para la derivada enésima de un producto: (fg) (m) = m p=0 ( ) p (f (m p) g (p) ) (38) m 5

6 obtenemos: (x ) dn+ dn+ n(n+) n+r(x) + (n+)x n+r(x)+ d n nr(x) nx dn+ dn n+r(x) n(n+) nr(x) = 0. Llamemos La ecuación queda u = dn q n (39) (x )u +[(n+)x nx]u +[n(n+) n(n+)]u = 0 (40) y simplificando ( x )u xu +n(n+)u = 0 (4) que es la ecuación de Legendre. Concluimos que u = dn n [ (x ) n] (4) Es solución de la Ecuación de Legendre y por consiguiente es proporcional a P n (x). P n (x) = c dn n [ (x ) n] (43). c es una constante. La fórmula de Rodrigues identifica esa constante conc= n n! Ejercicio: Determina c utilizando que y que P n () = P n (x) = c dn n [(x+)n (x ) n ] (44) 6