5.3 Ecuaciones homgéneas de coeficientes constantes 101

Transcripción

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2 5.3 Ecuaciones homgéneas de coeficientes constantes 101 se dice que es la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial. Dependiendo de las raíces de la ecuación característica, si son reales o complejas, si son simples o múltiples, se actuará de forma diferente con el objetivo de encontrar una solución general de la ecuación diferencial homogénea (5.5). 1. Las raíces son reales y simples. Si r 1,...,r n son n raíces reales distintas, entonces y 1 (x) = e r 1x,..., y n (x) = e rnx (5.6) son n soluciones linealmente independientes. Y por tanto, la solución general de la ecuación homogénea es con c 1,...,c n constantes arbitrarias. y h (x) = c 1 e r 1x c n e rnx (5.7) Ejemplo 5.5. Sea la ecuación diferencial y 2y 5y + 6y = 0. Se buscan soluciones de la forma y(x) = e rx. Entonces y (x) = re rx, y (x) = r 2 e rx, y (x) = r 3 e rx. Sustituyendo en la EDO se tiene que la ecuación característica es r 3 2r 2 5r + 6 = 0 y sus raíces son r = 1, r = 2 y r = 3. Por tanto, y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e 2x, y 3 (x) = e 3x forman un sistema fundamental de soluciones. Luego dadas c 1,c 2,c 3 constantes, la solución general de la ecuación es y(x) = c 1 e x + c 2 e 2x + c 3 e 3x. 2. Las raíces son complejas y simples. Si las raíces de la ecuación característica son complejas y distintas, un sistema fundamental de soluciones sigue estando dado por (5.6). Sin embargo, algunas de estas soluciones

3 Ecuaciones diferenciales lineales tomarán valores complejos puesto que si, por ejemplo, r 1 = α + iβ es raíz compleja, la solución asociada será e r 1x = e (α+iβ)x. Sin embargo, es posible obtener a partir del sistema fundamental (5.6) otro en el que todas las soluciones sean reales. La forma de proceder es análoga a como se hacía en sistemas lineales. Como los coeficientes a 0,...,a n 1 son números reales, todas las raíces complejas de la ecuación característica aparecerán por pares conjugados. Así, si r 1 = α + iβ es raíz, entonces r 2 = r 1 = α iβ también lo es. Luego, z 1 (x) = e r 1x = e (α+iβ)x = e αx (cos(βx) + isen(βx)), z 2 (x) = e r 2x = e (α iβ)x = e αx (cos(βx) isen(βx)) son dos soluciones (de valores complejos) linealmente independientes. Sean y 1 (x) = z 1(x) + z 2 (x) 2 = Re(z 1 (x)) = e αx cos (βx), y 2 (x) = z 1(x) z 2 (x) 2i = Im(z 1 (x)) = e αx sen(βx), éstas también son soluciones de la ecuación, por ser combinación lineal de soluciones y además toman valores reales. Por tanto, procediendo de forma análoga para cada pareja de raíces complejas conjugadas sigue siendo posible expresar la solución general de (5.5) como una combinación lineal de soluciones de valores reales. Ejemplo 5.6. Se considera la ecuación diferencial y y = 0. La ecuación característica asociada es r 4 1 = (r +1)(r 1)(r 2 +1) = 0. Luego, las raíces son 1, 1, i, i y un conjunto fundamental de soluciones está dado por y 1 (x) = e x, y 2 (x) = e x, z 3 (x) = e ix = cos x + isen x, z 4 (x) = e ix = cosx isen x.

4 5.3 Ecuaciones homgéneas de coeficientes constantes 103 Entonces, se sustituye el par de soluciones (complejas) z 3 (x), z 4 (x) por y 3 (x) = z 3(x) + z 4 (x) 2 = Re(z 3 (x)) = cosx, y 4 (x) = z 3(x) z 4 (x) = Im(z 3 (x)) = senx. 2i De modo que, la solución general de la ecuación es con c i constantes arbitrarias. y(x) = c 1 e x + c 2 e x + c 3 cos x + c 4 sen x 3. Las raíces son múltiples. Se considera en primer lugar el caso en el que existe una única raíz real r = r 1 de multiplicidad n. Entonces, como se buscan soluciones de la forma e rx, se tiene que n x n (erx ) + a n 1 n 1 x n 1 (erx ) + + a 1 x (erx ) + a 0 e rx = (5.8) = e rx ( r n + a n 1 r n a 1 x + a 0 ) = e rx (r r 1 ) n. Luego, si r = r 1 se tiene que e r 1x es solución de la EDO, es decir, n x n (er 1x n 1 ) + a n 1 x n 1 (er 1x ) + + a 1 x (er 1x ) + a 0 e r1x = 0. Derivando parcialmente con respecto a r la ecuación (5.8) y teniendo en cuenta que e rx tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes con respecto a r y a x se cumple que r ( n n 1 ) x n (erx ) + a n 1 x n 1 (erx ) + + a 1 x (erx ) + a 0 e rx = ( ) n 1 ( ) ( ) r (erx ) + a n 1 x n 1 r (erx ) + + a 0 r (erx ) = = n x n = r (erx (r r 1 ) n ) = e rx (x(r r 1 ) n + n(r r 1 ) n 1 ). Por tanto, evaluando en r = r 1 se tiene ( ( ) n n 1 ( x n r (erx ) + a n 1 x n 1 r (erx ) ) + + a 0 ( r (erx ) )) r=r 1 = 0.

5 Ecuaciones diferenciales lineales En consecuencia ( ) r (erx ) = xe r1x, r=r 1 es otra solución de la EDO y además es linealmente independiente con e r 1x. Derivando de forma sucesiva con respecto a r la ecuación (5.8) y reiterando el razonamiento anterior, se puede comprobar que e r 1x, xe r 1x,..., x n 1 e r 1x forman un sistema fundamental de soluciones. En general, si se tiene la ecuación característica (r r 1 ) n 1 (r r 2 ) n 2...(r r s ) ns = 0 con n 1 +n 2 + +n s = n, para cada raíz r i se tienen n i soluciones linealmente independientes dadas por e r ix, xe r ix,..., x n i 1 e r ix. En el caso en el que aparezcan raíces complejas múltiples, éstas lo harán por pares conjugados, y la forma de obtener un sistema fundamental de soluciones reales será análoga al caso de raíces simples, es decir, de cada par de soluciones (con valores complejos) z 1 (x) = x m e (α+iβ)x = x m e αx (cos(βx) + isen(βx)) z 2 (x) = x m e (α iβ)x = x m e αx (cos(βx) isen(βx)) se obtienen las soluciones reales y 1 (x) = z 1(x) + z 2 (x) 2 y 2 (x) = z 1(x) z 2 (x) 2i = Re(z 1 (x)) = x m e αx cos (βx), = Im(z 1 (x)) = x m e αx sen(βx). Ejemplo 5.7. Se considera la ecuación diferencial y 3y 3y + 5y 2y = 0.

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