LICENCIATURA EN FÍSICA

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1 PRÁCTICAS DE CÁLCULO NUMÉRICO AVANZADO LICENCIATURA EN FÍSICA CURSO ACADÉMICO PRÁCTICA 5: Método de disparo para problemas de contorno. En esta práctica nos ocuparemos de la resolución de problemas de contorno mediante los métodos de disparo lineal y no lineal. En particular, nos centraremos en problemas de contorno de segundo orden con condiciones de contorno lineales. Es decir, nuestro objetivo será resolver EDOs de segundo orden y = f(x,y,y ) (1) donde en el caso lineal f(x,y,y ) = p(x)y (x) + q(x)y(x) + r(x) (2) Asumamos que nos interesa encontrar la solución de la EDO anterior en el intervalo [x i,x f ]. Los métodos de disparo se pueden implementar de forma sencilla para condiciones de contorno lineales. a 1 y(x i ) + b 1 y (x i ) w 1 = 0 a 2 y(x f ) + b 2 y (x f ) w 2 = 0. Dependiendo de los valores de los coeficientes a i y b i, nuestras condiciones de contorno serán de tipo Dirichlet, Neumann o Robin (mixtas). En esta práctica consideraremos, para simplificar, el caso concreto de condiciones tipo Dirichlet en x = x i y de tipo Neumann en x = x f : y(x i ) = a 0, y (x f ) = b 0 (3) En concreto, utilizaremos estas condiciones de contorno para resolver un problema de difusión de calor en el que una anilla circular se mantiene a una temperatura T en su borde interno, y en la que que no hay pérdida de calor en su borde externo, sino sólo en superficies superior e inferior (por convección). Se puede comprobar que este problema es equivalente al de resolver el siguiente problema de contorno (ver apéndice): x 2d2 u dx 2 + xdu dx α2 x 2 u = 0,u(a) = 1, u (1) = 0 (4) donde x = r/r e siendo r e el radio externo, 0 < a = r i /r e < 1 (r i radio interno) y u es una función lineal de la temperatura (ver apéndice). Tomaremos, por ejemplo, α = 2. Las actividades de esta práctica deberán estar todos incluidas en el fichero prac5.m. En esta práctica utilizaremos las rutinas construidas en la

2 práctica 2, quizás con alguna ligera modificación (básicamente para que el último paso de la rutina adaptativa se dé de forma apropiada). A estos ficheros, añadiremos los nuevos ficheros lineal.m, nolineal.m y analitih.m, que a continuación describiremos, junto con los ficheros de las funciones empleadas para almacenar las funciones f(t,y,y ) de la ecuación diferencial (que, como siempre, deberemos escribir como sistemas de primer orden). 1 El problema de difusión de calor: solución exacta y soluciones mediante disparo lineal Resolveremos el problema (4) tomando, por ejemplo, los valores a = 0.65, α = 2 mediante el método de disparo lineal y mediante el de disparo no lineal, comparando con la solución analítica en término de funciones de Bessel modificadas (ver Abramowitz & Stegun): u(x) = K 1(α)I 0 (αx) + I 1 (α)k 0 (αx) K 1 (α)i 0 (αa) + I 1 (α)k 0 (αa) u (x) = αk 1(α)I 1 (αx) αi 1 (α)k 1 (αx) K 1 (α)i 0 (αa) + I 1 (α)k 0 (αa) En MATLAB K n (x) besselk(n,x), I n (x) besseli(n,x). Construiremos un programa para resolver mediante el método del disparo lineal el problema descrito (con condiciones de Dirichlet y Neumann). La sintaxis del programa será: [x,y,c]=lineal(fun1,fun2,xi,xf,a0,b0,eps) donde los inputs y outputs tienen el siguiente significado: 1. Inputs: (a) fun1: cadena alfanumérica conteniendo el nombre del fichero donde está almacenada la f(x, y) para la ecuación diferencial completa (escrita como sistema de primer orden). (b) fun2: cadena alfanumérica conteniendo el nombre del fichero donde está almacenada la parte homogénea de f(x,y) (escrita como sistema de primer orden). (c) xi,xf: valores de inicio y finales de x. (d) a0: valor de la solución en x = x i (u(x i ) = a0: Dirichlet) (e) b0: valor de la derivada en x = x f (u (x f ) = b0: Neumann) (f) eps: tolerancia de error absoluto para el método de integración utilizado (Runge- 2. Outputs: Kutta Fehlberg). (a) x: vector conteniendo los valores de la variable independiente para los que se ha calculado la solución numérica (5)

3 (b) y: matriz conteniendo los vectores solución (para u y u ) (c) C: condición inicial u (x i ) = C correspondiente a la solución del problema de contorno (es decir, la pendiente inicial necesaria para dar en el blanco ). En el caso que nos ocupa (conducción de calor), como la ecuación es homogénea, fun1=fun2. Llamaremos al correspondiente fichero f.m. Además x i = a = 0.65, x f = 1, a 0 = 1, b 0 = 0. Una vez construida la función lineal.m, en el fichero prac5.m resolveremos en primer lugar el problema mediante esta rutina de disparo lineal y comparemos con la solución analítica, que será obtenida mediante: y=analitih(xi,x) donde xi = 0.65 y x es el vector de las x donde se ha calculado la solución numérica dada por lineal.m (es output de esta función). Representaremos las diferencias entre las u(x), u (x) calculadas mediante ambos métodos. El objetivo a cumplir es que el cálculo mediante el método de disparo lineal tenga un error máximo menor que en todo el intervalo [xi xf]. 2 Solución mediante el método de disparo no lineal Volveremos a resolver el problema anterior pero ahora utilizando un método de disparo no lineal. Tal y como se discutió en clase, utilizaremos el método de la secante sobre los valores de las soluciones numéricas en x f para calcular de forma iterativa la solución del problema de contorno (la diferencia con lo visto en clase es que en x f la condición es sobre la derivada). La sintaxis para la correspondiente función MATLAB será [x,y,c]=nolineal(fun,xi,xf,a0,b0,g1,g2,eps,nm) donde todas las variables con el mismo nombre en lineal.m tienen el mismo significado. Los nuevos inputs son: 1. fun: cadena alfanumérica conteniendo la f(x,y) completa del problema. 2. g1,g2: estimaciones iniciales de y (x i ) para iniciar el método. 3. nm: número máximo permitido para las iteraciones. Dentro del fichero nolineal.m, haremos que se dibuje cada solución y su derivada en cada una de las iteraciones del método (con un comando plot con los argumentos correspondientes seguido de un pause(1) bastará para observar la secuencia de soluciones). Resolveremos el mismo problema anterior, tomando como valores iniciales g1 y g2 cualesquiera. El método deberá converger en cualquier caso. El objetivo será que los valores de C obtenidos mediante el método lineal y el no lineal difieran con un error relativo menor que

4 3 Resolución de una ecuación no homogénea También en el fichero prac5.m incluiremos un ejemplo de la resolución de un problema de contorno para una ecuación no homogénea. Por ejemplo, se sugiere: y + x 2 y 10y cos(x) = 0 y(0) = 1, y (2) = 5 (6) Llamaremos f1.m y f2.m a las funciones para describir el sistema completo y el homogéneo. Es decir, fun1= f1 y fun2= f2. De nuevo, se tratará de que los valores de C coincidan con un error relativo mejor que Aplicación para un sistema no lineal De lo anterior comprobamos como el método de disparo lineal puede ser mejor idea para sistemas lineales (para empezar es más simple). Para sistemas no lineales sólo el método de disparo no lineal tiene sentido, si bien por lo general habrá considerable incertidumbre en la convergencia. Como ejemplo, consideremos el problema y = (1 y 2 )y y y(0) = 1, y (10) = b 0 (7) Comprobaremos como para b 0 = 1.2, g 0 = 1.45, g 1 = 1.52 en pocas iteraciones tenemos que la solución numérica verifica que y(10) 1.2 < 10 3 (considerando suficiente precisión en la integración numérica) y el resultado es estable con las sucesivas iteraciones pero difícil de mejorar. Un pequeño cambio (por ejemplo b 0 = 1.3) puede, sin embargo, dar lugar a un comportamiento errático del método. Se pide incluir éste u otro ejemplo parecido en prac5.m. La función f(t,y) de la ecuación diferencial la incluiremos en fn.m. 5 Listado de programas Los programas de los que consta esta práctica son: 1. prac5.m 2. lineal.m 3. nolineal.m 4. analith.m 5. f.m, f1.m, f2.m, fn.m además de las rutinas de integración (Runge-Kutta), que también conviene incluir por completitud.

5 6 Apéndice: transferencia de calor en un sistema con simetría cilíndrica Para el sistema de la figura, consideremos la situación de equilibrio en un proceso de transferencia de calor. Τ8 Elemento diferencial q c Asumimos q= 0 Τ i δ q r q r+ r Para condiciones de equilibrio con simetría cilíndrica y sin variación axial de temperatura, el balance de energía en la región marcada en la figura nos dice que q r q r+ r q c = 0. Es decir, la energía que llega al sistema por conducción debe ser igual a la que abandona el sistema por conducción y por convección. Los términos de conducción están dados por la ley de Fourier y la componente convectiva está dada por la ley de Newton de enfriamiento, o ka r dt dr dt + ka r r dr ha c (T T ) = 0. r+ r donde A r, área de transferencia de calor por conducción y A c, área de transferencia de calor por convección, están dadas por [ A r = 2πrδ, A c = 2π (r + r) 2 r 2] [ = 2π 2r r + r 2]. Después de sustituir estas expresiones y dividir por r, tenemos que k2πrδ dt dr k2πrδ dt r+ r dr r r y tomando el límite r 0 obtenemos 2π[2r + r]h(t T ) = 0 [ d k2πrδ dt ] 4πrh(T T ) = 0. dr dr

6 Podemos reescribir la anterior ecuación del siguiente modo r 2d2 T dr 2 + rdt dr 2h kδ r2 (T T ) = 0. (8) Esta ecuación representa el balance de energía en el estado estacionario para nuestro sistema, asumiendo conducción radial y convección desde la superficie. Las condiciones de contorno que asumimos para nuestro sistema son T(r i ) = T i, dt dr = 0 re siendo r i y r e los radios interior y exterior, respectivamente. La ecuación (8) puede escribirse adimensionalmente considerando las variables: u = T T T i T, x = r r e. De este modo y tras simplificar, la ecuación que resulta es donde α 2 = 2hr2 e kδ. Las condiciones de contorno son ahora x 2d2 u dx 2 + xdu dx α2 x 2 u = 0, (9) u(x = r i r e x i ) = 1, u (x = r e r e = 1 x f ) = 0. (10) La solución de (9), (10) proporciona el perfil radial de temperaturas en nuestro sistema.