Año CIMTA Centro de Investigaciones en Mecánica Teórica y Aplicada Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca

Transcripción

1 ESTABILIDAD II: Termoelasticidad Año 2012 CIMTA Centro de Investigaciones en Mecánica Teórica y Aplicada Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca

2 Objetivo Establecer una teoría que permita obtener desplazamientos, tensiones y deformaciones en cuerpos sometidos a estados de cargas mecánicos y térmicos. Hasta ahora se ha estudiado y aplicado la Teoría de la Elasticidad considerando cuerpos sometidos a estados de carga mecánicos, pero únicamente expuestos a temperatura ambiente. La consideración de una temperatura distinta a la de referencia, o de variaciones de temperatura genera en el cuerpo dilataciones y/o contracciones.

3 Dilatación lineal y deformación lineal El cambio de una dimensión en un sólido se denomina dilatación lineal o expansión lineal. Dilatación lineal: Deformación lineal: α: coeficiente de dilatación térmica lineal, [α] = 1/ºK.

4 Estado termoelástico de tensiones y deformaciones Utilizando el Principio de Superposición, las ecuaciones constitutivas se expresan mediante la Ley de Hooke se como IMPORTANTE: Las deformaciones producidas por el efecto térmico realizan su aporte únicamente a las deformaciones lineales y no en las angulares.

5 Estado termoelástico de tensiones y deformaciones Las tensiones en función de las deformaciones se expresan siendo el coeficiente de Lamé: y la dilatación volumétrica:

6 Ecuaciones de equilibrio y relaciones cinemáticas Las ecuaciones de equilibrio y las relaciones cinemáticas de la Teoría de la Elasticidad permanecen inalteradas. Ecuaciones de Equilibrio:

7 Ecuaciones de equilibrio y relaciones cinemáticas Las ecuaciones de equilibrio y las relaciones cinemáticas de la Teoría de la Elasticidad permanecen inalteradas. Ecuaciones Cinemáticas:

8 Ecuaciones de Cauchy Las ecuaciones de Cauchy, empleadas en el planteo de las condiciones de borde de la Teoría de la Elasticidad también permanecen inalteradas. Ecuaciones de Cauchy:

9 Ecuaciones de Navier termoelásticas A partir de las ecuaciones constitutivas, de equilibrio y cinemáticas, las ecuaciones de Navier se expresan como Resolviendo este sistema de ecuaciones, con la aplicación de las condiciones de borde correspondientes, pueden obtenerse los corrimientos u, v y w.

10 Ecuaciones de Navier termoelásticas A partir de las ecuaciones constitutivas, de equilibrio y cinemáticas, las ecuaciones de Navier se expresan como PROBLEMA: Para resolver las ecuaciones se requiere conocer el estado térmico en cada punto del cuerpo que se está estudiando (dominio).

11 Transmisión del calor Cuando dos sistemas (por ejemplo, dos puntos de un cuerpo) se encuentran a distinta temperatura, se produce un flujo de energía desde el sistema de mayor temperatura hacia el de menor temperatura.

12 Transmisión del calor Mecanismos de transmisión del calor Conducción: Propagación por contacto directo entre las partículas de un cuerpo, o entre cuerpos a distintas temperaturas. EN TERMOELASTICIDAD NOS INTERESA LA CONDUCCIÓN Convección: Propagación mediante el movimiento de las partículas de un fluido (líquido o gaseoso) desde una región a otra del espacio. Radiación: Propagación mediante la emisión de ondas electromagnéticas por parte de una sustancia emisora.

13 Transmisión del calor por conducción Conducción: Propagación por contacto directo entre las partículas de un cuerpo, o entre cuerpos a distintas temperaturas. Su tratamiento analítico consiste en establecer el campo de temperaturas, es decir, establecer la ecuación: Campo de temperaturas en régimen transitorio: Campo de temperaturas en régimen estacionario:

14 Flujo de calor Transmisión del calor por conducción Dado un cuerpo, limitado por dos superficies paralelas de área A, sometidas a temperaturas T 0 > T. Se ha establecido experimentalmente que Q: tasa de transferencia de energía térmica, [Q] = W.

15 Transmisión del calor por conducción Ley de Joseph Fourier (1822) Consideremos ahora la varilla de la figura. En base a los experimentos mencionados, Fourier expresó la siguiente ley de variación q: tasa de transferencia de energía térmica (flujo de calor), por unidad de área perpendicular a la dirección de flujo, [q] = W/m 2. k: conductividad térmica (capacidad del material para conducir calor), [k] = W/(mºK).

16 Transmisión del calor por conducción Ley de Joseph Fourier (1822) La temperatura de un cuerpo puede variar según las tres direcciones coordenadas. Así, la Ley de Fourier se generaliza definiendo el vector de flujo térmico por conducción de la siguiente manera es decir: (Válido para materiales isótropos, k constante)

17 Ecuación diferencial de conducción del calor Principio de Conservación de la Energía Energía entrante: Energía saliente: Energía generada: Energía acumulada:

18 Ecuación diferencial de conducción del calor Principio de Conservación de la Energía Sumando los términos y considerando también flujo en y y z, se obtiene: c: calor específico del material, [c] = J/(KgºK); δ : densidad del material, [δ] = Kg/m 3. Dividiendo por el volumen e considerando las expresiones de q x, q y y q z : se obtiene la ecuación diferencial de conducción del calor como:

19 Ecuación diferencial de conducción del calor Ecuación de Fourier y Ecuación de Laplace se conoce como Ecuación de Fourier y es válida para flujo transitorio. Si se considera estado estacionario, la derivada temporal es nula, entonces se tiene: o bien: conocida como Ecuación de Laplace.

20 Ecuación diferencial de conducción del calor Condiciones de borde (a) De primer tipo o de Dirichlet. Se conoce la temperatura en la superficie exterior del cuerpo. (b) De segundo tipo o de Neumann. Se conoce el valor del flujo térmico en la superficie exterior del cuerpo. Por ejemplo, para considerar aislaciones térmicas o bien en el caso de simetría plana.

21 Problema de Termoelasticidad Estacionario Se requiere resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado por junto con sus condiciones de borde, para las variables u, v, w y T.

22 ESTABILIDAD II: Termoelasticidad Año 2012 CIMTA Centro de Investigaciones en Mecánica Teórica y Aplicada Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Bahía Blanca