FEM para Mecánica 3D. Miguel Ángel Otaduy. Animación Avanzada 7 de Marzo de 2014

Transcripción

1 FEM para Mecánica 3D Miguel Ángel Otaduy Animación Avanzada 7 de Marzo de 2014

2 Índice Repaso Hoy Funciones de forma Formulación fuerte formulación débil Matriz de rigidez Ec. de elasticidad en 3D Deformación (strain) y tensión (stress) en 3D Materiales lineales isotrópicos Ritz-Galerkin en 3D Problema FEM estático La semana que viene Dinámica Simulación de grandes rotaciones Plasticidad Fractura

3 Elasticidad 3D Desplazamiento Fuerza interna: divergencia de la tensión (stress) Fuerza externa: fuerzas de masa (body forces)

4 Formas de medir la deformación Posición deformada: Gradiente de deformación: Tensor de Green: Tensor de Cauchy:

5 Tensor de Cauchy Evaluación del tensor de cauchy: Es lineal, simétrico, y con 6 valores distintos (Hay un cambio de escala de algunos valores que no es relevante).

6 Deformación de Cauchy en forma de vector Desplegando en un vector 6D: Se puede expresar como un operador lineal que deriva el desplazamiento.

7 Tensor de Tensión La tensión es un tensor simétrico: La tensión es la magnitud que permite calcular la presión interna en cualquier dirección.

8 Material lineal isotrópico Un material lineal relaciona de manera lineal tensión y deformación (equivalente 3D de la ley de Hooke): E: Tensor 3x3x3x3 Material lineal isotrópico (usando vectores 6D): Al usar vectores 6D, E: Matriz 6x6

9 Parámetros del material Dos parámetros para materiales lineales isotrópicos: Módulo de Young (E). Relaciona la magnitud de deformación con la magnitud de fuerza. Indica la rigidez del material. Coeficiente de Poisson (ν). Relaciona la deformación en direcciones ortogonales. Indica la compresibilidad del material. Un material con ν = 0.5 conserva el volumen.

10 Conclusiones (por ahora) Hemos desarrollado una posible formulación de la fuerza interna: Tensor de deformación de Cauchy (Linealidad geométrica) Relación lineal deformación-tensión (Material lineal) Hay múltiples posibles definiciones, utilizando relaciones deformación-tensión no-lineales (modelo constitutivo), u otras métricas de la deformación (p.ej., el gradiente de deformación).

11 Elasticidad: Formulación fuerte Las densidades de fuerza interna y externa han de estar en equilibrio en todo el volumen. Cond. de contorno de Dirichlet (desplazamientos). Cond. de contorno de Neumann (fuerzas). Todo punto del contorno ha de tener una condición de desplazamiento (Dirichlet) o fuerza (Neumann).

12 Método de Galerkin La ecuación diferencial se multiplica por una función de test (arbitraria) y se integra en el dominio. La solución es independiente de la función de test. Más adelante se verá que la podemos eliminar.

13 Teorema de Green Aplicamos el teorema de Green: Esto da lugar a la formulación débil. En la formulación fuerte aparece la derivada segunda del desplazamiento. En la débil, sólo aparece la primera derivada.

14 Eliminación de la función de test Aproximamos la función de test por el método de los elementos finitos: Eliminando la función de test, se obtiene:

15 Matriz de rigidez Nos vamos a fijar sólo en el término que da lugar a la matriz de rigidez Por las definiciones de tensión y deformación: Aproximando el desplazamiento por FEM:

16 Matriz de rigidez (2) La integral se puede expresar como la suma de integrales en los elementos. Entonces, las funciones de forma son continuas en cada integral. Como las funciones de forma son lineales (coord. baricéntricas), su derivada es constante. El vector nodal de desplazamientos se puede sacar de la integral. También se puede sacar la matriz del material (constante por cada elemento):

17 Matriz de rigidez (3) La matriz de rigidez se puede expresar como suma de matrices de rigidez por elemento: La matriz de cada elemento tiene 4x4 bloques de tamaño 3x3 distintos de 0. Las matrices se calculan en cada elemento y luego se ensambla la matriz completa.

18 Matriz por Elemento El desplazamiento en un elemento se aproxima a partir del vector nodal de desplazamientos y las funciones de forma: Las funciones de forma tienen coordenadas baricéntricas en la diagonal. Las coordenadas baricéntricas son una función lineal de la posición.

19 Matriz por Elemento (2) Definimos la deformación de Cauchy en el elemento derivando el desplazamiento: Como las coordendas baricéntricas son lineales, el resultado de derivar la matriz de funciones de forma es una matriz constante en cada elemento. En 3D, esta matriz tiene 4 bloques de tamaño 6x3 distintos de 0 por cada elemento. Al multiplicar B T EB en la matriz de rigidez del elemento, resultan los 4x4 bloques distintos de 0.