CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS

Transcripción

1 Capítulo 9 Cargas no aplicadas en los nudos 9.1- Cargas en el interior de un tramo Hasta ahora sólo se consideraron casos en que las cargas eteriores están aplicadas sobre los nudos; en el caso que actúen cargas concentradas sobre las barras como en la igura 9.1, se podría definir un nudo en los puntos donde están aplicadas las cargas y aplicar el procedimiento visto hasta ahora. igura 9.1 De esta manera se agregarían en este ejemplo seis nuevas incógnitas, tres por cada nuevo nudo que se ha introducido. Evidentemente este tratamiento del problema no es conveniente a menos que el número de cargas en el interior de los tramos sea reducido. Tampoco resulta adecuado en el caso de PRATO, MASSA -1-

2 cargas distribuidas, las cuales, para ser aproimadas, deberían ser descompuestas en un conjunto de cargas concentradas que sean equivalentes. Suponiendo que, como se lo ha venido haciendo hasta aquí, el sistema es lineal se puede descomponer el estado de cargas de la igura 9.1 en la suma de dos estados: igura 9. En el Estado I se supone que los nudos no se desplazan ni giran, condición que se denomina como empotramiento perfecto. Para lograr esta situación resulta necesario agregar en los etremos de cada barra (no sobre los nudos), fuerzas iguales a las reacciones de empotramiento perfecto que no forman parte de las verdaderas cargas eteriores aplicadas a los nudos. El análisis de los esfuerzos en este Estado I debe realizar en forma separada para cada barra. En el caso de la barra vertical 1- se tiene: igura 9. Las fuerzas que se aplican en los etremos de la barra se denominan "fuerzas de empotramiento". Para el caso de la barra horizontal - se procede de manera similar: PRATO, MASSA --

3 h igura 9.4 Las reacciones de apoyo de una viga biempotrada para los tipos habituales de cargas están disponibles en tablas y manuales de cálculo de estructuras, por lo que en general no es necesario efectuar el análisis local de cada barra (por ejemplo, con la solución de la ecuación diferencial de la elástica del tramo en estudio). En algún caso particular que no figure en tablas ni pueda epresarse como combinación de casos que figuren en ellos, deberá resolverse la ecuación diferencial de la elástica con las cargas dadas y los nudos fijos. Como ya fue indicado al deducir la matriz de rigidez una barra genérica en coordenadas locales, el efecto aial está desacoplado y es un problema de una sola incógnita que puede resolverse en forma independiente del problema de fleión para las cargas transversales al eje de la barra. Para la solución de la parte fleional se requiere calcular las fuerzas transversales y los momentos en los etremos de la barra, que se denominan habitualmente fuerzas de empotramiento perfecto. Una vez conocidas las fuerzas de empotramiento perfecto, el trazado de los diagramas de esfuerzos internos resulta de aplicar las reglas conocidas de la estática. Para la barra horizontal - se tiene:. l. l 8 8 h igura 9.5 En el Estado II se aplican sobre los nudos cargas iguales y opuestas a las agregadas en el Estado I, de manera que, al superponer ambos estados, se anulan las cargas nodales que no eisten en el problema inicial y sólo quedan las fuerzas eteriores aplicadas. De esta manera se ha transformado el problema inicial de cargas en el interior de los tramos en otro problema de cargas equivalentes en los nudos, pero que requiere la superposición de los Estados I y II para obtener los esfuerzos finales en cada barra. PRATO, MASSA --

4 P. h. l 8 8 P h Q. 8 l h P P. h 8 igura 9.6 Solución del Estado I: Resulta importante reconocer que una vez determinadas por cualquier método (tablas, trabajos virtuales, etc.) las "fuerzas de empotramiento", los diagramas se reducen a un problema de estática. Cada barra queda "biempotrada" y no transmite al nudo ninguna fuerza, por lo que los desplazamientos nodales del Estado I son todos nulos. Solución del Estado II: El Estado II sólo contiene cargas en los nudos. Éstas resultan las fuerzas nodales del problema original, a las que deben sumarse las fuerzas equivalentes en los nudos. Las fuerzas equivalentes en un nudo se determinan como la suma, cambiada de signo, de todas las fuerzas de empotramiento de los etremos de las barras que concurren a dicho nudo. La solución del Estado II se determina mediante el procedimiento descrito en el capítulo anterior, es decir resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas de equilibrio del conjunto de la estructura con las condiciones de vínculo originales. Una vez calculados los desplazamientos nodales de la solución del Estado II, se determinan barra por barra las fuerzas en sus etremos, y con esos valores se trazan los diagramas de esfuerzos correspondientes a este estado. Las reacciones se calcular sumando las fuerzas de etremo de barra de todas las barras que concurren al apoyo. Solución del problema original: Se obtiene superponiendo las soluciones de los Estados I y II. PRATO, MASSA -4-

5 a) Los desplazamientos nodales son directamente los correspondientes al Estado II, dado que en el Estado I son todos nulos. b) Los diagramas finales de esfuerzos internos se obtienen sumando los diagramas del Estado II (del tipo de las igura 8.11, igura 8.1 y igura 8.14) con los diagramas de barras biempotrados del Estado I (del tipo de las igura 9. y igura 9.5 de este capítulo). Como ejemplo considérense los diagramas de esfuerzos de la barra horizontal Efectos térmicos igura 9.7 Las estructuras están sometidas frecuentemente a variaciones de temperatura. Los efectos que provocan dichos cambios de temperatura dependen tanto de su magnitud como también del material de la estructura y, fundamentalmente, del grado de hiperestaticidad. Ya se ha visto que las estructuras hiperestáticas pueden sufrir esfuerzos por cambios térmicos al estar impedidas de deformarse libremente. En el caso de la estructura hiperestática de la igura 9.8.a, un aumento uniforme de temperatura Δt en la barra - produce la deformada indicada en línea de trazos, además de tensiones en todas las barras. Por el contrario, para el caso particular de la igura 9.8.b, sólo se produce un alargamiento (no restringido) de las barras verticales que no genera tensiones. PRATO, MASSA -5-

6 t t igura 9.8 La forma de analizar este fenómeno es idéntica a la ya vista para el caso de cargas en el interior de tramos. Se debe primero determinar las "fuerzas de empotramiento" causadas por el cambio de temperatura, y aplicar las fuerzas equivalentes en el Estado II de una manera similar a la utilizada para las cargas en el interior de las barras. Un procedimiento tentativo para encontrar las fuerzas de empotramiento en coordenadas locales consiste en: empotrar el nudo "i" y resolver el problema por el Método de las uerzas. En el Estado 0, sólo se generan distorsiones térmicas t, t, etc ecuaciones de compatibilidad asociadas al empotramiento en el nudo "j". 11 X1 1 X 1 X X1 X X X1 X X 0 0, y es necesario luego resolver las Con los resultados de esas ecuaciones se obtienen las reacciones en el apoyo "i" a través de las ecuaciones de equilibrio. El estado final resulta: PRATO, MASSA -6-

7 X X 1 X Eiste un caso muy frecuente que consiste en una variación térmica uniforme a través de la longitud de la barra, debido a la diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de la viga (asumida de variación lineal en altura). t s t s t i t i t s t m t 0 i igura 9.9 Donde: ts ti. ts ti. A. E ; M.. E. I h (Ec. 9.1) En el caso de la igura 9.9, la viga no presenta ninguna deformación transversal a causa de que el momento flector es constante, y por lo tanto la curvatura por fleión es igual y opuesta a la curvatura térmica, también constante. Por lo tanto, el efecto del gradiente térmico constante en toda la barra no produce curvatura en la misma para la condición de nudos fijos o empotrados. En la igura 9.10 se presenta un ejemplo ilustrativo. t s ( ) igura 9.10 Las fuerzas de empotramiento de la (Ec. 9.1) se encuentran en un sistema local, y deben T transformarse al sistema global para tener las fuerzas equivalentes en el Estado II P R P l. PRATO, MASSA -7-

8 los tramos. De aquí en más, el procedimiento es eactamente igual al caso de cargas en el interior de Efectos térmicos en un reticulado: temperatura En el caso de la igura 9.11, en donde la diagonal que se indica sufre un aumento de t, no hay restricción al alargamiento de la barra. El estado final de deformación es el correspondiente al Estado II y no hay tensión en ninguna barra en el estado original. t H igura 9.11 H En el Estado I sólo se tiene la barra indicada comprimida por una fuerza t AE, y en el Estado II, esta fuerza es totalmente absorbida por la diagonal traccionada por la fuerza. t H H igura 9.1 Por el contrario, en el caso de la igura 9.1, la carga equivalente en los nudos es absorbida por todo el marco cerrado indicado en la igura 9.1 y por lo tanto hay esfuerzos en todas las barras de dicho marco. La barra que sufre el t está comprimida en el Estado I y traccionada en el Estado II. En este caso particular, luego de la superposición estará comprimida. igura 9.1 PRATO, MASSA -8-

9 9.- Desplazamientos prefijados Aunque las estructuras están básicamente diseñadas para resistir cargas, puede ocurrir que ciertos desplazamientos impuestos, aunque pequeños, produzcan esfuerzos importantes. A los nudos cuyos desplazamientos son conocidos se los conoce normalmente como apoyos, y en ellos no se conoce a priori la fuerza (reacción de apoyo). Los nudos restantes donde se conoce la fuerza eterior se llaman nudos libres, y en ellos no se conoce a priori el desplazamiento. Los desplazamientos prefijados se originan por diversas causas. Por ejemplo, en caso del cedimiento de un apoyo de la fundación de un edificio, se estima el desplazamiento máimo producido por el mismo, pudiendo analizarse si la deformabilidad de la estructura permite ese desplazamiento sin fallar. En el caso de una viga continua, se estiman los desplazamientos relativos máimos que podrían sufrir los apoyos. La mayoría de las veces, el desplazamiento prefijado no es algo que necesariamente vaya a ocurrir, sino que se pretende tener una idea de los esfuerzos que se generan si un "cierto desplazamiento" llegara a producirse. El procedimiento de superposición desarrollado en este capítulo también permite tratar el problema de desplazamiento prefijado. Sólo deben desplazarse los nudos cuyo desplazamiento se "conoce", empotrando todos los restantes nudos de la estructura para obtener el Estado I. Obsérvese que la aplicación del procedimiento descripto para este caso requiere que se "relaje" la condición de empotramiento perfecto de los nudos en el planteo del Estado I. M M P y P y E. I 1.. l E. I 6.. l igura 9.14 Las fuerzas de empotramiento de una barra con desplazamientos prefijados en alguno de sus nudos se obtienen fácilmente empleando las ecuaciones fuerza-movimiento de dicha barra ((Ec. 8.), (Ec. 8.) y (Ec. 8.4)). A manera de ejemplo, considerando desacoplado el efecto aial en la barra - de la igura 9.14, y empleando la (Ec. 8.), se obtiene el siguiente sistema: PRATO, MASSA -9-

10 y K1 K K1 K 0 P K1 K K K K 0. M K y K1 K K1 K P K1 K K K K 0 M K (Ec. 9.) En el caso de una barra inclinada, conviene usar la (Ec. 8.) que corresponde a coordenadas locales para facilitar el trazado de los diagramas de esfuerzos del Estado I. Las fuerzas de etremo se transforman luego al sistema global para obtener las fuerzas equivalentes del Estado II. Debe destacarse que una vez obtenidos los desplazamientos del Estado II, se obtienen los y esfuerzos barra por barra en la forma habitual (recordar que, en el Estado II, U 0 ), y luego se y superponen los esfuerzos del Estado I (causados por U ). Un procedimiento alternativo para abordar el caso de un desplazamiento prefijado sin recurrir al principio de superposición se logra generalizando la (Ec. 8.4). En efecto, el sistema global de ecuaciones de equilibrio se puede particionar en tres, reordenando filas y columnas, quedando de la siguiente forma: K11 K1 K 1 U P K1 K K. R K K K 0 R 1 (Ec. 9.) : Desplazamientos prefijados R : Reacciones de apoyo asociadas a esos desplazamientos R : Reacciones en los puntos con desplazamiento nulo Desarrollando la (Ec. 9.) se obtienen tres sistemas de ecuaciones de equilibrio: K U K K P K11U P K1 (Ec. 9.4) K U 0 1 K K R K1U K R K U K K R K1U K R 1 0 (Ec. 9.5) (Ec. 9.6) En primer lugar se resuelve el sistema de la (Ec. 9.4) donde se observa que el efecto de los desplazamientos prefijados introduce una modificación del término de cargas. Una vez calculados los U, se calculan las reacciones de apoyo efectuando los productos indicados en (Ec. 9.5) y (Ec. 9.6). Este procedimiento, que resulta más directo, requiere almacenar la matriz completa antes de aplicar las condiciones de contorno, además de las técnicas de partición, por lo que debe realizarse un ordenamiento sistemático de la información. PRATO, MASSA -10-

11 La diferencia entre ambas técnicas radica en que la primera determina las fuerzas de empotramiento barra por barra según la ecuación fuerza-desplazamiento de cada barra (como en la epresión (Ec. 9.)), y se agregan al vector de cargas, cambiadas de signo, mientras que la segunda modifica el vector de cargas utilizando la submatriz K 1. A modo de ejemplo, se desarrolla el segundo procedimiento para el pórtico de la igura Por simplicidad, no se consideran los apoyos con desplazamiento nulo, es decir que no se tienen en cuenta las últimas filas y columnas de la (Ec. 9.). a b a a b A K B C K 0 0 U 0 a a b a b b b 1 1 B D K E K 0 K K y b U 0 a a b a b b K C E K K K 0 K 0. b b K 0 0 K 0 0 U 0 b b b b 0 K 0 1 K 0 K1 K b 0 b K b b 0 K 0 K K Intercambiando las filas quinta y seta, lo mismo que las columnas quinta y seta, se llega a la partición (Ec. 9.). El sistema del tipo (Ec. 9.4) a resolver resulta: U 0 y b U K 1 b K11. K U 0 b K (Ec. 9.8) Nótese que el vector de carga en la (Ec. 9.8) coincide con las cargas en el Estado II de la igura 9.14, que son las fuerzas de empotramiento calculadas en (Ec. 9.) cambiadas de signo. Para calcular la reacción vertical en el apoyo se utiliza la (Ec. 9.5) : K U 0 1 K K R U y U b b b b y 1 1 U 0 K K 0 K K R (Ec. 9.7) PRATO, MASSA -11-

12 9.4- Defectos de montaje Durante la fabricación y montaje de los elementos estructurales suelen ocurrir errores inevitables que pueden ocasionar esfuerzos internos o deformaciones iniciales. Si la estructura es hiperestática, el montaje en tales condiciones producirá la aparición de esfuerzos internos y/o eternos para compensar los errores o imprecisiones geométricas. En el caso (b) de la igura 9.15, donde una barra resultó corta, sólo se altera la geometría teórica pero no se producen esfuerzos. igura 9.15 En el caso (c), aparecerán esfuerzos además de las distorsiones geométricas. Se puede descomponer el problema de una barra "larga" en un Estado I, en que la misma está comprimida con una fuerza tal que la lleve a su longitud teórica, y un Estado II en el que se transforman las fuerzas de empotramiento del Estado I en fuerzas eteriores actuando en los nudos que une dicha barra. Estas cargas tendrán el mismo módulo y dirección que las del Estado I, pero de sentido contrario. igura 9.16 PRATO, MASSA -1-

13 Ejercicio Nº 1: En la barra de la figura se pide trazar los diagramas de M, Q y N sabiendo que: a) El nudo 1 está empotrado. y b) Mediante una fuerza vertical P y un momento M aplicados en el nudo se desplaza dicho nudo hasta *. 0, y P P?? M?? 0 A cm I cm E 4 6 ; 4 ;,1 10 kg Cálculo de los coeficientes de la matriz de rigidez en coordenadas globales. cm 1 1/ L ; 1 0,8 ; 0, A. E E. I E. I E. I K 4000 ; K ,8 ; K ; K l l l l A 6916 ; B 0111 ; C 04 ; D ; E 40 PRATO, MASSA -1-

14 Cálculo del giro del etremo : 60 arctan 6,87º ,87 (horario) 0, 064rad Cálculo del desplazamiento horizontal U * : Si se conoce la fuerza P 0 entonces se desconoce el desplazamiento U. / / / / / / / / / / / / 0? / / / / / / / / / / / / 0? / / / / / / / / / / / / 0?. / / / / / / U 0 / / / / / / / / / / / / 0,? / / / / / / / / / / / / 0,064? U , 040, 06 U 0,14577 Cálculo de las fuerzas de etremo (coordenadas globales): / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / , / / / / / / , 7 / / / / / / , PRATO, MASSA -14-

15 uerzas de etremos en el sistema local: R P P l 0,8 0, , 6 0, uerzas de etremo de barra: Sistema Global Diagramas: PRATO, MASSA -15-

16 Ejercicio Nº : Analizar la estructura del croquis bajo la acción de un efecto térmico en la cara superior de las dos barras. t s kg I I 1000 cm ; t 0º C ; E,110 cm 5 1 A1 A 60 cm ; h 0 cm ; 1,1 10 º C s uerzas de empotramiento en el Estado I: t s t s. t. A. E 0790 kg m t M. s. E. I 100 kg.cm h Cargas nodales equivalentes en el Estado II: PRATO, MASSA -16-

17 Matriz de rigidez de la barra 1 - Sistema Global: A. E E. I E. I E. I K ; K1 1. 9, 75 ; K ; K l l l l 1 1 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 0 9, / / / / / / Matriz de rigidez de la barra - Sistema Global: A. E E. I E. I E. I K 5000 ; K , 6 ; K ; K l l l l 0, 6 ; 0,8 1 A 90849, 0 ; B 1086, ; C 400, 00 ; D 1615, 57 ; E 040, / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Sistema de ecuaciones de equilibrio, una vez impuestas las condiciones de borde de apoyos empotrados 1 y. (*) , , 400 U 816 y y 1086, , U R y Al imponer la condición de apoyo U 0 se obtiene un sistema de , U U 0, , El cálculo de la reacción vertical en el apoyo, puede obtenerse empleando la segunda ecuación del sistema (*). PRATO, MASSA -17-

18 y R 1086.(0, 0049) (0, ) 475, 7 Cálculo de las fuerzas en el etremo de la barra (1) en coordenadas locales. / / / / / / / / , / / / / / / 0 / / ,7 / / / / / / 0 / / ,5. / / / / / / / / 0 0, , / / / / / / 0 / / ,7 / / / / / / 0 / / , ,0 El cálculo de las fuerzas de etremo de la barra () en coordenadas locales se realiza transformando los desplazamientos del nudo al sistema local de la barra (). RU U l 0, 6 0,8 0, , ,8 0, 6 0 0, / / / / / / 0, ,5 0 01, / / / / / / 0,016940, / / / / / / 0, / / / / / / 0 098,5 0 01, / / / / / / 0, / / / / / / 0 64,6 PRATO, MASSA -18-

19 64,6 El equilibrio del nudo en el sistema global se verifica transformando las fuerzas de etremo de la barra () al sistema global. T R Pl P 0, 6 0,8 098,5 1860,8. 0,8 0, 6, 477,5 Equilibrio del nudo : PRATO, MASSA -19-

20 Ejercicio Nº : Calcular los desplazamientos en el pórtico de la figura y trazar los diagramas de M y Q. Barra 1: l 00 cm ; I 600 cm ; A 5cm Barra : l 00 cm ; I 400 cm ; A 4cm 4 P 00kg kg q 50 m Matriz de rigidez de las barras: Barra 1: A. E E. I E. I E. I K 5000 ; K ; K ; K l l l l Barra : A. E E. I E. I E. I K 4000 ; K ; K ; K l l l l PRATO, MASSA -0-

21 P. l 8 P. l 7500 kg. cm 8 q. l P 100kg P. l 8 P q. l 4 q. l , 67 kg. cm q. l 50Kg , U 50. y U , 0, U 0, y U 0, , PRATO, MASSA -1-

22 Diagramas de M y Q : 1666, , ,67 PRATO, MASSA --