Tema 7: FLEXIÓN: HIPERESTATICIDAD. Problemas resueltos

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Carmelo Castro San Segundo
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1 Tema 7: FLEXIÓN: HIPERESTTIIDD Problemas resueltos Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SL.) - 008

2 7.1.-En la viga de la figura calcular las reacciones en los apoyos M M R R m 1 m Ecuaciones de equilibrio: F = 0 R R = 10.1 (1) M = 0 M 3R = M 10.1.,5 () 4 incógnitas: R, R, M, M Viga hiperestática de º grado (tiene apoyos de más) Viga Isostática Equivalente M M R m 1 m R Ecuaciones deformación: ϑ = 0 (3) y = 0 (4) Para desarrollar (3) y (4) aplicaremos el Método de los Teoremas de Mohr Desarrollemos la ecuación (3): M M S S M ϑ = 0 ϑ = ϑ ϑ = 0 0 = S = 0 EI EI 0 x : M = R. x M ( x ) x 3 : M = R. x M 10.( x ). 3 M S = 0 = ( R. x M ). ( R. x M 5.( x ) ). 0 4, 5R 3M 1, 667 = 0 (3) M Q M y = 0 y = = 0 = Q = 0 E. I M Q = 0 = ( R. x M ).(3 x). ( R. x M 5.( x ) )(3 x) ,5R 4,5M 0, 4167 = 0 (4) resolviendo (1),(),(3) y (4) R = 0,96 kn., R = 9,074 kn., M = 0,833 kn.m., M = 3,056

3 7..-En la viga de la figura se pide determinar: 1) Reacciones en los apoyos ) Giro de la sección 3) Flecha en Datos: perfil IPE -180, E=,1x10 5 N/mm M 5 kn/m 8 kn R 3 m R 1 m Ecuaciones de equilibrio: F = 0 R R = (1) M = 0 R.3 M = () 3 incógnitas: R, R, M viga hiperestática de 1º grado (tiene en apoyo de más) Viga Isostática Equivalente: M 5 kn/m 8 kn R 3 m R 1 m Ecuación de deformación: y = 0 (3) Para desarrollar (3) emplearemos el Método de los Teoremas de Mohr: M Q M y = 0 y = = 0 = Q = 0 E. I x 0 x 3 : M = R. x M 5. x. 3 M = 0 = (.,5. ).(3 ). 4,5 4,5 16,875 = 0 (3) 0 Q R x M x x R M resolviendo (1),() y (3) : R = 4,15 kn., R = 3,875 kn., M = 0,375 kn.m

4 M. M M S S ) ϑ = ϑ θ = ( como θ = 0) = θ = θ = = E. I E. I E. I 0 x 3 M = 4,15. x 0,375,5. x 3 x 4 M 4,15. x 0,375,5. x 3,875.( x 3) θ 3 (4,15. 0,375,5. ). 0 = = = = 8. x 7,5. x x x, θ = 0,00183 rad 3) M..(4 x) M Q = = E. I E. I 3 4 (4,15x 0,375,5 x ).(4 x). [8. x 7,5 x ).(4 x). 0 3 = 5 3 8, = 0, 0074 m ( punto por debajo dela tan gente en ) y = y > 0 < 0 y = y = 0,003 m = 0,3 cm

5 Observación: Otra forma de haber calculado y c, hubiera sido aplicando el Principio de Superposición de Efectos. R 5 kn/m 8 kn M R 5 kn/m y q. L 5.4 = ( tablas) = = = 8. E. I 8., = 0,0578 m = 5,78 cm 8 kn y 3 3 P. L 8.4 = ( tablas) = = = 3. E. I 3., = 0, 0616 m = 6,16 cm R = 3,875 Kg P. b y3 = ( tablas) =.(b 3 a) = 6. E. I 3,875.3.(.3 3.1) = = 6., = 0,1165 m = 11, 65 cm y = y1 y y3 = 0, 3 cm

6 7.4.-La viga de la figura se encuentra empotrada en y sujeta por un cable de acero en. l aplicar la carga de 100 kn. en el extremo se pide calcular las reacciones en el empotramiento y la fuera a la que estará sometida el cable. Datos: viga: IPE-300; cable: radio = 1 cm.; E= N/mm T m 100 kn R M Ecuaciones de equilibrio: F = 0 R 100 = T (1) M = 0 T.3 M = () 3 Incógnitas: R, M, T Viga Hiperestática de 1º grado (tiene 1 apoyo de más) Viga Isostática Equivalente: 100 kn R M T Ecuación de deformación: y = L (cable) (3) y la calcularemos por la Ecuación Diferencial de la Elástica:

7 d y 0 x 3 M = R. x M E. I. = M = R. x M 3 dy x x x E. I. = R. M. x 1 E. I. y = R. M. 1. x 6 dy condiciones de contorno : x = 0 = 0; x = 0 y = 0 resolviendo : 1 = 0 = 0 3 x x R. M. 6 4,5. M 4,5. R y = y y x = 3, = = 8 8, ,5. M 4,5. R T. y = L = (3) y resolviendo (1),() y (3) : , ,1.10. π.1.10 R = 41,6 kn., M = - 4,68 kn.m (sentido horario)., T= 141,6 kn Observación: Se podría haber desarrollado la ecuación (3) de deformación a partir de los Teoremas de Mohr. En este caso se tendría que tener cuidado con los signos. y = L (3) álculo de y por los Teoremas de Mohr : y = - (pues como se observa en la figura: y >0 y por el contrario: < 0) R M y < 0 tag. en x y 3 M..(3 x) ( R. x M )..(3 x) Q R M = = = = E I M 0 4,5. 4, E. I, , ,5. R 4,5. M como y = y = el mismo valor obtenido anteriormente 8 8, sí pues la ecuación (3) serála misma de antes

8 7.5.-En la viga de la figura se pide determinar: 1) Reacciones en los apoyos ) Diagramas de solicitaciones 3) Giro de la sección 4) Flecha en x = 3 m Datos: E =,1x10 5 N/mm, IPE-00 0 kn M 1 m 4 m 3 m R R R Ecuaciones de equilibrio: F = 0 R R R = (1) M = 0 7R 3R M = ,5 () 4 incógnitas: R, R, R, M Viga Hiperestática de º grado (tiene dos ligaduras de más) Nota: Este problema en lugar de resolverlo por el método de la viga isostática equivalente, lo resolveremos por el método de la Ecuación de los tres Momentos. La viga dada es equivalente a la siguiente: 0 kn M 1 m R 4 m 3 m R R siempre que se cumpla la ecuación de deformación: θ = 0 (3) Por último emplearemos la: ecuación de los tres momentos (4) Desarrollemos a continuación las ecuaciones (3) y (4): Ecuación de los tres momentos: M n 1, n M n, n 1 Q n 1 Qn 1 M n 1. Ln M n.( Ln Ln 1) M n 1. Ln 1 = 6. Ln Ln 1 para analiar cada uno de sus términos separemos la viga continua en dos vigas simplemente apoyadas: 0 kn (M ,5-3.R ) kn.m 0.1 kn.m (10.3-R ) kn (0-R ) kn (0.5-4R ) kn.m M 4 m R R 3 m R R

9 siendo: M = M = 0 kn. m., M = M = ( R ) kn. m., M = M kn. m n 1 n n 1 M n 1, n M M n, n 1 M n = = 4., 1 3., n n 1 0, = = = = n 1 = L L m L L m Q Q Q Q M cálculo de Q : R 3 m F = 0 M = 0 R = R = 15 Kg x 0 x 3 M = 15. x 10. x. 3 R M Q = (15. x 5. x ).(3 x). = 33,75 0 La ecuación de los tres momentos será pues: 0 33, ( R).(4 3) 3. M = 6. (4) 4 3 Desarrollemos a continuación la ecuación (3): ϑ = 0 (lo desarrollaremos por Mohr) (0-R ) kn (0.5-4R ) kn.m M R 3 m R x 0 x 3 M = R. x (0 R). x ( R) 10. x. M Q M tagϑ ϑ = = 0 = 0 siendo = 0 = Q = 0 3 E. I 3 M = 0 = (. (0 ). ( ) 5. ).. 0 Q R x R x R x x 7. R 9. R 731, 5 = 0 (3) resolviendo las ecuaciones (1), (), (3) y (4): 1) R = 5,95 kn., R = 3,475 kn, R = 0,6 kn., M = 13,1 kn.m

10 ) Diagramas de esfueros: 0 kn M =13,1 kn.m 1 m 4 m 3 m R =5,95 kn R =3,475 kn R =0,6 kn 0 0,6 - - x V y 0 5,95 9,4 13,1 - M 3,7 8,118 x 3) Giro sección : aislemos el tramo M = M ,5 3. R = 3, 7 kn. m ( sentido anti horario) F = 10.3 R = 9, 4 kn F =9,4 kn 0 kn 0.1 kn.m 4 m R =3,475 kn R =5,95 kn M =3,7 kn.m tagϑ ϑ = 0 x 4 M = (5,95 0). x 0 = 5,95. x 0 4 Q 4 (5,95. x 0).(4 x). M 0 = = = 8 8 E. I, , 04 m ( punto por debajo tan genteen )

11 tag en θ 4 m θ = /4 = 0,04/4 = 0,006 rad (sentido antihorario, ver figura) 4) Flecha en x = 3 m: aislamos el tramo y empleamos el método de la Ecuación Diferencial de la Elástica (Nota: x=3 m en la viga x= m en el tramo ) F =9,4 kn 0 kn 0.1 kn.m 4 m R =3,475 kn R =5,95 kn M =3,7 kn.m 0 x 4 M = (5,95 0). x 0 = 5,95. x 0 d y E. I. = M = 5,95. x 0 dy x E. I. = 5, x 1 3 x x E. I. y = 5, x 6 condiciones de contorno : x = 0 y = 0; x = 4 y = 0 resolviendo : = 4, = 0 3 x x 5, ,. x y = 6 y( x = ) = 0, 004 m = 0, 4 cm 8 8,

12 Nota: Si para calcular las reacciones se hubiese empleado el método de la viga isostática equivalente, hubiese sido: Viga isostática equivalente 0 kn R R R M 1 m 4 m 3 m on las condiciones de deformación: y = 0 (3) y = 0 (4) Desarrollando estas ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos y junto con las dos ecuaciones de equilibrio: (1) y (), se hubiese tenido un sistema de 4 ecuaciones con 4 ncógnitas, que al resolverlo se hubiese obtenido el mismo resultado para las reacciones en los apoyos: R, R, R y M

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