Teoremas energéticos fundamentales del análisis estructural. Aplicación a celosías planas

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1 Teoremas energéticos fundamentales del análisis estructural Aplicación a celosías planas

2 Índice Directos Densidad de energía Complementarios Densidad de energía complementaria Energía elástica (Función de D ) Variación de la energía elástica al variar las deformaciones D y D Energía elástica complementaria (Función de ) Variación de la energía elástica complementaria al variar las fuerzas exteriores e interiores rincipio del trabajo virtual rincipio del trabajo virtual complementario Teorema de Crotti-Engesser rimer teorema de Castigliano Segundo teorema de Castigliano Método de rigidez Segundo teorema de Engesser Método de flexibilidad 1

3 Introducción Celosía plana. Isostática (cualquier tipo) o hiperestática. Fuerzas sólo aplicadas en los nudos i Deformaciones en la dirección de las fuerzas D i 3 D 3 D i 1 D 1 Fuerzas interiores en las barras j En equilibrio con las exteriores i i j

4 Resumen del comportamiento de la barra articulada Esfuerzo interior: fuerza axial Tensión axial: A Deformación unitaria constante 3

5 Ecuación constitutiva Relación entre la tensión s y la deformación unitaria e Material elástico: a tensión depende sólo de la e en ese instante, no de su historia. roceso de carga y descarga por la misma línea (curva). Material siempre en un punto de la línea. s s e Material lineal. Ecuación constitutiva es una línea recta. E e 4

6 Material lineal con temperatura Deformaciones iniciales térmicas T s s=e(e-e ) Relación tensión deformación unitaria e s/e e E E T Deformación unitaria total: suma de deformación unitaria térmica at y la debida a la tensión s/e /E 5

7 Densidad de energía de deformación (I) Se define como: Existe si el material es elástico (lineal o no) Energía elástica por unidad de volumen Representa el trabajo (por unidad de volumen) efectuado por las tensiones (fuerzas interiores) al deformarse el sólido. Trabajo interno unitario () Con la condición de que sea función sólo del estado final de deformación unitaria (independiente del camino). Es decir (e) s d s d d d d e e 6

8 Densidad de energía de deformación (II) Material lineal, sin temperatura: s 1 1 d E d E e Material lineal, con temperatura s 1 d E ) d E E e C D e ABC OABD A B 7

9 Energía de deformación elástica (I) Energía total acumulada en el sólido: En una barra: 1 b E E Adx v v dv Sustituyendo 1 EA b EA dx Barra de propiedades uniformes: 1EA 1 EA k E A T b A 8

10 Energía de deformación elástica (II) Barra de propiedades uniformes: 1 k E A T b A C 1 k k b A A O l k A D D A B ABC OABD k A EA T 9

11 Energía de deformación elástica (III) En función del esfuerzo axial : 1 b E E Adx v Sustituyendo / E / EA b 1 EA EA C b E A O l B k A D D BDC OAB EA A Flexibilidad axial 1

12 Variación de la energía de deformación elástica Se aplica una variación virtual a los desplazamientos dd, manteniendo fijas las fuerzas (y por lo tanto las y s ) a dd produce una variación de las deformaciones unitarias de a energía sufre una variación s d d d ara una barra: dv A b v de e A a celosía: j j j j Válido también en no lineal j 1, b 11

13 Fórmula de Clapeyron Trabajo efectuado por las fuerzas exteriores en un sistema lineal. 1 W i i W D Conservación de la energía: Trabajo de las fuerzas = energía elástica acumulada W 1 i i oco útil. Si conocemos, podemos hallar una D. B. Clapeyron (amé, 185) 1

14 rincipio del Trabajo Virtual (1) Se aplica una variación virtual a las deformaciones dd Manteniendo las fuerzas ext. constantes: y s constantes 3 dd 3 D D 3 dd i i W d i i i i i i 1 D 1 dd 1 Trabajo virtual de todas las fuerzas exteriores: W i 1, n i i W dw D 13

15 rincipio del Trabajo Virtual () a dd produce una variación en el alargamiento de las barras dd Fuerzas exteriores constantes se mantiene constante el axial Trabajo Virtual efectuado por el esfuerzo en una barra : j j W d j j j j j j dd +D dw W D dd 14

16 rincipio del Trabajo Virtual (3) Trabajo Virtual de todos los esfuerzos interiores W j 1, b j j dd 3 D 3 3 D dd W dw D D 1 dd 1 1 dd Ambos trabajos son iguales (equilibrio): W W 15

17 rincipio del Trabajo Virtual (y 4) W i i j j Aj j jj i j j Sustituyendo A Variación de W i i j j i 1, n j 1, b s W dd dw D d de e Condición necesaria. También suficiente 16

18 rimer Teorema de Castigliano (1) Estructura elástica. Fuerzas y momentos puntuales. Deformaciones y giros en la dirección de las cargas D. 3 D 3 D D D D 1 Energía elástica en función de las deformaciones (D i ) rincipio del Trabajo Virtual: a variación de es: W i ( ) i 1, n i i 1, n i i i 17

19 rimer Teorema de Castigliano (y ) or lo tanto: W i i i i 1, n i 1, n i a variación de las D i es arbitraria: i 1, n i i 3 =Sk D A D / 3 D D b ka / ka 1 D 1 rimer Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del método de rigidez. Requiere conocer (D i ). Relacionar D con D

20 Densidad de energía de deformación complementaria (I) Se define como: ( ) Con la condición de que sea función sólo del estado final de tensiones (independiente del camino). Es decir (s) Existe si el material es elástico (lineal o no) Energía elástica complementaria por unidad de volumen Representa el trabajo complementario (por unidad de volumen) efectuado por las deformaciones al tensionarse el sólido. s d s e e 19

21 Densidad de energía de deformación complementaria (II) Material lineal, sin temperaturas: E s d 1 E d E e Material lineal, con temperatura E E s E E d d at e

22 Energía de deformación complementaria (I) Energía complementaria total acumulada en el sólido: dv En una barra v A b Adx Adx E EA A b dx Tdx EA 1

23 Energía de deformación complementaria (II) ropiedades uniformes: dx b EA T Flexibilidad axial Alargamiento inicial EA T l 1/r D

24 Variación de la energía de deformación complementaria Se aplica una variación virtual a las fuerzas d, manteniendo fijos los desplazamientos D (y por lo tanto las e ) a d produce una variación de los esfuerzos d y de las tensiones ds a energía complementaria sufre una variación: d d s ds d En una barra: dv Adx b at e b b A 3

25 ara toda la celosía (propiedades uniformes) Energía complementaria: j j j j j Tj j j j j j 1, b Ej Aj j 1, b j 1, b j 1, b Flexibilidad axial j j j EA j Alargamiento inicial j j T j j Variación de la energía complementaria: A j j j j j j 1, b j 1, b 4

26 rincipio del Trabajo Virtual Complementario () Definición previa: Trabajo complementario de una fuerza: 1 W d W D Trabajo complementario virtual de una fuerza: Se varía la fuerza d Deformación D constante W d dw d W D 5

27 rincipio del Trabajo Virtual Complementario (1) Se aplica una variación virtual de las fuerzas d. roduce d y ds Manteniendo las deformaciones D constantes: e constantes d 3 3 D 3 D d d dw W 1 D 1 D d 1 Trabajo virtual complementario de las fuerzas exteriores : W i 1, n i i 6

28 rincipio del Trabajo Virtual Complementario () a d produce una variación en el axial de las barras d Se mantienen constante la deformación y el alargamiento D Trabajo virtual comp. efectuado por el esfuerzo en una barra j j j j W d d j j j j j j j j j d +D d W dw D 7

29 rincipio del Trabajo Virtual Complementario (3) Trabajo virtual compl. de todos los esfuerzos interiores W j 1, b j j d 3 D 3 3 d dw +d D W D 1 D 1 d 1 Ambos trabajos virtuales son iguales (equilibrio) W W 8

30 rincipio del Trabajo Virtual Complementario (y 4) W W A i i j j j j j j i j j Sustituyendo A Variación de W A i i j j j j i 1, n j 1, b d W dw ds s d Condición necesaria. También suficiente D e 9

31 Segundo Teorema de Castigliano (1) Estructura elástica. Fuerzas y momentos puntuales. Deformaciones y giros en la dirección de las cargas D. 3 D 3 D D D1 1 1 D 1 Energía elástica complementaria en función de las fuerzas rincipio del Trabajo Virtual Compl.: a variación de es: ( ) i i 1, n i W i i i 1, n i 3

32 Segundo Teorema de Castigliano () or lo tanto: W i i i i 1, n i 1, n i a variación de las i es arbitraria, luego i i i 1, n T 3 D 3 D / b 1 D 1 = r/+l Teorema de Crotti (1888) - Engesser (1889) Fundamento de: método de flexibilidad y cálculo de D i Requiere conocer ( i ) Relacionar j con i 31

33 Segundo Teorema de Castigliano (or fin) Si no hay temperaturas i i i 1, n = r/ 3 D 3 D b / 1 D 1 Segundo Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del método de flexibilidad. ermite el cálculo de D i Requiere conocer ( i ) Relacionar j con i 3

34 º Teorema de Engesser (I) Celosía elástica. Se aplica variación de las cargas: Fuerzas exteriores : todas constantes Esfuerzos axiales : todos constantes salvo una de las barras (j) Esfuerzo j. Se aplica variación d j Dos fuerzas iguales y de sentido contrario. Cumple el equilibrio (!) Deformación: en la dirección del esfuerzo D A, perpendicular al esfuerzo D t. D t +d D A d j j j d j 33

35 º Teorema de Engesser (II) Trabajo virtual complementario. Sólo debido a la D A W ( ) ( ) j A j A D t. T. V. complementario: j D A j d j W d j Si somos capaces de expresar en función de la j (fácil) j j 34

36 º Teorema de Engesser (III) a d j es cualquiera: j j +d Segundo Teorema de F. Engesser Muy útil para establecer condiciones de compatibilidad de deformaciones Generalización: Válido con cualquier esfuerzo interior (Flector, Cortante) M Q M q M D t Q Q 35

37 Teorema de Ménabréa Si no hay temperaturas: j j +d Enunciado en 1858 para celosías hiperestáticas por. F. Ménabréa

38 Teorema del trabajo recíproco (Betty Rayleigh) Sistema A + Sistema B Sistema B + Sistema A, 1 1 W A B A B B A A B B A A, 1 1 W B A B A A B B A A B B Trabajos iguales: B A A A B B Sistema A D B A Sistema B D B B B A D A A D A B 37

39 Teorema de la deformación recíproca (Maxwell ) Sistemas A y B con fuerzas unidad B A A B Sistema A D B A Sistema B 1 1 D A B A D B A B 1 1 D A B 38

40 Resumen Teoremas directos Teoremas complementarios 1 1 Energía b ka k Energía compl. A b.t.v: 1º Castigliano W Método de rigidez i i.t.v compl.: Crotti - Engesser º Castigliano º Engesser W i i X X i i, M, Q 39 Método de flexibilidad

41 Expresiones de la energía elástica complementaria Axial : dx Tmdx EA b Flector M: M M dx TgMdx EI M T g T S T h I Cortante Q: Q Q dx GA' Q Torsor M T : T MT GJ dx 4

42 Teoremas energéticos fundamentales del análisis estructural Ejemplos

43 1. Estructura hiperestática. Método de flexibilidad (1) ABC rígida. Barras 1,,3 iguales. =5 m h=1 Equilibrio de la barra ABC: ecuaciones, 3 incógnitas 5 m 1 3 A B C 5 m 1 m =1 F Y 1 3 M A =1 Consideramos redundante Despejamos 1 y 3 en función de (Estática) 1

44 1. Estructura hiperestática. Método de flexibilidad () Ecuación de compatibilidad extra (º T. Engesser) 1 EA j EA EA EA EA 3 EA EA 3 Se elimina /EA Ecuación de compatibilidad extra 3 3

45 1. Estructura hiperestática. Método de flexibilidad (3) ecuaciones de la estática + la ecuación extra: 3 ecs. y 3 incógnitas (Estática) Sustituyendo se obtiene Resolviendo: / EA Alargamientos: j / EA j / EA 1.7 / EA 3

46 . órtico sencillo isostático. Energía M dx dx EA EI = x H H ( ) ( x) ( ) dx dx dx EA EI EI 3 H H EA 6EI EI H =- 1 3 H=4 cm =5 cm IE 3 A=53.8 I= Términos: 1. Compresión poste. Flexión viga 3. Flexión poste 4

47 . órtico sencillo isostático. Deformación vertical º Teorema de Castigliano Y Derivada es inmediata, pues () 3 H H EA 6EI EI Y 3 H H EA 3EI EI 1. Compresión poste. Flexión viga 3. Flexión poste q q D 1 D 3 =q D = 3 /3EI Comprobación. Trabajo de la fuerza exterior 3 1 H H W Y EA 6EI EI 5

48 3. órtico sencillo isostático. Deformación horizontal. lanteamiento = D X v =1 V=1 =- M v + V= v = + Caso real H Caso virtual unitario V V M M M V V M dx dx EA EI X V V 6

49 3. órtico sencillo isostático. Deformación horizontal. Desarrollo. = =- D X Caso real + M v H v = v =1 V=1 Caso virtual M M V M V V V M dx dx EA EI X M M dx dx V EA V EI V V V X V EA dx M EI V V V M dx X EA V dx M EI V M dx 7

50 3. órtico sencillo isostático. Deformación horizontal. Cálculo = x D X x v =1 V=1 M v =- Caso real v = Caso virtual unitario H X EA V dx M EI V M dx X () ( ) ( x) ( ) (1) dx () dx () dx ( x) dx EA EA EI EI H X H EI 8

51 4. órtico isostático. Fuerza horizontal. Deformación vertical M v x x = D Y v = = Caso real v =-1 V=1 Caso virtual unitario H Y EA V dx M EI V M dx Y () ( ) ( x) ( 1) dx () dx ( ) dx EA EA EI H Y H EI Igual a la D X si la fuerza es Y 9

52 órtico isostático. Fuerza - Deformación recíprocas D X D Y Fuerza vertical Deformación horizontal Fuerza horizontal Deformación vertical X Y Y X H EI o es casualidad. Consecuencia del Teorema de reciprocidad de deformaciones de Maxwell 1

53 5. Viga apoyada. Carga uniforme. Deformación en el centro M Momento flector: qx qx x q /8 D Caso V V x M x / x 1 /4 M V Y / 4 M V qx qx 1 x 5 q M dx dx EI EI 384 EI Tablas: Y 4 M 1 ( /)( /) 5q V q M dx EI EI EI 11

54 5. Viga apoyada. Carga uniforme. Energía M Momento flector: qx qx x D 5 M qx qx 1 q dx dx EI EI 4EI =5 m q=1 kg/cm IE 16 E= kg/cm I=869 cm 4 M max = 375 cm kg s max =345 kg/cm s E =36 kg/cm = 175 (cm-kg) = 18 (J) = 41 (cal) Atención: Flecha 5 cm (/1) muy alta 1

55 6. ieza curva. Energía. Deformación vertical D Y M R cos cos M Q sen Q R M ds ds EA EI R h q / / cos R cos Rd Rd EA EI R 3 R 8EA 8EI Deformación: Y R 3 R 4EA 4EI 13

56 6. ieza curva. Energía. Deformación horizontal D X Caso real 1 Caso V M V R M R cos cos V Q V V M ( R R sen ) q V sen Q sen Q V cos X EA V ds M EI V M ds X / / ( cos ) ( R cos ) sen Rd ( R R sen ) Rd EA EI 14 X R R EA EI 3

57 Aplicación a celosías planas de los teoremas energéticos del análisis estructural Ejemplos

58 1. Celosía simple isostática D A C B

59 1. Celosía simple isostática. Deformación (1) Barras misma área. Esfuerzos por el método de los nudos. D Energía acumulada: -/ -/ j j 3 EA 4 EA A / C / B Trabajo de la fuerza : W 1 CY Fórmula de Clapeyron: W 1 3 CY 4 EA CY 3 EA

60 1. Celosía simple isostática. Deformación () Barras misma área. Esfuerzos por el método de los nudos. D º Castigliano CY j j EA A -/ -/ / C / B CY EA j j j CY EA EA EA EA CY 3 EA 3

61 . Celosía simple isostática 1 A 4 m 3 m 3 m

62 . Celosía simple isostática. Esfuerzos Barras misma área. 1 Esfuerzos por equilibrio de A. A m =5 m 1 a a 3 m 3 m sen 1 cos 1 1 sen cos Energía acumulada: 1 EA EA 5

63 . Celosía simple isostática. Deformación (1) Deformación X de A. º Teorema de Castigliano AX A 1 D AX 1 AX 1 1 EA EA AX EA 6 EA 6 Sustituyendo AX 5 36 EA 6

64 . Celosía simple isostática. Deformación () Deformación Y de A. º Teorema de Castigliano AY 1 D AY 1 A 1 AY 1 1 EA EA 1 1 AX EA 8 EA 8 Sustituyendo AX EA 7

65 3. Celosía hiperestática Aplicación (intuitiva) del método de rigidez 3 m 3 m 3 1 a A 4 m

66 3. Celosía hiperestática (1: estudio de la deformación) Barras iguales. b=3 r=6 n=4 h=1 Deformación de la estructura: unto A se mueve en horizontal 1 EA j j 3 m 3 m 3 1 a A D X cosa 4 m A a a D X cos 4 / 5 1 X X D X cosa X cos 4 / 5 3 X X 9

67 3. Celosía hiperestática (: resolución) (4 / 5) EA ( ) EA (4 / 5) EA X X X 5(m) 4(m) 5(m) D 1 =4 D X / EA( ) X D =D X Teorema 1º de Castigliano: D 3 =4 D X /5 X 53 1 EA X Ecuación de equilibrio de la estructura en la dirección de D X Dada, hallamos la deformación X 5 53 EA 1

68 3. Celosía hiperestática (3: esfuerzos en las barras) Alargamientos de las barras / 5 X EA X 53 EA 4 4 / 5 X 53 EA D =D X D 1 =4 D X /5 D 3 =4 D X /5 Esfuerzos en las barras 11 j EA j j

69 4. Celosía hiperestática Aplicación (intuitiva) del método de flexibilidad 3 m 3 m 3 1 a A 4 m

70 4. Celosía hiperestática. Método de flexibilidad (1) Barras iguales. b=3 r=6 n=4 h=1 Equilibrio del nudo A: ecuaciones, 3 incógnitas 1 a 1 3 m 3 m 3 1 a A 1 3 cos sen 1 3 sen cos 4 m Consideramos redundante Despejamos 1 y 3 en función de (1) 13

71 4. Celosía hiperestática. Método de flexibilidad () Ecuación de compatibilidad extra (º Engesser) 1 EA j j 1 a A EA EA EA EA 8 EA EA EA 8 EA EA Se simplifica EA Ecuación de compatibilidad extra

72 4. Celosía hiperestática. Método de flexibilidad (3) ecuaciones de la estática (1) y la ecuación extra: 3 ecs. y 3 incógnitas (1) Sustituyendo sale Resolviendo:

73 4. Celosía hiperestática. Método de flexibilidad (4) Deformación vertical (º Castigliano) 1 EA j j 1 a A EA EA EA EA 6 EA EA ( m) 5 ( ) EA EA (m) 16