Métodos energéticos de cálculo de estructuras planas: el Principio de Conservación de la Energía

Transcripción

1 Métodos energéticos de cálculo de estructuras planas: el rincipio de Conservación de la Energía Apellidos, nombre asset Salom, Luisa Departamento Centro Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Arquitectura Universitat olitècnica de València

2 Resumen de las ideas clave Uno de los métodos energéticos aplicables a estructuras planas es el rincipio de Conservación de la Energía, CE. En este artículo, tras explicar los conceptos de trabajo y energía de deormación y establecer las hipótesis de partida, se ormulará la expresión de este principio, aplicándolo mediante un ejemplo práctico. Introducción El rincipio de Conservación de la Energía es aplicable, entre otros, al campo de las estructuras. Aunque proporciona una única ecuación de balance energético, es uno de los métodos energéticos que permite la obtención de reacciones en estructuras resueltas cinemáticamente o de movimientos concretos en una estructura resuelta estáticamente, siendo ésta última su aplicación más habitual. Si hay una uerza puntual actuando en ese punto y en la dirección del movimiento, y esa uerza es la única que genera un trabajo exterior, en la ecuación de balance habrá una única incógnita que será el movimiento buscado. Las uerzas exteriores que actúan sobre una estructura generan dierentes tipos de trabajos modiicando la energía del sistema. Estas magnitudes se relacionan mediante la ecuación de balance energético del rincipio de Conservación de la Energía, interviniendo el trabajo elástico (We) y la energía de deormación (U) o bien el trabajo complementario (W) y la energía de deormación complementaria (U). Se explicarán estas magnitudes y sus expresiones, calculando su valor a partir de un ejemplo práctico. 3 Objetivos EL alumno, tras la lectura de este documento, será capaz de: Distinguir entre trabajo de las uerzas exteriores, trabajo elástico y trabajo complementario y obtener sus expresiones en el caso de una estructura plana con comportamiento elástico y lineal Obtener la expresión de la energía de deormación y de la energía de deormación complementaria en el caso de una estructura plana con comportamiento elástico y lineal Determinar si es aplicable el CE para la obtención del movimiento deseado y, si no lo es, simpliicar la estructura para que lo sea. Obtener el movimiento mediante el CE 4 El rincipio de Conservación de la Energía 4. Concepto elemental de trabajo y energía Trabajo y energía son conceptos relacionados entre sí: las uerzas del sistema producen trabajo y el sistema posee energía, de modo que el trabajo se desarrolla a expensas de una modiicación de la energía. Ambas magnitudes

3 dependen del tipo de uerzas (externas, internas, ), de la orma de actuación de las uerzas (instantánea, estática, ) y de las características del sólido sobre el que actúen (rígido, deormable). Se puede deinir el trabajo como la acción de producir un cambio de coniguración del sistema bajo la actuación de una o más uerzas, por tanto, producen trabajo los campos de uerzas sobre los campos de desplazamiento en su dirección. Desde el punto de vista estructural podemos considerar tres tipos de trabajo: Trabajo de las uerzas exteriores (Wext), Trabajo elástico (We) y Trabajo complementario (W) Se puede deinir la energía como la capacidad que tiene un sistema de producir un trabajo, es decir, de cambiar su coniguración. No es, por tanto, un concepto absoluto sino relativo entre dos estados. Las ormas de energía presentes en el ámbito de las estructuras son la energía potencial, energía cinética, energía elástica o de deormación, energía de disipación por rozamiento o ricción. 4. Trabajo total de las uerzas exteriores (Wext), Trabajo elástico (We) y Trabajo complementario (W) El trabajo total de las uerzas exteriores (Wext) se produce cuando una uerza se desplaza con las siguientes condiciones: uesta en carga súbita o instantánea Fuerzas y desplazamientos con su valor inal (total) En el caso de una barra en voladizo sobre la que actúa una uerza axial (igura ) el trabajo será: Wext : Desplazamiento (valor inal o total), variable independiente : uerza axial (valor inal o total), variable dependiente W ext Figura. Trabajo de las uerzas exteriores. Carga axial. Representación gráica El Trabajo elástico (We) y el trabajo complementario (W) se producen con las siguientes condiciones uesta en carga lenta o estática La uerza y los desplazamientos aumentan lentamente de a su valor inal Debe conocerse la relación entre uerzas y desplazamientos y viceversa En el trabajo elástico (We), la variable independiente es el desplazamiento () y la variable dependiente es la uerza (), mientras que en el caso del trabajo complementario (W), la variable independiente es la uerza () y la variable dependiente el desplazamiento ().

4 ara el ejemplo anterior, las expresiones de ambos trabajos, representados gráicamente en la igura, son las siguientes: Comportamiento elástico pero NO LINEAL: W ( )d W ()d e Comportamiento elástico y LINEAL: e W ( )d k d k W ()d d k k W = () = () W =/k =k W e NO LINEAL We+W=Wext We+W=Wext We=W Figura. Trabajo elástico y complementario. Representación gráica Cuando actúan varias uerzas el trabajo total de las uerzas exteriores, el trabajo elástico y el trabajo complementario serán la suma del trabajo realizado por cada una de ellas. Veamos un ejemplo: Ejemplo (igura 3) Trabajo de las uerzas exteriores: L L ext ext extq extm A x y LINEAL W W W W dx ( q ) u (x) dx ( q ) v (x) dx M (qx, qy son negativos por su sentido respecto a los ejes locales de la barra ) Trabajo elástico (comportamiento elástico y lineal): L L W W W W dx ( q ) u (x) dx ( q ) v (x) dx M Trabajo complementario (comportamiento elástico y lineal): L L W W Wq W M dx A ( q x ) u (x) dx ( q y ) v (x) dx M e e eq em A x y W e qy q qx A M A dxa dya dx dy 3 u(x), u (x) A v(x), v (x) 3 RxC RMC C RyC RxD D RyD Y + X u(x), u (x) v(x), v (x) C dxc, dyc, C= D D dxd, dyd = u3(x), u3 (x) v3(x), v3 (x) Figura 3. Ejemplo: uerzas exteriores y desplazamientos.

5 4.3 Energía de deormación (U) y energía de deormación complementaria (U) A medida que la estructura se deorma, con una puesta en carga lenta o estática y suponiendo un comportamiento elástico (lineal o no lineal) las uerzas internas producen un trabajo llamado trabajo interno, que es siempre negativo. La energía de deormación (U) o energía potencial interna es la capacidad que tienen las uerzas internas de producir ese trabajo, en virtud del estado deormado de la estructura. Es, por tanto, la energía elástica que se acumula a medida que ésta se deorma. Es siempre positiva. Su magnitud complementaria es la energía de deormación complementaria (U) Si en la energía de deormación la variable independiente son deormaciones y la variable dependiente las tensiones (=()), en la energía de deormación complementaria (U), la variable independiente son las tensiones y la variable dependiente las deormaciones ( =()). La expresión general es: U U dv ( )d dv V V (U: densidad de energía de deormación) (U: densidad de energía de deormación complementaria) V V U U dv ( )d dv En la igura 4 se puede ver la representación gráica de la densidad de energía de deormación en el caso de la barra con carga axial de la igura. x U x ( ) d U NO LINEAL = () = () U U x ( ) d x LINEAL x U Ed x x U E x d xx Figura 4. Densidad de energía de deormación normal y complementaria. Carga axial. Representación gráica x U U = /k =k x U=U La energía de deormación de una estructura de barras es la suma de la energía de deormación de cada barra. Retomemos el ejemplo (igura 3) del que hemos calculado la expresión del trabajo. La expresión de la energía de deormación y de la energía de deormación complementaria, suponiendo un comportamiento elástico y lineal y despreciando la deormación por cortante, será la siguiente: Energía de deormación: U U U U U U U U U U 3 axil lector axil lector axil3 lector3 AXIL: x=u (x) L L Uaxil U dv E x d dv E x dv E u'(x) da dx E A u'(x) dx V V V A

6 FLECTOR: x=y v (x) L L Ulector U dv Ex d dv Ex dv Ey v''(x) da dx EI v''(x) dx V V V A Energía de deormación complementaria: U U U U U U U U U U 3 axil lector axil lector axil3 lector3 AXIL: x=n(x)/a L N(x) L N(x) V V V A x x Uaxil U dv d dv dv da dx dx E E EA EA FLECTOR: x=[m(x)y]/i L L x x M(x) M(x) V V V A Ulector U dv d dv dv y da dx dx E E EI EI 4.4 El rincipio de Conservación de la Energía (CE) artiendo de una puesta en carga lenta, en un proceso isotérmico y adiabático, la ecuación de balance energético del CE es la siguiente: We = U, o bien, desde el punto de vista complementario, W = U Si el comportamiento, además de elástico, es lineal, como: W = We y U = U, entonces: W = We = Wext/ = U = U uede utilizarse para la obtención de una uerza incógnita en la dirección y punto de aplicación de un movimiento conocido (We=U) o bien para la obtención de un movimiento incógnita en la dirección y punto de aplicación de una uerza conocida (W=U). Al disponer de una única ecuación de balance energético, sólo puede haber una incógnita y ésta debe estar en la ecuación. Además, la estructura debe estar resuelta cinemáticamente (We=U) o estáticamente (W=U). Aplicaremos el CE al cálculo de la lecha en el punto de aplicación de la carga en la estructura de la igura 5. Datos: EA=546 kn, EA=4538 kn, EI=8 knm 3 m A 4 kn C D 4m 6 m Figura 5. Ejemplo de aplicación del CE.

7 Empezaremos resolviendo estáticamente la estructura. Reacciones: RxA=-6 kn RyA= kn Rx=6 kn Ry= kn Leyes de esuerzos: N= N=6 MCD(x)=x MD(x)=36-x Si aplicamos el CE tendremos la siguiente ecuación de balance energético: W = U siendo: W ( 4) dy D 3x 336 x U dx dx EA EA EI EI 4 dyd.543 W U dyd.6 m 5 Cierre A lo largo de este tema se han explicado los conceptos de trabajo y energía. Asimismo, se ha explicado la dierencia entre trabajo de las uerzas exteriores, trabajo elástico y trabajo complementario obteniendo sus expresiones mediante un ejemplo. Ese mismo ejemplo se ha utilizado para expresar la energía de deormación y la energía de deormación complementaria. Finalmente, se ha ormulado el principio de conservación de la energía obteniendo el valor de la lecha en el punto de aplicación de una uerza puntual. Como ejercicio de aplicación se propone calcular el valor del giro en el nudo de la estructura de la igura 6. A 6 kn knm 6 m Figura 6. Ejercicio propuesto. Datos: EI=477 knm. 3 (Resultado: 9.7 rad )

8 6 ibliograía 6. Libros: [] Abdilla E. Fundamentos energéticos de la Teoría de Estructuras. Segunda parte-aplicaciones. Volumen. Editorial UV, re.: 3.78, 3 [] asset, L.; Apuntes de clase. [3] Gere J.M., Timoshenko S.. Mecánica de Materiales Grupo editorial Iberoamérica Figuras: Autora de las iguras: Luisa asset Figura. Trabajo de las uerzas exteriores. Carga axial. Representación gráica Figura. Trabajo elástico y complementario. Representación gráica Figura 3. Ejemplo: uerzas exteriores y desplazamientos. Figura 4. Densidad de energía de deormación normal y complementaria. Carga axial. Representación gráica Figura 5. Ejemplo de aplicación del CE. Figura 6. Ejercicio propuesto.