El Principio de las Fuerzas Virtuales: ejemplo de aplicación

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1 El Principio de las Fuerzas Virtuales: ejemplo de aplicación pellidos, nombre asset Salom, Luisa Departamento entro Mecánica de Medios ontinuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de rquitectura Universitat Politècnica de València

2 Resumen de las ideas clave Las estructuras hiperestáticas pueden resolverse mediante diferentes métodos de cálculo entre los que se encuentra el Principio de las Fuerzas Virtuales. Este artículo docente propone un ejemplo práctico como medio para eplicar el procedimiento a seguir. Introducción Las estructuras de edificación son hiperestáticas e hipercinemáticas y para resolverlas debe determinarse por una parte, el valor de las reacciones en los apoyos y de los esfuerzos en las barras (resolución estática) y, por otra parte, el valor de los movimientos en los nudos y en los etremos de las barras así como las leyes o funciones de desplazamientos (resolución cinemática). Las incógnitas estáticas y las cinemáticas están relacionadas mediante las leyes de comportamiento, por lo que, puede elegirse qué incógnitas se determinarán en primer lugar, es decir, si se empieza por la resolución estática o cinemática. Uno de los métodos utilizados para la resolución estática es el Principio de las Fuerzas Virtuales. Mediante este método se plantean unos estados virtuales de fuerzas que conducen, cada uno de ellos, a una ecuación de balance energético en la que se iguala el trabajo virtual complementario generado por las fuerzas virtuales aplicadas con la energía de deformación virtual complementaria almacenada. Estos estados virtuales se generan aplicando sobre la estructura real hiperestática un conjunto de fuerzas virtuales en equilibrio que, al desplazarse, produce un trabajo virtual eterno e interno. Las ecuaciones de balance son ecuaciones de compatibilidad y sus incógnitas son las fuerzas redundantes (incógnitas estáticas principales). El número de estados virtuales y, por tanto, de ecuaciones deberá coincidir con el grado de indeterminación estática de la estructura (número de fuerzas redundantes de la estructura). Obtenidas las fuerzas redundantes, el resto de incógnitas estáticas se obtiene, a partir de ellas, mediante las ecuaciones de equilibrio. 3 Objetivos El objetivo de este documento es que, tras su lectura, el alumno sea capaz de: partir del grado de hiperestaticidad de la estructura y de la posterior selección de las incógnitas estáticas principales, plantear adecuadamente los estados virtuales de fuerza Obtener el valor del trabajo virtual complementario y de la energía de deformación virtual complementaria correspondiente a cada estado virtual y plantear las ecuaciones de balance energético correspondientes. Obtener el valor de las incógnitas estáticas principales (fuerzas redundantes), resolviendo estáticamente la estructura completa a partir de ellas.

3 4 Ejemplo de aplicación del Principio de las Fuerzas Virtuales 4. Datos de la estructura La estructura que se propone como ejemplo (figura ) está formada por dos elementos inclinados empotrados en y respectivamente. La barra 3, prolongación de la barra está en voladizo, por lo que podrá sustituirse, para simplificar el cálculo, por una fuerza y un momento sobre el etremo de la barra. La barra, por su parte está articulada en. Se trata de una estructura con comportamiento elástico y lineal, en la que se considera despreciable la energía de deformación por cortante. Datos de las barras: HE 8: = 65.3 cm I = 383 cm 4 E = N/mm D kn/m 3 3 m 4 m m m Figura. Esquema de la estructura El grado de indeterminación estática o grado de hiperestaticidad es, ya que tiene 6 reacciones eternas y desconeión interna (que proporciona una ecuación de equilibrio adicional a las 3 de equilibrio global de la estructura), por lo que el balance entre incógnitas y ecuaciones es. El número de fuerzas redundantes es y, por tanto, habrá que plantear dos estados de fuerzas virtuales para determinar su valor. 4. Esquema del proceso de cálculo El proceso de cálculo es el siguiente: Seleccionar las fuerzas redundantes. Plantear el equilibrio en la estructura real, obteniendo reacciones y leyes de esfuerzos en función de las redundantes. Plantear el equilibrio en los dos estados virtuales de fuerzas, obteniendo reacciones y leyes de esfuerzos.

4 Plantear las ecuaciones de balance energético de cada estado virtual y obtener las redundantes mediante la resolución del sistema de ecuaciones Obtener todas las incógnitas estáticas y las leyes de esfuerzos a partir de las redundantes. 4.3 Selección de redundante(s) Las fuerzas redundantes deben ser independientes entre sí, siendo válidas tanto fuerzas incógnitas eternas como internas. Se eligen RX y Ry. Se te ocurren otras posibilidades? Por ejemplo, podría haberse elegido RX y RM o bien RM y RM, etc. Te invito a que resuelvas el problema seleccionando otra pareja de fuerzas redundantes y a comprobar que obtienes el mismo resultado. 4.4 Planteamiento del equilibrio en la estructura real Equilibramos la estructura real haciendo uso de las 3 ecuaciones de equilibrio global y de la ecuación de equilibrio de momentos aislando la barra. Para simplificar el cálculo se ha sustituido el voladizo tal y como se ha comentado en el apartado 4.. F= R + RX = R + RX = -9 () Fy= Ry + Ry = Ry + Ry = () M= RM + RM + 8 Ry = RM + RM + 8 Ry = 56.5 (3) islando la barra : Mi= RM + 3 R + 4 Ry = (4) Epresamos todas las incógnitas estáticas así como las leyes de esfuerzos en función de las redundantes seleccionadas (figura ). R = -9 - R (5) Ry = - Ry (6) RM = - 3 R + 4 Ry (7) RM = 3 R + 4 Ry (8) 5 kn 6.5 knm kn/m N N M() M() R Ry RM= -3R+4 Ry-87.5 Ry= -Ry R= -9-R RM=3R+4Ry- Figura. Esquema del equilibrio en la estructura real

5 Leyes de esfuerzos arra : N = -.8 R -.6 Ry (9) M() = (.8-4) Ry + (3 -.6 ) R () arra : N = R +.6 Ry () M() = Ry +.6 R () 4.5 Planteamiento del estado virtual En el estado virtual aplicaremos una fuerza virtual de valor unidad en el apoyo, en la dirección de la redundante R (figura 3). Para tener una configuración estática admisible, anularemos las redundantes virtuales coincidentes con las redundantes reales, es decir, R (= ) y Ry (= ). Equilibramos el estado virtual y obtenemos las leyes de esfuerzos. N N M() P = R= RM= -3 M() Ry= Ry= R= - RM= 3 Figura 3. Esquema del equilibrio en la estructura virtual Equilibrio en el estado virtual F= R = - Fy= Ry = M= RM + RM = RM = - RM islando la barra : Mi= RM = 3 RM = - 3 Leyes de esfuerzos en el estado virtual arra : N = -.8 (3) M() = 3-.6 (4) arra : N = -.8 (5) M() =.6 (6) 4.6 Planteamiento del estado virtual En el estado virtual aplicaremos una fuerza virtual de valor unidad en el apoyo, en la dirección de la redundante Ry (figura 4). Para tener una configuración estática admisible, anularemos las redundantes virtuales coincidentes con las redundantes reales, es decir, R (= ) y Ry (= ). Equilibramos el estado virtual y obtenemos las leyes de esfuerzos.

6 N N M() RM= 4 R= M() Ry= P = Ry= - R= RM= 4 Figura 4. Esquema del equilibrio en la estructura virtual Equilibrio en el estado virtual F= R = Fy= Ry = - M= RM + RM +8 Ry = RM = - RM - 8 Ry islando la barra : Mi= RM = 4 RM = 4 Leyes de esfuerzos en el estado virtual arra : N = -.6 (7) M() =.8-4 (8) arra : N =.6 (9) M() =.8 () 4.7 Ecuaciones de balance energético en cada estado virtual y obtención de las fuerzas redundantes En cada estado virtual, las fuerzas virtuales eternas realizarán un trabajo virtual complementario (W) y las fuerzas internas un trabajo virtual complementario interno que epresaremos como energía de deformación virtual complementaria (U). La ecuación de balance energético del principio de las Fuerzas Virtuales se epresa como: W = U () ESTDO VIRTUL : - Trabajo virtual complementario: Es el trabajo producido por la fuerza virtual eterior horizontal (P=) y los desplazamientos reales de su punto de aplicación. Este trabajo es nulo ya que no hay desplazamiento horizontal en en la estructura real. W () - Energía de deformación virtual complementaria: Será la suma de la energía virtual complementaria por ail y por flector de las barras de la estructura.

7 U U a U U f a U f (.8R.6Ry) 373 ( 44.8R.6Ry) R N N L E (.8 4)Ry (3.6)R R.8 Ry L M() N M()d N L EI E 843 L (.6) d M () M ()d EI (3.6) d (3) Siendo: U a, la energía de deformación virtual complementaria por ail de la barra U f, la energía de deformación virtual complementaria por fleión de la barra, la energía de deformación virtual complementaria por ail de la barra U a U f, la energía de deformación virtual complementaria por fleión de la barra ESTDO VIRTUL : - Trabajo virtual complementario: Es el trabajo producido por la fuerza virtual eterior vertical (P=) y los desplazamientos reales de su punto de aplicación Este trabajo es nulo ya que no hay desplazamiento vertical en en la estructura real. W (4) - Energía de deformación virtual complementaria: Será la suma de la energía virtual complementaria por ail y por flector de las barras de la estructura. U U a U U f a U.6 5 5(.8 4)Ry (3.6)R 87.5 f (.8R.6Ry) 373 ( 44.8R.6Ry) Ry N N L E R.8 Ry L M() N M()d N L EI E 843 L (.8) d M () M ()d EI (.8 4) d (5) Ecuaciones de balance energético:w = U Estado : con las ecuaciones () y (3): R (6) Estado : con las ecuaciones (4) y (5): Ry (7) partir de las ecuaciones de balance energético se obtiene el valor de las redundantes. R = -.57 kn Ry = 53.6 kn

8 4.8 Obtención de las incógnitas estáticas a partir de la fuerza redundante Una vez calculado el valor de las fuerzas redundantes se sustituye en las ecuaciones (5), (6) y (7), (8), (9), (), () y () para obtener todas las incógnitas estáticas así como las leyes de esfuerzos Reacciones: (5) R = -9 - R R = kn (6) Ry = - Ry Ry = kn (7) RM = - 3 R + 4 Ry RM = 3.69 knm (8) RM = 3 R + 4 Ry RM = -.3 knm Leyes de esfuerzos: arra : (9) N = -.8 R -.6 Ry N= 3.96 () M() = (.8-4) Ry + (3 -.6 ) R M() = arra : () N = R +.6 Ry N = -.57 () M() = Ry +.6 R M() = -.46 El equilibrio final se representa en la figura 5. 5 kn 6.5 knm kn/m N N M() M() R = -.57 Ry = 53.6 RM= 3.69 Ry= R= RM=-.3 Figura 5. Equilibrio final de la estructura real

9 5 ierre En este documento hemos resuelto estáticamente una estructura hiperestática de grado mediante el Principio de las Fuerzas Virtuales. Se propone, como ejercicio de aplicación y autoevaluación, resolver estáticamente la estructura de la figura 6. 9 kn 3 m 4 m Figura 6. Estructura propuesta Datos de las barras: barra : mm barra : = 6.6 cm I = 77 cm 4 E = N/mm (Resultado: La estructura es hiperestática de grado por lo que habrá que plantear un único estado virtual de fuerzas. R -96 kn, Ry 8kN, RM -7 knm, R(en la dirección de la barra ) kn) 6 ibliografía 6. Libros: [] bdilla E. Fundamentos energéticos de la Teoría de Estructuras. Segunda parte-plicaciones. Volumen. Editorial UPV, ref.: 3.78, 3 [] asset, L.; puntes de clase. 6. Figuras: utora de las figuras: Luisa asset Figura. Esquema de la estructura. Figura. Esquema del equilibrio en la estructura real Figura 3. Esquema del equilibrio en la estructura virtual Figura 4. Esquema del equilibrio en la estructura virtual Figura 5. Equilibrio final en la estructura real Figura 6. Estructura propuesta