Teorema de la Mínima Energía Potencial Total

Transcripción

1 ESTABIIDAD III acultad de Ingeniería Introducción: Teorema de la ínima Energía Potencial Total El teorema de la mínima energía potencial total es otra poderosa herramienta que permite resolver una serie de problemas en forma simple. Energía de deformación: En un sólido de forma arbitraria, se define la energía de deformación por unidad de volumen como: d { f } { }' { d} Donde: τ τ τ { } { } γ γ γ Vector tensión Vector deformación Se particularia esta epresión para el caso de una barra prismática de eje recto. Se adopta una terna cartesiana ortogonal, tal que el eje coincide con el eje de la barra, los ejes, con los ejes principales de inercia de la sección transversal. Por las hipótesis habituales en la teoría de barras resulta: γ γ E. τ (Hipótesis de Bernoulli-Navier) De la le de Hooke: d f. d E. De donde:..- Teorema de la ínima Energía Potencial Total - -

2 ESTABIIDAD III acultad de Ingeniería d E d E. E O sea: E Vol E dd De la teoría de barras: N + E N dd N N N d d + d d + d d + N d d E E E E E E N d d d d d d d d S d S (Por ser ejes baricéntricos) d (Por ser ejes principales de inercia) E E N d + d + E d Recordando que: du d w N E E d d d v d E Se puede escribir una epresión alternativa de la energía de deformación: E du E d w E d v d d + d + d d d..- Teorema de la ínima Energía Potencial Total - -

3 ESTABIIDAD III acultad de Ingeniería Donde u, v, w son las componentes del vector desplaamiento del baricentro de la sección transversal de la barra según los ejes,, respectivamente. Energía potencial de las cargas eteriores: Si se considera una carga concentrada P cuo punto de aplicación está ubicado a una distancia h de un plano arbitrario, el trabajo que potencialmente puede realiar esta carga hasta alcanar el plano es igual a P.h. P h - v h v ig. Si el punto de aplicación de la fuera P sufre un desplaamiento v, la capacidad potencial de realiar trabajo pasa a ser P.(h v), es decir, ha una disminución P.v de la energía potencial de la carga. Si se hace coincidir el plano arbitrario de referencia con la posición original del punto de aplicación de la carga, la disminución de energía potencial coincide con la energía potencial en la configuración deformada: T P. v Generaliando para un sólido de forma arbitraria con cargas pares concentrados, distribuidas por unidad de longitud, de superficie de volumen, resulta: V { P} '.{ u} { }'.{ } { q} '.{ u} d { p} '.{ u} d { X }'.{ u} S Vol P { P} P P Vector cargas concentradas { } Vector pares..- Teorema de la ínima Energía Potencial Total - 3 -

4 q { q} q q Vector carga distribuida por unidad de longitud ESTABIIDAD III acultad de Ingeniería p { p} p p Vector carga distribuida por unidad de superficie X { X } Y Z Vector carga distribuida por unidad de volumen u { u} v w Vector desplaamiento { } Vector rotación En el caso particular de la barra, considerando sólo las acciones concentradas distribuidas por unidad de longitud: V P. u P. v P. w.. q. ud q. vd q. wd. Energía potencial total: Se define la energía potencial total de un sistema formado por una estructura un conjunto de cargas como la suma de la energía de deformación de la estructura más la energía potencial de las cargas: T + V A cada configuración deformada de la estructura le corresponde un cierto nivel de energía potencial total. Teorema de la mínima energía potencial total:..- Teorema de la ínima Energía Potencial Total - 4 -

5 ESTABIIDAD III acultad de Ingeniería En las configuraciones de equilibrio la energía potencial total del sistema para por un etremo, correspondiendo valores mínimos a las configuraciones de equilibrio estable máimos a las configuraciones de equilibrio inestable. Ejemplo: Ver archivo TP Ing. osé T. Rusell Septiembre 5..- Teorema de la ínima Energía Potencial Total - 5 -