5º Tema.- Ampliación de análisis cinemático de mecanismos planos mediante métodos analíticos.

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1 Universidad de Huelva ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR Departamento de Ingeniería Minera, Mecánica y Energética Asignatura: Ingeniería de Máquinas [ ] 5º curso de Ingenieros Industriales 5º Tema.- Ampliación de análisis cinemático de mecanismos planos mediante métodos analíticos. Huelva, Dic Profesor: Rafael Sánchez Sánchez 0

2 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA. 2. FUERZAS QUE SOPORTA UNA MÁQUINA. 3. FUERZA DE INERCIA, PAR DE TORSIÓN DE INERCIA. 4. DETERMINACIÓN DE FUERZAS EN UN MECANISMO. 5. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE FUERZAS EN MECANISMOS PLANOS DE ESLABONES ARTICULADOS Análisis mediante el principio de superposición Análisis mediante el método matricial. 1

3 1. Introducción a la dinámica. Al diseñar las piezas de una máquina o de un mecanismo, debemos tener en cuenta su resistencia para soportar las fuerzas o pares de torsión, que van a actuar sobre los eslabones individuales que lo componen. Por tanto cada componente de una máquina, por pequeño que sea, debe analizarse cuidadosamente, con respecto a su papel en la transmisión de esfuerzos. Imaginemos un mecanismo de cuatro barras, que estará compuesto por cuatro eslabones, y por cuatro pares o articulaciones (ya sean pernos o rodamientos). Deberemos analizar todos ellos desde el punto de vista de su resistencia, poniendo especial cuidado en estos últimos, ya que frecuentemente son los elementos más críticos en las máquinas, debido a que sufren una fuerte concentración de esfuerzos. 2. Fuerzas que soporta una máquina. Las fuerzas que actúan sobre una máquina o mecanismo, pueden ser debidas a diversos motivos: el propio peso de los eslabones (fuerzas de gravedad), cargas externas, cargas disipativas (fuerzas de rozamiento), las aceleraciones sufridas por los eslabones (fuerzas de inercia), etc. Sin embargo normalmente consideraremos, que el peso de los eslabones es despreciable frente a las restantes fuerzas, durante el análisis dinámico. Además si el mecanismo está bien lubricado, vamos a poder considerar despreciables las fuerzas de rozamiento, y a pesar de ello obtener resultados suficientemente precisos, pero que simplifica enormemente la resolución del problema. Por tanto para abordar el estudio dinámico de los mecanismos planos, tendremos en consideración únicamente las cargas externas y las fuerzas de inercia. 2

4 3. Fuerza de inercia, y par de torsión de inercia. De mecánica, sabemos que las ecuaciones de movimiento plano que se aplican a un cuerpo rígido, como es un eslabón de nuestro mecanismo, vienen dadas por las expresiones: Donde: F = M A g [1] T = I α [2] _ F : es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. M : es la masa del cuerpo. _ A g : es la aceleración del centro de masas del cuerpo. _ T : es la suma vectorial de todos los momentos o pares que actúan sobre un eje que pasa por el centro de masas. I : es el momento de inercia del cuerpo alrededor del anterior eje. _ α : es la aceleración angular del cuerpo en el plano del movimiento. En las ecuaciones [1] y [2] los términos de la derecha, es decir: M A g y I α, representan a las fuerzas de inercia. Generalmente este término será conocido, una vez que a través del análisis cinemático hayamos calculado la aceleración lineal y/o angular de nuestro eslabón. Si estos términos, de las fuerzas de inercia, los englobamos con el resto de las fuerzas [1] y [2] las podemos expresar como: 3

5 _ F T = 0 [3] _ T T = 0 [4] De esta manera, los problemas cinéticos que afectan a mecanismos articulados de cuerpos rígidos en movimiento plano, los podemos reducir a un problema de equilibrio estático. 4. Determinación de fuerzas en un mecanismo. En el análisis de fuerzas de un mecanismo completo, se debe analizar individualmente cada eslabón como si fuese un cuerpo libre, mediante el diagrama de fuerzas que actúan sobre él. Para determinar las direcciones de las fuerzas, debemos recordar las leyes de la estática. En nuestro caso, vamos a recordar estas leyes particularizadas a los eslabones del mecanismo: 1. Si sobre un eslabón actúan dos fuerzas, y éste está en equilibrio estático, las dos fuerzas deben ser colineales e iguales en magnitud, pero de sentido opuesto. Si solo se conocen los puntos de aplicación A y B, las direcciones se pueden determinar a partir de la línea que une A con B. 2. Si sobre un eslabón, actúan tres fuerzas, y éste está en equilibrio estático, las líneas de acción de las tres fuerzas deben concurrir en un punto K. Por tanto si se 4

6 conocen las líneas de acción de dos de las fuerzas, la de la tercera debe pasar por su punto de aplicación y por el punto de concurrencia K. 3. Un eslabón sometido a un par está en equilibrio estático, únicamente si actúa sobre él otro par coplanar con el primero, de igual magnitud, y de sentido inverso. En el análisis estático, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre cada eslabón debe ser igual a cero, para que haya equilibrio. Esto también debe cumplirse para el análisis dinámico, cuando hay fuerzas de inercia. En ambos casos las ecuaciones pueden resolverse grafica y analíticamente, para calcular las fuerzas que nos son desconocidas. La utilización de uno u otro método dependerá de: 5

7 Así utilizaremos: Del tipo de mecanismo. Del número de posiciones a analizar. 1. Métodos gráficos en: Mecanismos de eslabones articulados, cuando estudiemos solamente una sola posición. 2. Métodos an alíticos en: Mecanismos simples, como levas, engranajes, y en mecanismos de eslabones articulados cuando debamos estudiar varias posiciones, o un ciclo completo, sobre todo si contamos con ayuda informática. 5. Métodos de análisis de fuerzas en mecanismos planos de eslabones articulados. Los estudios en los que nos basaremos para realizar el análisis de las fuerzas que actúan sobre un mecanismo, son: El principio de superposición. El análisis matricial. El primero lo aplicaremos en la solución gráfica o mediante cálculos manuales sencillos, y la segunda se adapta mejor cuando realicemos los cálculos utilizando el ordenador Análisis mediante el principio de superposición. El principio de superposición establece que el efecto resultante de varias fuerzas sobre un cuerpo, es equivalente a la suma de los efectos parciales, sobre el mismo, de cada una de ellas. Por tanto, en un mecanismo de n eslabones articulados haremos un análisis separado de cada uno de los n eslabones, considerando las fuerzas de inercia y exteriores que actúan sobre cada uno de ellos, así como los pares de torsión. Posteriormente los resultados de esos análisis los sumaremos para determinar las fuerzas y pares de torsión totales sobre el mecanismo completo. 6

8 Por tratarse de una sola posición de un mecanismo, utilizaremos el análisis gráfico. Supongamos el típico mecanismo de cuatro barras, tal como se representa en la figura: En el cual conocemos las fuerzas que actúan sobre el mismo (como podría ser el peso del portón de un coche, la carga a trasportar, la fuerza máxima del viento, las fuerzas de inercia sobre cada eslabón, etc.) y que denominamos P 2, P 3, y P 4. Y por consiguiente, para diseñar estructuralmente el mismo necesitamos conocer las reacciones en los cuatro pares o articulaciones. Así mismo deberemos calcular el par motor que debemos aplicar al eslabón 2 (por ejemplo) para que el mecanismo permanezca equilibrado. Para hacer el cálculo de manera gráfica, y posteriormente aplicarle el método de superposición, debemos considerar el mecanismo en su estado definitivo como suma de los siguientes tres estados que denominaremos ( ), ( ), ( ): 7

9 Empezaremos analizando el estado ( ), y dentro de este estado, el eslabón 3, el cual está sometido únicamente a los esfuerzos F 43 y F 23 que le ejercen los eslabones 4 y 2 respectivamente _ Y puesto que se debe cumplir en el eslabón F 3 = 0, deducimos que F 43 y F 23 deben ser iguales y de sentido contrario, y siguiendo la dirección del eslabón, a fin de que también se cumpla que M 3 = 0. Si ahora analizamos el eslabón 4, sobre él, además de P 4 actúan las fuerzas F 14 (fuerza que ejerce el eslabón 1 sobre el 4) y F 34 (fuerza que ejerce el eslabón 3 sobre el 4). Para que el eslabón este en equilibrio, debe cumplirse que: P 4 + F 14 + F 34 = 0 Además, las tres fuerzas deben cortarse en un punto, para que se cumpla que M 4 = 0. De la primera ecuación vectorial conocemos P 4, la dirección de F 34, y con ello podemos determinar la dirección de F 14, ya que sabemos que ha de pasar por el punto de corte de las líneas de dirección de P 4 y de F 34 tal como se muestra en la figura adjunta, podemos con ello determinar la dirección de F 14, y con ella, realizar el siguiente polígono de fuerzas. 8

10 Con este polígono resolvemos la ecuación vectorial, y podemos obtener el valor de las reacciones F 14 y F 34, y por consiguiente la reacción F 32 que es igual y de sentido contrario a F 34, tal como vimos en la resolución del eslabón 3. A partir de aquí, analizaremos el eslabón 2, para lo cual, igual que hemos hecho con los eslabones 3 y 4, lo aislaremos de acuerdo con la siguiente figura: De su análisis, para que F 2 = 0 se debe cumplir que F 32 + F 12 = 0, es decir que F 12 es igual en módulo a F 32 tiene la misma dirección y sentido contrario. Por otro lado, para que M 2 = 0, se debe cumplir que: M 2 = F 32 h Quedando con ello resuelto el problema del estado que hemos denominado ( ). Igualmente resolveremos el estado ( ), en este caso empezaríamos analizando el eslabón 4, continuaríamos por el eslabón 3, y finalmente por el 2, para 9

11 obtener M 2. Posteriormente abordaremos el estado ( ) empezando su análisis por el eslabón 4, continuaremos con el 3, y finalizaremos con el 2 para calcular M 2 Una vez resueltos los tres estados, para resolver el estado definitivo, aplicaremos el método de superposición, teniendo en cuenta que: F 14 = F 14 + F 14 + F 14 F 12 = F 12 + F 12 + F 12 F 23 = F 23 + F 23 + F 23 F 34 = F 34 + F 34 + F 34 M 2 = M 2 + M 2 + M Análisis mediante el método matricial. Para plantear el método matricial, vamos a considerar el mecanismo de 4 barras articuladas como el de la siguiente figura En ella podemos ver que, como situación más genérica, los centros de masas g 2, g 3, g 4 de los eslabones, no están en las líneas rectas que unen los pares o articulaciones. Por otro lado, es evidente que igual que en el método de superposición, para poder tener en cuenta las fuerzas de 10

12 inercia, debemos previamente analizar cinemáticamente el mecanismo, a fin de obtener la aceleración lineal de los centros de masas de cada eslabón. Si analizamos cada eslabón de forma aislada: Las ecuaciones vectoriales del movimiento de cada eslabón las podemos poner como: F 32 F 21 = m 2 A g2 [1] r 22 x F 32 r 21 x F 21 + M 2 = I 2 α 2 [2] F 43 F 32 = m 3 A g3 [3] r 33 x F 43 r 32 x F 32 = I 3 α 3 [4] F 14 F 43 = m 4 A g4 [5] r 44 x F 14 r 43 x F 43 = I 4 α 4 [6] Desarrollando [1, 3 y 5] en sus componentes X e Y: 11

13 F 32x F 21x = m 2 A g2x F 32y F 21y = m 2 A g2y F 43x F 32x = m 3 A g3x F 43y F 32y = m 3 A g3y F 14x F 43x = m 4 A g4x F 14y F 43y = m 4 A g4 y Y ahora desarrollando los productos cruzados de los vectores en [2, 4 y 6], teniendo en cuenta que, r x F = r x F y r y F x : r 22 xf 32y r 22y F 32x r 21x F 21y + r 21y F 21x =I 2 α 2 M 2 r 33 xf 43y r 33y F 43x r 32x F 32y + r 32y F 32x =I 3 α 3 r 44 xf 14y r 44y F 14x r 43x F 43y + r 43y F 43x =I 4 α 4 Ecuaciones, que junto con las 6 anteriores, forman un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas: F 21x, F 21y, F 32x, F 32y, F 43x, F 43y, F 14x, F 14y, M 2 Las cuales podemos presentar en forma matricial: F 21x m 2 A g2x F 21y m 2 A g2y r 21y -r 21x -r 22y r 22x F 32x I 2 α F 32y m 3 A g3x F 43x = m 3 A g3y 0 0 r 32y -r 32x -r 33y r 33x F 43y I 3 α F 14x m 4 A g4x F 14y m 4 A g4y r 43y -r 43x -r 44y r 44x 0 M 2 I 4 α 4 Sistema de ecuaciones lineales que es fácilmente resoluble a través de programas informáticos o incluso calculadoras programables. De ahí que este método matricial este pensado para la resolución mediante ordenador, mientras que el método de superposición se utilizará cuando tengamos que resolver nuestro mecanismo mediante cálculo manual. 12