8 m. Se trata de una estructura simétrica con carga antisimétrica, por lo tanto, resolveremos sólo la parte antisimétrica.

Transcripción

1 . eterminar los esfuerzos en todas las barras de la celosía de la figura cuando en el punto hay una carga horizontal de 0kN eterminar además las componentes horizontal y vertical del desplazamiento de dicho punto. Las barras son de acero con una sección de cm. 8 m E 4 m 4 m F G Se trata de una estructura simétrica con carga antisimétrica, por lo tanto, resolveremos sólo la parte antisimétrica N Se trata de una celosía con un grado de hiperestaticidad. Se propone la siguiente estructura equivalente 5 kn X X X Para resolver la estructura solucionamos ésta con los siguientes sistemas de fuerzas.

2 5 kn Los esfuerzos en las distintas barras son 5 5 kn N N N on estos valores podemos plantear el PTV empleando como sistemas virtuales los denominados N y N y teniendo en cuenta que los esfuerzos reales en la estructura vendrán dados por: N real = N + X + N X N PTV sobre el sistema : 0 = ( N + X N + X N ) N barras E y sobre el sistema dos: L ( N + X N + X N ) X L L = N E barras E Los diversos sumatorios aparecen en la siguiente tabla arra f E N N N f N N f N N f N f N f N N sumas Que permite escribir el sistema de ecuaciones 5X + 908X = X X = 8944 de donde se obtiene X = 844.7N X = 69N eterminadas las incógnitas hiperestáticas, se pueden calcular los esfuerzos de las barras

3 465 N -465 N E 4.5 N -4.5 N F 69 N -69 N G Para determinar el desplazamiento (el vertical es cero por la condición de antisimetría) elegimos cualquier sistema isostático y se le aplica una carga unitaria horizontal. Se coge por ejemplo el elegido como isostático equivalente cuyos esfuerzos ya están resueltos. La aplicación del PTV nos permite escribir δ = = 0.06mm ada que estructura es antisimétrica el desplazamiento vertical es nulo.

4 . Tradicionalmente los elementos empleados para la resolución del problemas de estructuras sometidas a esfuerzo axil como es el caso de las celosías están definidos por dos nodos y por lo tanto emplean funciones de interpolación lineales. Sin embargo es posible emplear funciones de interpolación de mayor orden empleando elementos con más nodos en su interior tal y como aparece en la figura. -L/ x L/ Para este elemento de la figura, definido por tres nodos y trabajando a esfuerzo axil, se pide...- Número de funciones de interpolación, indicando las condiciones que deben cumplir éstas...- alcular el término K de la matriz del rigidez del elemento..- Indica alguna situación donde pueda ser útil el empleo de este tipo de elementos frente a los tradiciones de dos nodos El número de funciones de interpolación serán tres dado que tres son el número de nodos con un solo grado de libertad por nodo. Las condiciones de contorno a verificar por estas funciones son: ϕ ϕ ϕ ( L / ) = ϕ( 0) = 0 ϕ( L / ) = 0 ( L / ) = 0 ϕ( 0) = ϕ( L / ) = 0 ( L / ) = 0 ϕ ( 0) = 0 ϕ ( L / ) = ado que necesitamos calcular el término k es necesario identificar la primera función de interpolación. Planteando un polinomio de segundo grado (tenemos tres condiciones) ϕ y obligándole a cumplir las condiciones de contorno anteriores: = a 0 + ax + ax a 0 = 0 a = a = L Es decir L ϕ = x x L + L ado que este elemento trabaja sólo a axil, el término k de la matriz de rigidez vendrá dado por L ' ' k = ϕeϕ dx = 0 7E L 4

5 . En la estructura de la figura trazar las líneas de influencia del momento flector y el cortante en los tres puntos indicados. Indicar claramente el criterio de signos. : : : 5

6 4. Obtener los diagramas de esfuerzos en la viga de continua de la figura, acotar los valores más significativos de los mismos y proceder a la elección del perfil de la viga sabiendo que la tensión del acero empleado admisible es 0 MPa.. 0 kn 0 kn 0 kn/m 4x5m e cara a simplificar al máximo las cuentas aprovechamos la simetría del problema para reducir el número de incógnitas a dos. 0 kn 0 kn/m x5m sí la matriz de rigidez de la estructura es k = EI 4 L 8 y el vector de cargas 6

7 F = F n F emp = ql Pl + 8 = ql Pl ql Planteando el sistema de ecuaciones F=KU, podemos despejar los desplazamientos incógnitas: u = EI u = EI Los momentos en los extremos de cada una de las barras se obtienen de la forma s=ku+f epm. Los esfuerzos cortantes se obtienen únicamente a partir de las fuerzas de empotramiento s=f epm. Elemento EI EI = Momento flector ql = Para obtener los diagramas de cortante realizamos el equilibrio en el elemento 0 kn 0 kn/m Nm Q Q 7

8 F = 0 Q + Q = 0000 y M = 0 5 Q = 0 e dónde se obtiene Q = 44N Q = 66785N Por lo tanto el diagrama de esfuerzos cortantes es de la forma Elemento EI EI = Momento flector ql = 658 Para obtener los diagramas de cortante realizamos el equilibrio en el elemento 0 kn/m Nm 05.7 Nm Q Q F = 0 Q + Q = y M = 0 5 Q = 0 e dónde se obtiene 8

9 Q = 5578N Q = 448N Por lo tanto el diagrama de esfuerzos cortantes es de la forma la vista de los diagramas se tiene que el momento flector máximo está en el segundo apoyo y vale 5898 Nm. Para la elección del perfil (despreciando el cortante) se tiene que M σ = W f M f W σ = 80.6cm, por lo que se elegiría un IPE40 9

10 5. Plantear el sistema de ecuaciones que permite obtener los desplazamientos desconocidos de la estructura. e cara a la numeración de los grados de libertad seguir el orden alfabético de los nudos y denotar las barras por sus nudos extremos. 0 kn 0 kn 0 kn/m E 45º 0 kn F Los grados de libertad de la estructura son E F La matriz de rigidez de la estructura es 0

11 E EI + L L 0 E E EI E + + L L L 6EI 6EI 4EI 4EI + L L L L E E E 4EI L E 6EI E EI L L L L E EI 6EI E EI E L L L L L 7 0 y el vector de fuerzas P qle 0 0 PL ql n emp PLE F = F F = P 0 0 qle PL ql 8 E E E E E 6EI EI 4EI 6EI 6EI 4EI 4EI + L L L L L L L E E E E E E E E E E E S E EF

12 6. La resolución de la estructura anterior (considerando una longitud de 5 metros en todos los elementos) permite conocer los productos KU de los diferentes elementos. ibujar los diagramas de esfuerzos en las tres barras, acotando los valores mas significativos. NOT: los subíndices indican el extremo inicial y final del elemento dónde se han considerado unos grados de libertad de la forma que se ha visto habitualmente en clase. 0 kn 0 kn 0 kn/m E 45º 0 kn F KU = KEUE = KEUE = : emp 590 S = KU + F =

13 Momento flector xil 9078 ortante E: emp 0066 SE = KEUE + F = Momento flector xil 59 ortante E: emp SE = KEUE + F =

14 ql = 046 xil ortante