GUÍA MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTA O GENERACIÓN DIRECTA.

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Juan Francisco Peña Benítez
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1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Depto. de Ingeniería en Obras Civiles GUÍA MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTA O GENERACIÓN DIRECTA. Realizado por: Sergio Currilen. Diego Valdivieso. Página

i) Reducción de la Estructura. Algoritmo Método de Rigidez Directa ii) Determinación de los Grados de Libertad.

geométricas. iv) Matriz de Transformación de grados de libertad dependientes a independientes T ].

vi) Deformación Unitaria de cada Grado de Libertad Independiente de la estructura, (r i =; r j = para todo i distinto de

2 i) Reducción de la Estructura. Algoritmo Método de Rigidez Directa ii) Determinación de los Grados de Libertad. iii) Determinación de los Grados de Libertad Independientes de la estructura, mediante la aplicación de compatibilidades geométricas. iv) Matriz de Transformación de grados de libertad dependientes a independientes T ]. v) Momentos de Empotramiento Perfecto (Estructura A y Estructura B). vi) Deformación Unitaria de cada Grado de Libertad Independiente de la estructura, (r i =; r j = para todo i distinto de j ). A continuación se presentan las deformaciones bases para el método, dado una barra AEI de longitud conocida L, y que es sometida a giros, desplazamiento vertical y desplazamiento horizontal. Página

3 vii) Obtención de los coeficientes de la matriz de rigidez para luego obtener la matriz de rigidez referida a los grados de libertad independientes K q ]. viii) Vector de fuerzas externas { R }, y determinación de { Q }. ix) Ley de Hooke Matricial Kq]*{q}={Q}, y obtención de giros y desplazamientos. x) Calculo de Esfuerzos, despiece y diagramas. Nota: Recordar que K ij es el esfuerzo provocado en el GDLI j al deformar unitariamente el GDLI i. Página 2

4 Ejercicio N Para la estructura que se muestra a continuación, se pide determinar la matriz de rigidez referida a los grados de libertad independientes de la estructura (Kq); sin embargo se debe considerar en los cálculos de cada coeficiente el grado de libertad diagonal dado, y que se muestra en la figura. AE= EI Solución: a) Primero se debe determinar los grados de libertad de la estructura, estos corresponden a las coordenadas que describen las posibilidades de movimientos en los nudos. b) Ahora se deben establecer las compatibilidades entre los grados de libertad de la estructura, de tal manera de establecer los grados de libertad independientes de la estructura, estos corresponden a los grados de libertad mínimos para representar el desplazamiento de la estructura. Las compatibilidades son del tipo: - Para la barra EI Página 3

5 - Para la barra infinitamente rígida Las compatibilidades para este caso estructural: cos α= 3/5; sen α= 4/5 Entonces se obtiene finalmente la matriz de compatibilidades entre grados de libertad que resulta del análisis de { r } = T ]*{ q } r r r 2 3 c) Establecer las deformaciones según cada caso de grados de libertad independientes para luego determinar los coeficientes de la matriz de rigidez, para los siguientes casos Caso : r=, ri= T r r 2 r 3 r 4 () * Página 4

6 Caso 2: r3=, ri= +()* ] ] => ] => Página 5

7 Caso 3: r4=, ri= + ()* ] ] ] d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez de la estructura referidos a los grados de libertad independientes. Se puede verificar que la matriz es simétrica y los términos de la diagonal son positivos. ] Página 6

Rigidez del resorte helicoidal que se muestra en la figura 2, que resulta de reducir los elementos de la figura.

8 Ejercicio N 2 Para las figuras que se muestran, determinar: i. Matriz de rigidez relacionada a los grados de libertad independientes de la figura. ii. Rigidez del resorte helicoidal que se muestra en la figura 2, que resulta de reducir los elementos de la figura. Figura. Figura 2. Solución a) Primero se debe determinar los grados de libertad de la estructura, estos corresponden a las coordenadas que describen las posibilidades de movimientos en los nudos. Página 7

9 b) Ahora se deben establecer las compatibilidades entre los grados de libertad de la estructura, de tal manera de establecer los grados de libertad independientes de la estructura, estos corresponden a los grados de libertad mínimos para representar el desplazamiento de la estructura. Las compatibilidades son del tipo: - Para la barra EI - Para la barra infinitamente rígida Finalmente se tienen las siguientes compatibilidades: De la últimas dos compatibilidades resultaría: Así la matriz de compatibilidad será: T r r r L L Página 8 2 r r 2 r 3 r 4 r 5 r 6

10 c) Establecer las deformaciones según cada caso de grados de libertad independientes para luego determinar los coeficientes de la matriz de rigidez, para los siguientes casos Caso : r2=, ri= Detalle de la deformada: Página 9

11 Caso 2: r4=, ri= +(-)* Página

12 +()* + (-)* Página

13 ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ( ) ] ] Página 2

14 Caso 3: r5=, ri= +()* +(2)* Página 3

( ) ] ( )] ( )] ] ( ) ] ] ] d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez de la estructura referidos a los grados de libertad independientes.

15 ( ) ] ( )] ( )] ] ( ) ] ] ] d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez de la estructura referidos a los grados de libertad independientes. Se puede verificar que la matriz es simétrica y los términos de la diagonal son positivos. ] ] Ahora se procede a calcular la rigidez del resorte helicoidal, este último representa la rigidez al giro en las barras EI diagonales, más la rigidez al giro de la barra AEI vertical. Página 4

16 Si se analiza la deformada debido al giro en el nudo central, tenemos lo siguiente: Entonces si se suman las rigideces al giro de cada barra tenemos: Entonces la rigidez del resorte helicoidal que resulto de la reducción de la estructura es: Página 5

17 Ejercicio Nº3 Encontrar la rigidez del resorte si se sabe que el desplazamiento horizontal en A es.5 m. 6º k EI T 45º EI=25 T*m 2 AE= EI 2 T A AEI AEI Solución i) Grados de Libertad. r 3 r r 4 r2 4GDL Compatibilidad => 3GDLI ii) Compatibilidad geométrica y Matriz de Transformación. => r 3 = - r 4 T r r 2 r 4 r r 2 r 3 r 4 Página 6

18 iii) Deformadas de los grados independientes. Deformada. r =, y r 2 =r 3 =r 4 =. *() *() *() ] ] ] ] Deformada 2. r 2 =, y r =r 3 =r 4 =. *()*cos(45) *()*cos(45) *() *() *() *() *() *() *() Página 7

19 ] ] ] ] Deformada 3. r 3 = -, r 4 =. y r =r 2 =. Para simplificar el análisis, se presenta por partes: Para el resorte: 6º 5º *cos5 *cos(5)cos(3) *cos(5)sen(3) *cos5 Página 8

20 Para barra vertical. *() *() *() Para barra horizontal. *() *() *() Para barra diagonal. * * **sen(45) **cos(45) ] Página 9

21 ] ] ] iv) Matriz de Rigidez de GDLI. Ordenando los coeficientes encontrados: K q r r r 2 r K r 2 r 4 v) Vectores de F. externas y vector de desplazamientos. q r r 2 r 3 como r 4 =,5 q r r 2.5 R 2 pero {Q}=T] T *{R} => Q 3 vi) Ley de Hooke Matricial. {Q}= K q ]*{q} r =,2 rad r 2 = -,25 ra k = 26,68 T/m Página 2

22 Ejercicio Nº4 Determine la matriz de rigidez de la siguiente estructura y calcule TA. Además calcule esfuerzos en las barras. AEI EI= T*m 2 AE=EI 2 T 2 T A AEI m] i) Grados de libertad. r 5 r 4 r 3 r 2 GDL=5 Compatibilidades=2. GDLI=3 C r 2 ii) Compatibilidades geométricas y matriz T]. 2r = r 5 r 4 => r 4 = r 5-2r 2r = r 2 r 3 => r 2 = r 3-2r T r r 3 r r r 2 r 3 r 4 r 5 Página 2

23 iii) Deformaciones de los grados de libertad independientes. Deformada. Para el grado. r =, r 2 =2, r 4 =-2, r 3 =r 5 =. Giro r =. * 2 * **cos(45) **cos(45) ( + ) Desplazamientos r 2 =2, r 4 =-2. * * * * **cos(45) **cos(45) Página 22

24 ] ] ] ] ] ] Deformada 2. r 2 = y r 3 =, r =r 4 =r 5 =. * *(sen(45)) *(cos(45))2 *(cos(45)) *(cos(45))2 *(cos(45)) *(cos(45)) 2 *(cos(45)) 2 ] ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] Página 23

25 ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ] ] Deformada 3. r 4 = y r 5 =, r =r 2 =r 3 =. * *(cos(45))2 *(cos(45))2 * *(cos(45)) *( ) *(cos(45))2 *(cos(45)) *(cos(45)) 2 ] ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ] ] Página 24

26 iv) Matriz de Rigidez asociada a GDLI. r r 3 r 5 Kq r r 2 r 3 v) Vector de fuerzas externas y de GDLI. r r r 2 r 3 r 4 r 5 q r r 3 r 5 R 2 {Q}=T] T *{R} => Q 2 2 vi) Ley de Hooke Matricial. {Q}=T] T *{R} q.9 r.9 {r}=t]*{q} => Nos piden el desplazamiento total del punto A. Esto es: T r 4 r 2 T = T =,59 m Página 25

27 vii) Cálculo de esfuerzos. Como el método de rigidez directa no necesita de la determinación de la matriz a], entonces es necesaria otra forma de cálculo de esfuerzos. Considerando: Esfuerzo (de momento, corte y/o axial) = Con: n: # de GDLI. q i : Grado de libertad independiente i. Esf i : esfuerzos de la deformada i, que se encuentra en el sentido, dirección y ubicación del esfuerzo que se desea calcular. Para la barra. Fx b = r * ] + r 3 * ( ) ( ) ]+ r 5 * ( ) ( ) ] = 6,23 T Fx a = -6,23 T Fy b = r * ] + r 3 * ( ) ( ) ]+ r 5 * ( ) ( ) ] = 3,47 T Fy a = -3,47 T M b = r * 3,78 T*m ] + r 3 * ( )]+ r 5 * ( )] = Hacemos equilibrio para conocer el otro momento. 3,78 6,23 M 3,47 M a +3,78-6,23x2+3,47x2= M a =,74 T*m 6,23 3,47 Página 26

28 Fx a Fy a M a Fx b Fy b M b Para la barra 2. Fx 2a = r * + r 3 * ]+ r 5 * = -6,33 T Fx 2b = 6,33 T Fy 2a = r * ] + r 3 * ]+ r 5 * ] = 6,5 T Fy 2b = -6,5 T M 2a = r * ] + r 3 * ]+ r 5 * ] =,73 T*m Hacemos equilibrio para conocer el otro momento.,73 M b 6,33 6,5 6,5 6,33 M b +,73-6,5*3= M b = 8,8 T*m Fx 2a Fy 2a M 2a Fx 2b Fy 2b M 2b Página 27

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