Química Cuántica I Formas cuadráticas

Transcripción

1 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 1/16 Química Cuántica I Formas cuadráticas Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM

2 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 2/16 Ecuación cuadrática en dos variables: ax 2 + 2bxy + cy 2 = d

3 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 2/16 Ecuación cuadrática en dos variables: ax 2 + 2bxy + cy 2 = d Forma cuadrática en dos variables: q(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2

4 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 3/16 Ejemplos: f(x, y) = x 2 + y

5 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 3/16 Ejemplos: f(x, y) = x 2 + y 2 Contornos: f(x, y) = k En este caso: circunferencias

6 f(x, y) = 2x 2 + xy + 3y 2 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 4/16

7 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 4/16 f(x, y) = 2x 2 + xy + 3y 2 Contornos?

8 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 4/16 f(x, y) = 2x 2 + xy + 3y 2 Contornos? Elipses

9 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 4/16 f(x, y) = 2x 2 + xy + 3y 2 Contornos? Elipses Gráficas de las ecuaciones cuadráticas: cónicas

10 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 5/16 Cualquier forma cuadrática q(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 puede expresarse como un producto matricial: ( ) ( ) ( ) a b x x y = X t MX b c y donde X = ( x y ) y M = ( a b b c )

11 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 6/16 Forma cuadrática en n variables {x 1, x 2,..., x n }: q(x 1, x 2,..., x n ) = n n λ ij x i x j i j En forma matricial: q(x 1, x 2,..., x n ) = X t ΛX donde la matriz Λ tiene elementos (Λ) ij = λ ij

12 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 7/16 A partir de la matriz Λ es posible obtener una matriz simétrica tal que M = 1 2 ( Λ + Λ t ) q(x 1, x 2,..., x n ) = X t MX M es simétrica pues M t = M Además, toda matriz simétrica es diagonalizable

13 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 8/16 Mediante una transformación lineal, es posible reducir cualquier forma cuadrática a la forma canónica: q(x 1, x 2,..., x n ) = n i d i (x i )2 = X t DX en las variables {x 1, x 2,..., x n }, donde d d D = d n

14 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 9/16 A partir de M se obtiene la matriz diagonal D mediante la ecuación de valores propios: o de manera equivalente: Mv = dv Mv = div ; (M di) v = 0

15 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 9/16 A partir de M se obtiene la matriz diagonal D mediante la ecuación de valores propios: o de manera equivalente: Mv = dv Mv = div ; (M di) v = 0 Los valores propios se obtienen a partir de det (M di) = 0

16 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 10/16 Sustituir d = d 1, d = d 2,... en la ecuación de valores propios: (M d 1 I) v 1 = 0, (M di) v 2 = 0... Para obtener los vectores propios: v 1 = v 1 1 v 1 2., v2 = v 2 1 v 2 2.,...

17 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 11/16 La transformación lineal (rotación de coordenadas) se lleva a cabo con la matriz v 1 1 v2 1. V = v1 2 v

18 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 11/16 La transformación lineal (rotación de coordenadas) se lleva a cabo con la matriz v 1 1 v2 1. V = v1 2 v La matriz diagonal es D = V t MV

19 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 11/16 La transformación lineal (rotación de coordenadas) se lleva a cabo con la matriz v 1 1 v2 1. V = v1 2 v La matriz diagonal es D = V t MV Las nuevas coordenadas son X = V t X

20 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 12/16 Ejemplo: Describe la cónica 2x 2 + xy + 3y 2 = 2 La ecuación puede escribirse en forma matricial como X t MX = 2 donde X = ( x y ) y M = ( )

21 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 13/16 D = ( ) = ( ) y la matriz V = ( ) realiza la transformación a las nuevas coordenadas: ( ) ( X x = y = V t 0.383x y X = 0.924x y )

22 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 14/16 Es decir, la matriz V realiza la rotación al nuevo sistema de coordenadas de donde x = 0.383x y y = 0.924x y x = 0.383x 0.924y y = 0.924x y Mediante combinaciones lineales de los vectores base {î, ĵ} se obtiene {î, ĵ }

23 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 14/16 Es decir, la matriz V realiza la rotación al nuevo sistema de coordenadas de donde x = 0.383x y y = 0.924x y x = 0.383x 0.924y y = 0.924x y Mediante combinaciones lineales de los vectores base {î, ĵ} se obtiene {î, ĵ } Calcula los vectores î y ĵ

24 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 15/16 Al sustituir x y y en 2x 2 + xy + 3y 2 = 2 se obtiene la ecuación de la cónica en los ejes x y y : o bien 3.208(x ) (y ) 2 = 2 ( x ) 2 + ( y ) 2 = 1

25 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 15/16 Al sustituir x y y en 2x 2 + xy + 3y 2 = 2 se obtiene la ecuación de la cónica en los ejes x y y : o bien 3.208(x ) (y ) 2 = 2 ( x ) 2 + ( y ) 2 = 1 A qué tipo de lugar geométrico corresponde?

26 Formas cuadráticas/jesús Hernández Trujillo p. 16/16 Se trata de una elipse: y x y x x y y son los ejes principales