ETAPAS BÁSICAS DEL ANÁLISIS MATRICIAL DE UN SISTEMA DISCRETO. Mercedes López Salinas

Transcripción

1 ETAPAS BÁSICAS DEL ANÁLISIS MATRICIAL DE UN SISTEMA DISCRETO Mercedes López Salinas PhD. Ing. Civil ELEMENTOS FINITOS Facultad de Ciencia y Tecnología Escuela de Ingeniería Civil y Gerencia de Construcciones Curso: Marzo 2017-Agosto 2017

2 Hipótesis básicas del análisis matricial de estructuras Comportamiento lineal: De las estructuras. De los materiales. Desplazamientos pequeños comparados con las dimensiones de las estructura. Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez Los materiales se consideran homogéneos e isótropos Principio de Superposición

3 Método de la Rigidez Las incógnitas básicas son los desplazamientos Las fuerzas en los nodos son datos Se emplean las 3 ecuaciones en el siguiente orden: Ecuación constitutiva Ecuación de compatibilidad Ecuación de equilibrio Se genera un sistema lineal de ecuaciones: F = Ku

4 Etapas básicas del análisis matricial Numeración de nodos y barras Selección y numeración de grados de libertad Construcción de la matriz de rigidez de cada elemento en ejes locales en ejes globales (mediante transformaciones de coordenadas) Ensamblaje de las matrices de rigidez de los elementos para dar lugar a la matriz de rigidez completa Construcción del vector de cargas Introducción de las condiciones de contorno en la matriz de rigidez Resolución del sistema de ecuaciones Cálculo de esfuerzos en cada elemento a partir de los desplazamientos de los nodos Cálculo de las reacciones en los apoyos

5 Etapas básicas. Numeración de nodos y barras

6 Etapas básicas. Numeración de nodos y barras

7 Etapas básicas. Elección y numeración de los grados de libertad En estructuras planas, cada nodo tiene 3 grados de libertad.

8 Etapas básicas. Matriz de rigidez de la estructura El proceso a seguir consiste en plantear, en primer lugar, la matriz de rigidez de una barra (primero en ejes locales de la barra y, luego, en ejes globales de la estructura) y después mediante un proceso sistemático denominado ensamblaje, montar la matriz de rigidez de la estructura completa

9 Etapas básicas. Matriz de rigidez de la estructura Sistema global. Se usa para referir la geometría, fuerzas y los movimientos. También se realiza el ensamblaje de las matrices y vectores. El sistema local de cada pieza es útil para escribir las ecuaciones de la elástica de las piezas En ciertos casos también es necesario definir sistemas locales de referencia del nodo

10 Etapas básicas. Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez local para una barra sometida a esfuerzos axiales unicamente es: La matriz de rigidez local para una barra sometida a momentos flectores y esfuerzos cortantes es:

11 Etapas básicas. Ensamblaje de la matriz de rigidez k = [F ] = [k] [δ] k a k a 0 k a (k a + k b ) k b 0 k b k b

12 Etapas básicas. Construcción del vector de cargas En análisis matricial se consideran cargas actuando unicamente en los nodos de la estructura. El vector de cargas estará constituido por dichas cargas. Cuando existe cargas actuando directamente sobre los elementos (barras), lo que se recomienda es llevar las cargas de los elementos a los nodos. Estas cargas actuando en los nodos del elemento deben dar lugar a los mismos movimientos en dichos nodos que el sistema original de cargas.

13 Etapas básicas. Construcción del vector de cargas Q 1 = Q 2 = ql/2 M 1 = M 2 = ql 2 /12

14 Etapas básicas. Condiciones de contorno La matriz de rigidez de una estructura es singular si no se aplican las condiciones de contorno, ya que serían posible movimientos de sólido rígido. La imposición de las condiciones de contorno evita es singularidad y consiste en fijar los movimientos de una serie de grados de libertad que unen la estructura con el entorno. Las condiciones de contorno en estructuras, se expresan en función de fuerzas y/o desplazamiento en los nudos o en las barras.

15 Etapas básicas. Condiciones de contorno δ 1X = δ 1Y = φ 1 = δ 4X = δ 4Y = 0 P 2X = 10kN P 3Y = 5kN P 2Y = M 2 = P 3X = M 2 = 0

16 Etapas básicas. Resolución del sistema de ecuaciones Una vez que se han introducido las condiciones de contorno, el sistema de ecuaciones original, [F ] = [K] [u], se escribe como: [F ] = [K ] [u ] El sistema de ecuaciones anterior se resuelve por métodos algebráicos que requieren invertir la matriz de rigidez: [F ] = [K ] 1 [u ]