ANÁLISIS MATRICIAL. Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.

Transcripción

1 ANÁLISIS MATRICIAL MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos) La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por : [ F ] = [ K ] { U } [ K ] = Matriz de rigidez [ F ] =Vector de fuerzas { U } = Vector de desplazamiento Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada. 1. SISTEMA DE COORDENADAS Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas: 1.1 Sistema de coordenadas globales Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras. 1

2 1.2 Sistema de coordenadas locales Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección θ y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales. Øx, Øy, Øz: Cosenos directores Ø Ø Ø 2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ [ F ] = [ K ] { U } { U } = Vector de desplazamiento 2

3 , Expandiendo: [ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua } (1) { Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua } (2) De (1) despejo { Un } [ Kun ]{ Un } = { Fn } [ Kna ]{ Ua } { Un } = [ Knn ] -1 { Fn } [ Knn ] -1 [ Kna ]{ Ua } (3) Reemplazo en (2) { Fa } = [ Kan ][ Knn ] -1 { Fn } [ Kan ][ Knn ] -1 [ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua } Factorizo : { Ua } { Fa } = [ Kan ][ Knn ] -1 { Fn } [[ Kan ][ Knn ] -1 [ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4) Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos: { Un } = [ Knn ] -1 { Fn } { Fa } = [ Kan ][ Knn ] -1 { Fn } - Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos 3

4 - Fuerzas de extremo: - Grados de libertad del elemento : Ø Ø Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano. 3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA I= nudo inicial J = nudo final 4

5 U = desplazamiento axial A = sección transversal L = longitud E = módulo de elasticidad Fuerza en el resorte Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1 La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera: Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1 Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1. Se suelta el nudo i : 5

6 Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA Grados de libertad globales Ø Fuerzas locales Ø En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL } 6

7 Ø Ø Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j. UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø C = Cos Ø S = Sen Ø UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL } Para las fuerzas se tiene: { FL } = [ T ]{ F } [ T ] = Matriz de transformación { F } = [ T ] -1 { FL } Para matrices simétricas y ortogonales 7

8 [ T ] -1 = [ T ] T { F } = [ T ] T { FL } Para los desplazamientos { UL } = [ T ]{ U } { U } = [ T ] -1 { UL } { U } = [ T ] T { UL } Reemplazando en { F } = [ T ] T { FL } { FL } = [ K ]L{ UL } { F } = [ T ] T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ] T [ K ]L[ T ]{ U } [ K ] = [ T ] T [ K ]L[ T ] Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento. Uxi Uyi Uxj Uyj [ K ] = matriz simétrica C 2 = Cos 2 Ø S 2 = Sen 2 Ø CS = Cos Ø Sen Ø PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Equilibrio: La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio. 8

9 Fuerzas de Extremo Σ Σ Σ Movimiento de un Cuerpo Rígido Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento. Øj Uxi = Uxj Θi = θj = (Uyj-Uyi)/L Øi Reemplazando en la columna respectiva Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando: 9

10 Fyi = Fyj = ; Fxi = Fxj = ; Mi = Mj = Singularidad La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular. En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal. La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos. Simetría Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos. CARGAS EQUIVALENTES EN LAS JUNTAS PARA CARGAS SOBRE EL ELEMENTO { F } = [ K ] { U } { F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales. Caso 1 : Cargas reales 1

11 Caso 2 : Cargas reales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real Caso 3: Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales. 11

12 Las cargas equivalentes se calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado) El equilibrio en el nudo será: F. E. A. F F. E. A. Fixed End action Se tiene: F = F F... Las cargas para cualquier análisis sobre las juntas:... :... : Fuerzas equivalentes en los nodos debido a las cargas sobre el elemento, considerando el elemento empotrado en ambos extremos MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán: Ø Ø 12

13 U = desplazamiento extremo Θ = Rotación en un extremo Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1 ³ ² ² ³ ² ³ ³ ² Haciendo un giro unitario θ = 1 en ambos extremos ² ² Øi Øi ² ² Ensamblando la matriz de rigidez. 3 Ui θi Uj θj Problema: Usando el método de la rigidez directa y despreciando las deformaciones axiales, halle: A) Reacciones y diagramas de V y M B) Rotaciones en el punto B 13

14 f c = 21Mpa (NSR-1) Ec , Los grados de libertad del elemento T T Ua θa Ub θb Se eliminaron los grados de libertad restringidos. Ua = θa = Ub = { 2 } = [ ]{ θb } Θb = 1,56x1-3 rad/s 14

15 Reemplazando en { Ra } = [ 326,4 ]{ 1,56x1-3 } Ra = 5, KN { Ma } = [ 6412,8 ]{ 1,56x1-3 } Ra = 9,87 KN m { Rb-5 } = [ ]{ 1,56x1-3 } Rb = 45, KN Problema: Resolver la siguiente viga. T T Ec = 2154 MPa I =8,93x1-4 m 4 EI = 19,24 MN/m Θa = θb = θc = Ua = Uc = 15

16 Se parte la viga en 2 elementos AB y BC { F } = [ T ] T [ K ]L{ UL } { F } = [ T ] T [ K ] { T } { U } [ K ] = [ T ] T [ K ]L [ T ] Las matrices de rigidez de cada elemento quedan: Ua θa Ub θb [ MN/m ] Ub θb Uc θc Rb = Mb = Ensamblando las 2 matrices, y eliminando los grados de libertad restringidos: Ua, θa, Uc, θc =. El sistema queda de 2X2, correspondiente a los grados de libertad libres. Ub θb Rb = -1 Ub θb Mb =

17 Ub θb = 17,1 Ub Ub = -5,81x1-3 m = 51,3 θb θb = Se despejan las reacciones de la matriz de cada elemento. Elemento AB Ray = -8,55x1-6 * -5,85x1-3 = 5 KN Ma = 12,83 * -5,85x1-3 = 75 KN m Como la viga y las cargas son simétricas Ray = Rcy = 5 KN = P/2 Ma = Mc = 75 KN m = PL/8 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO PRISMÁTICO BAJO CARGA AXIAL, FLEXIÓN Y CORTANTE Fuerzas Matriz aplicable a cualquier elemento horizontal de pórtico plano (vigas). 17

18 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA COLUMNA Para resolver pórticos ortogonales, se transforman las coordenadas, y usando el sistema global, se debe usar la siguiente matriz. ³ ² ² Ø=1 ³ ² ² ³ ² ² Ø=1 ³ ² ² 18

19 Problema: resuelva el siguiente pórtico con f c = 21 MPa, vigas 3x4, columnas 4x4 Ec 47 f c NSR-1 Ec = 2154 mpa 1. Se enumeran los nudos y elementos iniciando por el nudo libre : Nodos : Elementos 19

20 2. Fuerzas de extremo... fijo ` 15 (+) 15 (+) Matriz de rigidez Ec 47 f c NSR MPa 3.1 Viga 2 A =,3 x,4 =,12 m AE = 2584,8 MN EI = 34,46 MN m Columna 1 X1 6 X X1 6 X1 3 A =,4x,4 =,16 m 2 AE = MN 2

21 EI = 45,95 MN m Columna X1 6 X Matriz de rigidez del sistema Los grados de libertad libres de la estructura son: Θ1 Θ2 Los grados de libertad restringidos son: Ux3 = Uy3 = Ux4 = θ3 = θ4 = Ensamblando la matriz de los grados de libertad libres 21

22 X1 6 Las fuerzas de extremo en cada elemento representan las reacciones, son iguales a las fuerzas internas en cada uno de los bordes. Despejando { U } { F } = [ K ]{ U } [ K ] -1 { F } = { U } Viga 2 Reemplazando los valores de desplazamiento X1 6 x Se despejan las fuerzas para las 2 columnas, reemplazo y dan los momentos Columna 1 22

23 X1 6 X Columna X1 6 X Fuerzas de extremo en cada elemento 23

24 Diagramas de Fuerzas internas. 24

25 Problema: Resolver el siguiente portico plano. F c = 21 MPa, vigas de 25x35cm, columnas de 3x4cm HEA3 25

26 E A = 2 GPa A =,113 m 2 Ixx = 1,826x1-4 m 4 Iyy = 6,31x1-5 m 4 EI = 36,52 MN m 2 AE = 226 MN Nota : no despreciar los efectos axiales 1. Propiedades geométricas Viga: 25x35 cm A =,25x,35 =,875 m Ec 47 f c NSR MPa AE = 1884,75 MN EI = 19,24 MN m 2 Columna: 3x4 cm A =,3x,4 =,12 m AE = 2584,8 MN EI = 34,46 MN m Se numeran los elementos y los nudos y se determinan los grados de libertad libres GL libres = 7 Tamaño de la matriz 7x7 26

27 ? Θ2? Θ1 Θ2 Las reacciones de empotramiento Las ecuaciones individuales para cada elemento. Viga X1 6 X1 3 Viga 1 27

28 X1 6 X1 3 Columna X1 6 Columna 4,, Se ensambla la matriz de rigidez del sistema correspondiente a los grados de libertad libres; resulta un sistema de 7x Se despejan las incógnitas. { F } = [ K ]{ U } [ K ] -1 { F } = { U } 28

29 Se despejan las fuerzas externas, reemplazando en la ecuación de cada elemento Viga Viga Columna 2 Columna

30 Fuerzas en los elementos Diagramas de fuerzas internas 3

31 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO INCLINADO El método de la rigidez requiere que las ecuaciones sean escritas en coordenadas globales. Se establece una relación entre las fuerzas axiales y cortantes de extremo local y global, de igual forma que en una armadura plana, mientras que los momentos, por ser vectores libres son iguales en los 2 sistemas. 31

32 ? La matriz de transformación para las fuerzas queda de la siguiente manera: 1 1 La matriz de transformación es igual para desplazamientos haciendo c = Cosθ, s = Senθ

33 La matriz de rigidez se transforma de coordenada local a global. { F }L = [ T ] { F } { F } = [ T ] -1 { FL } = [ T ] -1 { FL } Se tiene que: { FL } = [ KL ] { UL } y { UL } = [ T ] { U } [ T ] { F } = [ KL ] [ T ] { U } [ KL ] = Matriz de rigidez de un elemento horizontal { F } = [ T ] T [ KL ] [ T ] { U } La matriz de rigidez en coordenadas globales [ K ] = [ T ] T [ KL ] [ T ] Cuando existen cargas en el vano, el vector de fuerzas de extremo fijo debe transformarse también. { F E } = [ T ] T {F E L} { F E } = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales {F E L} = Vector de fuerzas de empotramiento en coordenadas locales 33

34 Fuerzas internas en un elemento de pórtico plano inclinado Primero se calculan los desplazamientos correspondientes a los grados de libertad libres, después se calculan las fuerzas en coordenadas locales y se transforman a coordenadas globales con: { F i } = [ T ] { F } { F} = [ T ] T { F L } Se recomienda usar coordenadas locales para calcular [ K L ] y después efectuar el triple producto [ T ] T [ K L ] [ T ] = [ K ] En este caso se calculan las fuerzas internas transformando primero los desplazamientos { u L } = [ T ] { u } { u L } = Desplazamientos en nudos locales { F L } = { F E L } + [ K L ] { u L } { u } = Desplazamientos en nudos globales 34

35 Problema: Resolver el siguiente pórtico: HEA3 EA = 2 GPa A =,113 m2 Ixx = 1,826x1-4 m4 Iyy = 6,31x1-5 m4 EI = 36,52 MN m2 AE = 226 MN L1 = 3.66 m L2 = 5. m 1. Se numeran los elementos, nudos y grados de libertad.?? Θ3? Grados de libertad libres. Ux1, Uy1, θ1. Matriz de 3x3 2. Se calculan las fuerzas de extremo fijo en coordenadas locales. 35

36 ? F 1XL = F 2XL = F 1YL = F 2YL = (WL)/2 = (4x3.66)/2 = KN M E 2-1 = - M E 1-2 = (WL 2 )/12 = KN m Senθ 1 = 3/3,66 =,832 Cosθ 1 = 2/3.66 =,555 Θ1 Cosθ 2 = 4/5 =,8 Senθ 2 = 3/5 =,6 F X2-3L = F X3-2L = 24KN M E 1-3 = - M E 3-1 = (PL)/8 = 4 KN m F Y2-3L = F Y3-2L = 32 KN? Θ2 Las fuerzas de empotramiento deben de transformarse a un sistema de coordenadas globales. 36

37 { F E L } = [ T ] { FE} { FE } = [ T ] T { F E L} Elemento Elemento Se hallan las ecuaciones de equilibrio estático en coordenadas locales Elemento

38 Elemento Se transforman las matrices de rigidez de cada elemento a coordenadas globales. [ K ] = [ T ] T [ K ] L [ T ] y solo se tienen en cuanta los grados de libertad libres para ensamblar los elementos. Elemento Elemento Ensamblando la matriz de rigidez del sistema. Despejando #"$#" #"$"# "#$#$ 38

39 Problema: Usar el método de la rigidez directa para resolver el siguiente problema. Realizar los diagramas de cortante, momento y carga axial, también pintar la deformada. Se presenta un asentamiento diferencial en el extremo B igual a u By = 2 cm. Propiedades: Ec=21549 MPa Viga: 25*35 cm A=, 25*,35=,875 m 2,25,35 12 AE = 1884,8 MN EI=19,24 MN.m 2 8, Se numeran los grados de libertad? 2?, Hacia abajo por el asentamiento 39

40 2. Fuerzas de empotramiento T T T T T sin,6 cos, Ecuaciones estáticas para el elemento???? 4. Ecuaciones estáticas para el elemento { F L } = [ K L ] { U L } 4

41 251,3,55 2,5 2,5 1,26 251,3,55 2,5 2,5 5,13 251,3,55 2,5 2,5 5,13 251,3,55 2,5 2,5 1, La matriz de rigidez en coordenadas globales es:,8,6,6,8 1,8,6,6, ,3 12,36 1,23 12,36 9,82 1,64 1,23 1,64 1,26 161,3 12,36 1,26 12,36 9,82 1,23 1,23 1,64 1, ,3 12,36 1,23 12,36 9,82 1,64 1,23 1,64 5,13 161,3 12,36 1,23 12,36 9,82 1,64 1,23 1,64 1,26 / Las fuerzas de extremo en coordenadas globales. 19,2 5,6 3 19,2 5,6 3 65,2 13 La ecuación de equilibrio estático esta en coordenadas globales queda: Kresorte + Kviga = 9,82 +,65 = 91, ,3 12,36 1,23 12,36 91,47 1,64 1,23 1,64 1,26 161,3 12,36 1,23 12,36 9,82 1,64 1,23 1,64 5,13,2 19,2 5,6 3 19,2 5,6 3 41

42 Usando solo los grados de libertad libres. 19,2 161,3 12,36 1,23 18,6 12,36 91,47 1,64, (-5,6) = -18,6 3 1,23 1,64 1,26 *1 2,28 1,2913 4,41 1 se transforman a coordenadas locales. Se transforman a coordenadas locales Y se reemplaza en la ecuación de equilibrio local y despejo,8,6 2,28 1 6,82 1,6,8,2913 3, ,41 1 4,41 1 3,64 4,85 27,64 27,15 82,63 42

43 Matriz de rigidez de elemento sometido a torsión Parrillas Ecuación de deformación en torsión para sección circular. Φ = Giro relativo J= Constante torsional igual momento polar de inercia. Ecuación de la deformación por torsión para secciones rectangulares. Constante torsional 1 3, Ecuación estática 43

44 Problema: resolver el siguiente problema se numeran los nudos y los grados de libertad 2. Ensambla la matriz de cada elemento 81 2,4 321,7 1, 281 2,8 9,76 2 Elemento ,7 321,7 Nota: las fuerzas de extremo son cero Elemento 1-2 9,76 9,76 Matriz de rigidez del sistema - grados de libertad libres 1, 1222,46 8,

45 3. Reemplazado en las ecuaciones de cada elemento 321,7 321,71 8, ,15 321,71 8, ,15 9,761 8, ,82 736,82 Matriz de una parrilla Estructuras retractiles con cargas perpendiculares al eje longitudinal, como losas de entrepisos, tableros de puentes Elemento orientado en la dirección x 45

46 La ecuación básica queda: Para el elemento orientado en la dirección Y

47 Problema: Resolver la siguiente parrilla. Vigas 3x4 cm, f`c = 21 MPa 11. CONDENSACIÓN En estructuras grandes, el tamaño de las ecuaciones puede ser de cientos o de incluso miles de grados de libertad. La condensación consiste en reducir el tamaño del sistema de ecuaciones eliminando grados de libertad. Las ecuaciones quedan en función de los grados condensados : : Expandiendo Se expande la fila 2 y despejo Reemplazando en la fila 1: 47

48 Se busca una ecuación de la forma (1) Por analogía se tiene Estas 2 formulas sirven para encontrar los desplazamientos condensados, despejando la ecuación (1) Y los desplazamientos eliminados Los desplazamientos eliminados no deben confundirse con los despreciables Cuando 12. GRADOS DE LIBERTAD DESPRECIABLES En las matrices no se tienen en cuenta los grados de libertad asociados a las deformaciones de flexión producidos por cortante, mientras que los grados de libertad axiales en columnas, por carga axial para edificios bajos, se pueden despreciar. Para sistemas con diafragma rígido, se supone la losa con rigidez axial muy grande y se puede despreciar la deformación axial en vigas. En principio se debe eliminar las columnas de la matriz Knn pero para conservar la simetría, también se deben eliminar las filas 13. relaciones lineales entre grados de libertad Para un sistema de grados de libertad i x j 48

49 Matricialmente Despejando Se define I: identidad Ecuación estática Se quiere encontrar una ecuación de la forma : Fuerzas inerciales asociados a los grados de libertad independientes Por la ley de BettI: Reemplazando Procedimiento 1, Se define la matriz [a] 2. Se hace la partición de acuerdo a los grados de libertad independientes y los dependientes 3. Se calcula, y. 49

50 4. se calcula y 5. Se calcula 14. IGUALACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD Simétrico Subíndice i: simétrica Anti simétrico 5

51 Problema: Resuelva el pórtico usando igualación de grados de libertad y desprecie las deformaciones axiales. F c = 21 MPa Ec = 2154 MPa Columna 3x3 cm Vigas 25x35 cm 1. Grados de libertad Viga 2. Propiedades sección / 6.41 / 3.21 / 1.69 / 51

52 Columna: / / 9.69 / 9.39 / 6.46 / 3. Fuerzas de extremo Sistema en coordenadas locales. 4.1 Viga Fx1-3 = Fx2-4 = 1 5. Ensamble la matriz del sistema

53 En la ecuación anterior se suma la tercera columna a la primera U1x = U2x Se suman las rigideces Ux = -1.24x1-3 m Viga: Θ1 = -2.89x1-3 rad Θ2 = x1-3 rad Hacen el examen θ1 = θ2 Sumar columna Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio de cada elemento modificado Columna Columna Utilizando la metodología de las relaciones lineales entre los grados de libertad y la ecuación de relación por simetría, igualando θ1=θ1, queda : 53

54 La matriz [ Ki ]= [ R ] T [ T ] [ R ] de grados de libertad independientes / { F i } = [ R ] T { F } { Fi } = [ Ki ] -1 { Fi }