Ecuaciones diferenciales de Equilibrio

Transcripción

1 Ecuaciones diferenciales de Equilibrio 28 de marzo de Elasticidad en una dimensión 1.1. Esfuerzo σ y carga lineal b(x) Para examinar un cuerpo desde el contínuo, que es la primera hipótesis (a), utilizamos el cálculo diferencial, y para inspeccionar el material con las leyes de Newton, examinaremos una probeta cargada como se muestra en la figura: Supondremos que esta probeta limitada por ambos extremos, es un sólido contínuo que también sufre deformaciones debidas a una distribución longitudinal de carga interna (p.ej. gravedad 1 o E.M.) representado mediante el vector b(x) 2 : La suma de todas las fuerzas en este tramo se anulan si el cuerpo está en reposo: 1 dp = dm g = ρ A g, b o = dp/ = ρ A gb 0 2 Esta fuerza por unidad e longitud no puede variar en la sección perpendicular a x, pues estamos restringidos a 1D. 1

2 F total = Fi ext + Fi int = 0, y F ext i = 0, F int i = 0 F ext i = A (x + x) σ (x + x) + b( x) x A(x) σ(x) = 0 (1) p1. por qué externas? donde x es el punto 3 donde el valor de la función b( x) multiplicada por x es igual que b(x). Si desarrollamos por Taylor el primer término de la izq.: σ (x + x) σ (x) + σ (x) x podemos adoptar una aproximación que consiste en suponer que (b) la curvatura de σ (o segunda derivada) multiplicada por x 2 es despreciable respecto al término lineal σ (x) x >> σ (x) x 2. Si dividimos entre x, haciendo éste muy pequeño, y suponiendo que la sección es constante, de la ecuación (1) deducimos que: da(x) σ(x) b(x) = (2) Como contraejemplo podemos considerar una fuerza puntual, o mejor dicho, muy concentrada en torno a x, de tal manera que por muy pequeño que hagamos x, el término de sgo. orden no es despreciable. En este caso, la ley de Hooke se cumple siempre que no se supere σ f, pero la relación entre carga y tensión no es de primer orden. Cuando este tipo de distribuciones en el régimen lineal se disipa rápidamente, en virtud de teorema de Saint-Venant, podremos incluir el efecto de fuerzas reales, siempre que la distribución asociada no de lugar a tensiones locales por encima de la tensión de fluencia σ f (x). p2. que tipo de cargas o distribuciones podemos incluir si queremos utilizar las relaciones para describir su estado?, como aplicaría el principio de Saint-Venant en este tipo de problemas? En lo que sigue, siempre vamos a analizar tramos en los que se cumpla 3 Teorema del valor medio: FNetaen x ext = x+ x b(x) = b( x) x x 2

3 la hipótesis a y b, por tanto, podemos incluir las distribuciones que no sobrepasen σ f (x). p3. En un medio poroso, cual sería el valor de σ f, si suponemos que el medio es equivalente a una esponja rígida con poros de radio r? 1.2. Deformación ɛ y desplazamiento δ Si ahora analizamos la deformación a partir de las deformaciones locales en x, δ(x), y x + x,δ(x + x): encontramos que: ɛ(x) = x x x Como δ(x) = x x = δ(x + x) = x + x x x (3) δ(x + x) δ(x) ɛ(x) = x Si hacemos como antes, x 0: ɛ(x) = dδ que es la que faltaba para completar el número de ecuaciones que nos permitirá conocer los desplazamientos a partir de cargas y condiciones de contorno Desplazamiento δ, carga b(x) Vamos a agrupar las ecuaciones: ɛ(x) = dδ da(x) σ(x) b(x) = σ(x) = E ɛ(x) (6) para obtener la relación entre el desplazamiento δ(x) y la carga b(x): d dδ (AE ) + b(x) = 0 (7) Si que A y E son constantes: (4) (5) AE d2 δ + b(x) = 0 (8) 2 3

4 1.4. Ejemplos Viga cilíndrica (A) y homogénea (ρ) empotrada por ambos lados Para la columna de la figura 1, suponiendo que b(x) = b o = cte, calcule el diagrama de deformación, esfuerzo y tensión Viga cilíndrica (A) y homogénea (ρ) empotrada Para la siguiente columna, calcule diagrama de deformación, esfuerzo y tensión. 4 Solución. En este caso, la distribución lineal de fuerza es constante. Si A y E también son constantes en la probeta: b(x) = b o = AE dɛ box = bo = ɛ(x) = ɛ(0) AE Tenemos que encontrar el valor de ɛ(0). Para esto utilizaremos la relación: ɛ(x) = dδ (9) y δ(0) = δ(l) = 0 (10) ɛ(x) = dδ box = dδ = + ɛ(0) (11) AE Al integrar esta relación, obtenemos: en x = L, ɛ(l) = 0. Por tanto: De aquí obtenemos ɛ(x) = ɛ(0) b0x2 ɛ(0)x dondeɛ(0) = 0 (12) 2AE ɛ(0) = bol 2AE δ(x) = (1 x L ) bolx 2AE (13) (14) 4

5 Barra prismática girando Una barra prismática delgada y homogénea de longitud 2L gira con velocidad angular constante ω en un plano horizontal alrededor de un eje fijo respecto a su punto medio como indica la figura. El área de sección recta cuadrada de la barra es A, su densidad (Kg/m 3 ) ρ, y el módulo de Young y coeficiente de Pisson E, y ν. Calcule las tensiones y alargamientos longitudinales y transversales máximos Elasticidad en dos dimensiones Hay problemas que hemos de solucionar en dos dimensiones. Incluso en una viga de sección constante sometida a tracción, como la mostrada en la figura, si queremos estudiar el equilibrio de fuerzas en un plano de orientación arbitraria α, tendremos que considerar esfuerzos que son tangentes a la superficie. Estos se denominan esfuerzos cortantes. Si dibujamos el tramo izquierdo: 5 Vamos a utilizar la ecuación de equilibrio en una dimensión. La fuerza centrífuga a la que está sometida un elemento dm a una distancia x del eje de rotación es df = a cdm, donde a c = V 2 df, por tanto b(x) = = x ω2 xρa. La ecuación que hemos de resolver es: AEdɛ = ω 2 xρa = ɛ(x) = ɛ(0) ρω2 x 2 Como en los extremos de la barra x = ±L no hay fuerza externa aplicada, σ(±l) = 0 = ɛ(±l) = 0. Por tanto, la tensión máxima ocurre en x = 0, y su valor es: 2E (15) σ x(max) = σ(0) = ρω2 L 2 Integrando la expresión anterior, deducimos que: δ x(max) = δ(l) = ρω2 L 3 Como el coeficiente de Poisson es ν = ɛy ɛ x, entonces: 2 3E (16) (17) y δ y(max) = ν A L σ y(max) = ν ρω2 L 2 2 δx(max) = ρω2l 2 ν A 3E (18) (19) 5

6 y proyectando la tensión sobre los ejes x e y, obtenemos dos fuerzas, una normal y otra perpendicular a la superficie: El esfuerzo normal a esta superficie es: σ α = T cos(α) A/ cos(α = T A cos2 (α), y el cortante: τ α = T sin(α) A/ cos(α = T A sin(α) cos α. De este sencillo ejemplo podemos concluir que el módulo del esfuerzo cortante es máximo cuando α = π/4, mientras que el normal lo es cuando α = π. 6

7 2.1. Esfuerzo cortante τ y deformación unitaria cortante γ Supongamos un elemento dentro de un sólido sometido a una fuerza F sobre la superficie superior: En esta figura solo hemos representado la fuerza que produce el corte, y la deformación (linea negra). Está claro que si el elemento está en equilibrio, los cortes apareceran en todas las caras del cuadrado (a continuación, por comodidad, representamos las fuerzas tangentes sobre un elemento sin deformar, suponiendo espesores, dy y profundidad dz): τ es el esfuerzo cortante (N/m 2 ), y los subíndices se refieren a las diferentes caras laterales del paralepípedo. La sumatoria de fuerzas y momentos se ha de anular: Fx = 0, τ 1 τ 3 = 0 = τ 1 = τ 3 Fy = 0, τ 4 τ 2 = 0 = τ 4 = τ 2 C M = 0, τ 1 (dz)dy τ 2 (dydz) = 0 = τ 2 = τ 1 7

8 Si definimos τ 1 τ yx, la figura queda como: donde τ xy = τ yx Respecto a la deformación unitaria cortante, se define como la diferencia entre los ángulos final e inicial formados por dos líneas después y antes de la deformación: De la figura podemos concluir que la deformación unitaria cortante (en radianes) es: α final α inicial γ xy = γ yx = δ x y + δ y x (20) 8