1. Analizar la convergencia del método de punto fijo ( k+

Transcripción

1 . Analizar la convergencia del método de punto fijo ( k+ ) ( ( k g ) ) para el cálculo de la raíz positiva ( α ) de la función f( ) + 6, cuando se utiliza como función de iteración cada una de las siguientes: a) g ( ) 6 b) g ( ) 6 c) g ( ) 6 6 d) g4( ), 0 en el intervalo [0,4]. Realizar iteraciones del método elegido a partir del punto ( 0) 0. j Solución: Como f(0) -6 y f(4) 4, en el intervalo [0,4] hay al menos una raíz. a) g ( ) 6 g ( ) g ( ) es continua en [0,4] pero asegurar que g nuestros propósitos. g, > 0.5, luego no se puede sea una contracción en [0,4] y, por tanto, no es válida para b) g ( ) 6 g ( ) 6 g ( ) es continua en [0,4] (el único punto singular es 6). Veamos cuales son sus etremos en [0,4]: g ( ) 0 no tiene solución. Por tanto g ( ) no tiene etremos 4 6 relativos. Veamos cuales son los etremos absolutos: g (0) ; g (4) Por consiguiente, g ( ) <, [ 0, 4] y g en [0,4]. Es decir, g es, por tanto una contracción podría usarse para encontrar la raíz buscada. c) 6 g Los resultados son enteramente análogos a los obtenidos en el apartado b)

2 6 d) g4( ) Tiene un punto singular en 0 por lo que no es válida para encontrar una raíz f en [0,4] por el método del punto fijo a partir de a partir de. de 0 0 Además, g 4 ( ) 6 / >, / < Sin embargo, podría servir si buscamos la solución, por ejemplo, en el intervalo [0.5,.4] a partir de ( 0) pues en ese intervalo es continua y, además, contracción. Usemos pues g ( ) 6 para encontrar la raíz de f buscada: ( 0) g 0 0 g g g Proponer al menos tres métodos de punto fijo para aproimar una raíz de la ecuación e 0 en el intervalo [0.0,.0] y estudiar la convergencia de cada uno. Solución: Recordemos que el método de punto fijo (o método de aproimaciones sucesivas) consiste en transformar la ecuación f ( ) 0, de la que sabemos que tiene una solución en [ ab, ], en otra equivalente g( ) y, a partir de un punto dado ( 0) [ ab, ], generar la sucesión ( i+ ) ( i g ), i 0,, cuyo límite, *, será la solución buscada La condición necesaria y suficiente para que el método sea convergente es que g( ) sea continua en [ ab, ] y que sea una contracción en dicho intervalo. Naturalmente eisten infinitas soluciones para esta cuestión. Aquí plantearemos tres de ellas que creemos que son las más evidentes. a) e 0 e log ( ) g( ) log ( ) no es continua en [ ]. En este caso la función, 0, pues para 0 no está definida. En consecuencia, no puede utilizarse para encontrar la solución buscada. b) e 0 e. La función g( ) e 0,, veamos si es contracción. Una condición suficiente para que esto suceda es que g <, 0,. [ ] es continua en [ ]

3 g ( ) e Como puede observarse en la gráfica, g () es una función creciente en el intervalo [0,] cuyos valores en este intervalo están comprendidos entre 0 e y e.679 g >, 0, y, por tanto, no, luego [ ] podemos asegurar que g() sea una contracción en [0, ]. c) e 0 e. La función g( ) e es continua en [ 0, ]. En cuanto a su derivada, g ( ) e, es una función creciente en [ 0, ] (ver gráfica) cuyos etremos coincidirán con los valores que tome en los etremos 0 del intervalo [0, ], es decir, 0,5 e y 0,89 e. Por tanto, g <, 0, y, podemos asegurar que g() es una contracción en [0, ]. [ ]

4 Nota: aunque no se pide en el enunciado, vamos a utilizar el método ( i i+ i ) g e, i 0,, a partir del punto ( 0) 0.5 para resolver la f e : ecuación 0 i ( i) i i g f El método de Newton-Raphson para el cálculo de las raíces de un sistema de (0) ecuaciones no lineales consiste, básicamente, en dado un valor generar la sucesión siguiente: ( i) ( i+) ( i) ( i) J f f, i 0,,... En este ejercicio se pide obtener una estimación de la raíz del sistema de ecuaciones no lineales siguiente:

5 T f(, ) ( ; ) 0 4 mediante el método de Newton-Raphson a partir del punto parando el proceso tras la segunda iteración. (, ) (0) T (0.0, 0.0) T ; Solución: F(, ) J f ( ) f (, ) 4 f(, ) f f 8 0 f f J f ( ) F( ) J f ( ) F( ) J f ( ) F( ) Realizar cuatro iteraciones del método de Newton para resolver la ecuación no π π lineal f ( ) cos( ) sin ( ) 0 en el intervalo, a partir del punto 0 π / estudiando previamente la convergencia del método.

6 Solución: El método de Newton-Raphson puede escribirse como: ( k ) ( ) ( k ) f ( k+ ), k,, f ( ) Por tanto, en nuestro caso: cos ( ) sin ( k+ ), k,, cos sin k sin cos 4 sin cos g( ) g ( ) 4 cos sin 4cos 4cos + Haciendo y cos ( ) : 4 4cos 4cos 4y 4y ± 6 6 π / 4 y arccos 8 ± π / 4 caen fuera del intervalo de búsqueda g π π es continua en,. Además: 8 sin( ) cos ( ) g ( ) 6 4 8cos cos + 6cos Por consiguiente, los puntos singulares de g ( ) de la solución. En otras palabras, Se anula en el punto Por tanto el mayor valor absoluto de siguientes: π, π ó π. π π π en,. g se alcanza en alguno de los tres puntos que será el único etremo relativo de g ( ) g π ; g π 0; g π

7 Es decir, no podríamos asegurar que g( ) se trata de una contracción. Sin embargo, en este caso sí lo es (recordemos que es una condición suficiente pero no necesaria). De hecho, el método de Newton converge: cos ( ) sin ( k+ ), k,, ( ) π g cos sin g g g g π En definitiva, la solución es Se sabe que la ecuación no lineal 4 0 posee una raíz en el intervalo [.5, ] y se desea determinar dicha raíz utilizando un método de punto fijo. Para ello se proponen los siguientes métodos: ( 4) + Se pide: a) Comprobar si alguno de los métodos anteriores es convergente en el intervalo [.5, ]. b) En caso de que alguno de los métodos propuestos fuera convergente, realizar al menos tres iteraciones con ese método a partir del punto ( 0).5 Solución: + 4 g 8 g ( ) ( ) es continua en [ ].5,. /

8 g ( ) es continua en [ ] etremos en [.5, ]:.5, (el único punto singular es 0). Veamos cuales son sus ( ) ( ) 0 tiene solución sólo en que cae fuera de [ ] g.5,. Por tanto 4 g no tiene etremos relativos en este intervalo. Veamos cuales son los etremos absolutos: g (.5) ; g () Por consiguiente, g ( ) no es menor que [ 5., ] asegurar que g ( ) sea una contracción en [.5, ]. Es decir, g para encontrar la raíz buscada. y, por tanto no se puede no podría usarse g ( ) 4 es continua en [.5, ]. g ( ) g ( ) es continua en [.5, ] pero > /, g ( ) puede asegurar que g ( ) sea una contracción en [.5, ]. Es decir, g usarse para encontrar la raíz buscada. es mayor que, luego no se no podría g ( ) + 4 es continua en [ ].5,. ( ) ( + 4) ( ) es continua en [.5, ]. Veamos cuales son sus etremos en [ ] g g.5, : g 0 ( ) ( + ) no tiene solución. Por tanto g ( ) relativos. Veamos cuales son los etremos absolutos: g (.5) ; g () no tiene etremos Por consiguiente, g ( ) <, [.5,] y, por tanto se puede asegurar que g una contracción en [.5, ]. Es decir, g es es la única opción entre las propuestas de la que se puede asegurar que va a dar lugar a un método convergente.

9 ( 0) 5. ( + ) k k k g 4, k 0,, + g g g g