Aplicaciones de Ec. en Diferencias a la Economía
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- Elisa Herrera Casado
- hace 7 años
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1 Aplicaciones de Ec. en Diferencias a la Economía Economía Matemática. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 1 / 21
2 Nota previa sobre raices complejas Antes de ver algunos ejemplos aplicados a la economía, una nota sobre como llegamos a la expresión nal de la solución de la ec. en diferencias de segundo orden cuando tenemos raíces complejas. Partiamos de Teniamos luego que a1 2 complejas. y t+2 + a 1 y t+1 + a 2 y t = c 4a 2 < 0, entonces teniamos raices Habiamos llegado inicialmente a que la solución de la homogenea era entonces y t = A 1 (h + iv) t + A 2 (h iv) t (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 2 / 21
3 Nota previa sobre raices complejas Esto lo podemos pasar de coordenas catesianas a coordenadas polares usando: h R = cos θ v R = senθ R = p h 2 + v 2 = p a 2 = modulo del número complejo Entonces θ = ángulo del número complejo y t = A 1 R t ( h R + i v R )t + A 2 R t ( h i v R R )t ) y t = A 1 R t (cos θ + isenθ) t + A 2 R t (cos θ isenθ) t Aplicando teorema de De Moivre ((cos θ + isenθ) t =(cos θt + isenθt) y (cos θ isenθ) t =(cos θt isenθt)) y t = A 1 R t (cos θt + isenθt) + A 2 (cos θt isenθt) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 3 / 21
4 Nota sobre clase anterior Podemos ir un paso más y t = A 1 R t (cos θt + isenθt) + A 2 R t (cos θt isenθt) y t = R t ((A 1 + A 2 ) cos θt + (A 1 A 2 i)senθt) y t = R t (A 3 cos θt + A 4 senθt) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 4 / 21
5 El problema del consumidor El problema del consumidor en t es max U t = fc t+i g i=0 s.a. c t+i i=0 i=0 R i = A t + β i u(c t+i ), (1) i=0 y t+i R i R = 1 + r; A t =activos, y t =ingreso, c t =consumo, u 0 (c t ) > 0, u 00 (c t ) < 0. β = 1 1+ρ es el factor de descuento (ρ es la tasa de descuento). (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 5 / 21
6 Un problema simpli cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " L = β i y t+i u(c t+i ) + λ A t + R i i=0 i=0 i=0 c t+i R i #, (2) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 6 / 21
7 Un problema simpli cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " L = β i y t+i u(c t+i ) + λ A t + R i i=0 i=0 Entonces las (T ) condiciones de primer orden son: i=0 c t+i R i #, (2) L c t = u 0 (c t ) λ = 0, (3) L c t+1 = βu 0 (c t+1 ) λ R = 0,... (4) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 6 / 21
8 Un problema simpli cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " L = β i y t+i u(c t+i ) + λ A t + R i i=0 i=0 Entonces las (T ) condiciones de primer orden son: i=0 c t+i R i #, (2) L c t = u 0 (c t ) λ = 0, (3) L c t+1 = βu 0 (c t+1 ) λ R = 0,... (4) Entonces: u 0 (c t ) = βru 0 (c t+1 ) (5) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 6 / 21
9 Un problema simpli cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " L = β i y t+i u(c t+i ) + λ A t + R i i=0 i=0 Entonces las (T ) condiciones de primer orden son: Entonces: i=0 c t+i R i #, (2) L c t = u 0 (c t ) λ = 0, (3) L c t+1 = βu 0 (c t+1 ) A esta ecuación se la llama ecuación de Euler. λ R = 0,... (4) u 0 (c t ) = βru 0 (c t+1 ) (5) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 6 / 21
10 Una función de utilidad especí ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u(c t ) = log c t (6) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 7 / 21
11 Una función de utilidad especí ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u(c t ) = log c t (6) Por tanto u 0 (c t ) = 1 c t (7) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 7 / 21
12 Una función de utilidad especí ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u(c t ) = log c t (6) Por tanto u 0 (c t ) = 1 c t (7) Entonces la ecuación de Euler se puede expresar como: 1 = βr 1 ) (8) c t c t+1 c t+1 = βrc t (9) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 7 / 21
13 Una función de utilidad especí ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u(c t ) = log c t (6) Por tanto u 0 (c t ) = 1 c t (7) Entonces la ecuación de Euler se puede expresar como: 1 = βr 1 ) (8) c t c t+1 c t+1 = βrc t (9) Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 7 / 21
14 Una función de utilidad especí ca Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 8 / 21
15 Una función de utilidad especí ca Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). Sabemos que la solución será de la siguiente forma: c t = c 0 (βr) t (10) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 8 / 21
16 Una función de utilidad especí ca Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). Sabemos que la solución será de la siguiente forma: c t = c 0 (βr) t (10) Tenemos que converge siempre y cuando (βr) < 1. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 8 / 21
17 El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 9 / 21
18 El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Q d t = B P t (11) Q s t = F P t (12) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 9 / 21
19 El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Q d t = B P t (11) Condición de equilibrio: Q s t = F P t (12) Q d t = Q s t (13) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 9 / 21
20 El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Condición de equilibrio: Q d t = B P t (11) Q s t = F P t (12) Q d t = Q s t (13) La primera es una ecuación de demanda usual. La cantidad de cerdos demandados depende negativamente de su precio. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 9 / 21
21 El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Condición de equilibrio: Q d t = B P t (11) Q s t = F P t (12) Q d t = Q s t (13) La primera es una ecuación de demanda usual. La cantidad de cerdos demandados depende negativamente de su precio. La cantidad ofertada depende positivamente del precio del cerdo del período anterior. Esto se debe a que lleva cierto tiempo el lograr cerdos adultos para la venta. Es decir la decisión de generar y vender más cerdos se toma en el período anterior con el precio de ese período. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 9 / 21
22 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos P t = 0.5P t 1 + (B + F ) (14) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 10 / 21
23 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Resolvamos esta ecuación en diferencias. P t = 0.5P t 1 + (B + F ) (14) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 10 / 21
24 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos P t = 0.5P t 1 + (B + F ) (14) Resolvamos esta ecuación en diferencias. Ecuación homogenea: P t = 0.5P t 1 (15) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 10 / 21
25 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos P t = 0.5P t 1 + (B + F ) (14) Resolvamos esta ecuación en diferencias. Ecuación homogenea: P t = 0.5P t 1 (15) La solución toma la forma Ab t. Más particularmente: A( 0.5) t. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 10 / 21
26 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Resolvamos esta ecuación en diferencias. Ecuación homogenea: P t = 0.5P t 1 + (B + F ) (14) P t = 0.5P t 1 (15) La solución toma la forma Ab t. Más particularmente: A( 0.5) t. Encontremos la solución particular. Probemos con la constante P P = 0.5P + (B + F ) ) (16) P = 1 (B + F ) (17) 2 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 10 / 21
27 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Entonces la solución puede expresarse como: P t = A( 0.5) t + 1 (B + F ) (18) 2 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 11 / 21
28 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Entonces la solución puede expresarse como: P t = A( 0.5) t + 1 (B + F ) (18) 2 Si tenemos el precio en el momento cero, podemos encontrar la constante A: P 0 = A + 1 (B + F ) ) (19) 2 1 A = P 0 (B + F ) (20) 2 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 11 / 21
29 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Entonces la solución puede expresarse como: P t = A( 0.5) t + 1 (B + F ) (18) 2 Si tenemos el precio en el momento cero, podemos encontrar la constante A: P 0 = A + 1 (B + F ) ) (19) 2 1 A = P 0 (B + F ) (20) 2 Entonces la solución del modelo del ciclo del precio de los cerdos es: 1 P t = P 0 2 (B + F ) ( 0.5) t + 1 (B + F ) (21) 2 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 11 / 21
30 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 12 / 21
31 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. Primero veamos el equilibrio (de estado estacionario). El equilibrio de estado estacionario lo de nimos como P t = P t 1 (es decir cuando el precio no se está moviendo). Imponemos la condición de equilibrio a (14). Entonces: P = 0.5P + (B + F ) ) (22) P = 1 (B + F ) (23) 2 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 12 / 21
32 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. Primero veamos el equilibrio (de estado estacionario). El equilibrio de estado estacionario lo de nimos como P t = P t 1 (es decir cuando el precio no se está moviendo). Imponemos la condición de equilibrio a (14). Entonces: P = 0.5P + (B + F ) ) (22) P = 1 (B + F ) (23) 2 La convergencia al equilibrio está dada por el término ( 0.5) t de la solución: 1 P t = P 0 2 (B + F ) ( 0.5) t + 1 (B + F ) (24) 2 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 12 / 21
33 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. Primero veamos el equilibrio (de estado estacionario). El equilibrio de estado estacionario lo de nimos como P t = P t 1 (es decir cuando el precio no se está moviendo). Imponemos la condición de equilibrio a (14). Entonces: P = 0.5P + (B + F ) ) (22) P = 1 (B + F ) (23) 2 La convergencia al equilibrio está dada por el término ( 0.5) t de la solución: 1 P t = P 0 2 (B + F ) ( 0.5) t + 1 (B + F ) (24) 2 Dado que ( 0.5) esta entre 0 y -1 sabemos que tendremos una convergencia oscilatoria al equilibrio, siempre que partamos de una situación de desequilibrio. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 12 / 21
34 El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Supongamos que partimos de un P 0 = 1 y que B = F = 5. Simulemos la convergencia. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 13 / 21
35 El precio de los activos Qué es lo que determina el precio de una acción? Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 14 / 21
36 El precio de los activos Qué es lo que determina el precio de una acción? Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? Básicamente por 2 razones: ellos esperan recibir los dividendos que estas acciones pagan y además porque pueden tener la esperanza de que el precio de las mismas suban. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 14 / 21
37 El precio de los activos Qué es lo que determina el precio de una acción? Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? Básicamente por 2 razones: ellos esperan recibir los dividendos que estas acciones pagan y además porque pueden tener la esperanza de que el precio de las mismas suban. Un modelo simple (donde ignoramos las expectativas de los agentes!) puede ser formulado de la siguiente forma: P t = P t+1 + d t r (25) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 14 / 21
38 El precio de los activos Qué es lo que determina el precio de una acción? Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? Básicamente por 2 razones: ellos esperan recibir los dividendos que estas acciones pagan y además porque pueden tener la esperanza de que el precio de las mismas suban. Un modelo simple (donde ignoramos las expectativas de los agentes!) puede ser formulado de la siguiente forma: P t = P t+1 + d t r (25) Es decir, el precio que estamos dispuestos a pagar por la acción depende de los dividendos que podemos recibir en el próximo período y el precio de la acción en ese período. Ambos descontados al día de hoy por la tasa de interés. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 14 / 21
39 El precio de los activos Notar que P t = P t+1 + d t r P t+1 = P t+2 + d t r P t+2 = P t+3 + d t r... P t+n 1 = P t+n + d t+n 1 + r (26) (27) (28) (29) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 15 / 21
40 El precio de los activos Notar que P t = Pt+2 +d t+2 1+r P t = P t+1 + d t r P t+1 = P t+2 + d t r P t+2 = P t+3 + d t r... P t+n 1 = P t+n + d t+n 1 + r Si utilizar el P t+1 de la ecuación (27) en la ecuación (26): + d t r = P t+2 + d t+2 (1 + r) 2 + d t r (26) (27) (28) (29) (30) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 15 / 21
41 El precio de los activos Ahora podemos utilizar el P t+2 de la ecuación (28) en la ecuación (30): Pt+3 +d t+3 1+r + d t+2 P t = (1 + r) 2 + d t r ) (31) P t = P t+3 (1 + r) 3 + d t+3 (1 + r) 3 + d t+2 (1 + r) 2 + d t r (32) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 16 / 21
42 El precio de los activos Ahora podemos utilizar el P t+2 de la ecuación (28) en la ecuación (30): Pt+3 +d t+3 1+r + d t+2 P t = (1 + r) 2 + d t r ) (31) P t = P t+3 (1 + r) 3 + d t+3 (1 + r) 3 + d t+2 (1 + r) 2 + d t r Si seguimos repitiendo este procedimiento hasta el momento t + n: (32) P t = d t r d t+n (1 + r) n + P t+n (1 + r) n (33) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 16 / 21
43 El precio de los activos Ahora podemos utilizar el P t+2 de la ecuación (28) en la ecuación (30): Pt+3 +d t+3 1+r + d t+2 P t = (1 + r) 2 + d t r ) (31) P t = P t+3 (1 + r) 3 + d t+3 (1 + r) 3 + d t+2 (1 + r) 2 + d t r Si seguimos repitiendo este procedimiento hasta el momento t + n: (32) P t = d t r d t+n (1 + r) n + P t+n (1 + r) n (33) Si hacemos que n! tendremos: P t+n P t = lim n! (1 + r) n + (1 + r) i (34) i=1 d t+i (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 16 / 21
44 El precio de los activos Si suponemos que no existes burbujas en este mercado, es decir que los precios no pueden crecer hasta in nito tendremos que P lim t+n = 0 y entonces n! (1+r ) n P t = i=1 d t+i (1 + r) i (35) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 17 / 21
45 El precio de los activos Si suponemos que no existes burbujas en este mercado, es decir que los precios no pueden crecer hasta in nito tendremos que P lim t+n = 0 y entonces n! (1+r ) n P t = i=1 d t+i (1 + r) i (35) Ahora si suponemos que los dividendos son constantes entonces tenemos que: P t = d 1 (1 + r) (1 + r) i (36) i=0 (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 17 / 21
46 El precio de los activos Si suponemos que no existes burbujas en este mercado, es decir que los precios no pueden crecer hasta in nito tendremos que P lim t+n = 0 y entonces n! (1+r ) n P t = i=1 d t+i (1 + r) i (35) Ahora si suponemos que los dividendos son constantes entonces tenemos que: P t = d 1 (1 + r) (1 + r) i (36) i=0 Notar que 1 (1+r ) i=0 i = i=0 1 i 1+r = r = 1+r r. Entonces P t = d r (37) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 17 / 21
47 El precio de los activos Ahora si los dividendos son constantes nosotros podemos resolver el problema usando la sol. de la ec. en diferencias (25) P t = P t+1 + d 1 + r (25) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 18 / 21
48 El precio de los activos Ahora si los dividendos son constantes nosotros podemos resolver el problema usando la sol. de la ec. en diferencias (25) P t = P t+1 + d 1 + r (25) Esto se puede expresar como: P t+1 = (1 + r)p t d (38) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 18 / 21
49 El precio de los activos Ahora si los dividendos son constantes nosotros podemos resolver el problema usando la sol. de la ec. en diferencias (25) P t = P t+1 + d 1 + r (25) Esto se puede expresar como: P t+1 = (1 + r)p t d (38) La solución particular es ("el equilibrio"): P = (1 + r)p d ) (39) P = d r (40) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 18 / 21
50 El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: P t+1 = (1 + r)p t (41) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 19 / 21
51 El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: P t+1 = (1 + r)p t (41) Probemos con la solución Ab t : Ab t+1 = (1 + r)ab t ) b = 1 + r (42) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 19 / 21
52 El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: P t+1 = (1 + r)p t (41) Probemos con la solución Ab t : Ab t+1 = (1 + r)ab t ) b = 1 + r (42) Entonces: P t = A(1 + r) t (43) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 19 / 21
53 El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: P t+1 = (1 + r)p t (41) Probemos con la solución Ab t : Ab t+1 = (1 + r)ab t ) b = 1 + r (42) Entonces: P t = A(1 + r) t (43) Entonces la solución general es: P t = A(1 + r) t + d r (44) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 19 / 21
54 El precio de los activos Si conocemos P 0 podemos determinar A: P 0 = A + d r ) (45) A = P 0 d r (46) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 20 / 21
55 El precio de los activos Si conocemos P 0 podemos determinar A: P 0 = A + d r ) (45) A = P 0 d r (46) Por tanto: P t = P 0 d (1 + r) t + d r r (47) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 20 / 21
56 El precio de los activos Por tanto: P t = P 0 d (1 + r) t + d r r (48) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 21 / 21
57 El precio de los activos Por tanto: P t = P 0 d (1 + r) t + d r r (48) Notar que como (1 + r) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a d r. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 21 / 21
58 El precio de los activos Por tanto: P t = P 0 d (1 + r) t + d r r (48) Notar que como (1 + r) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a d r. La única forma de que el precio no tienda a in nito es que P 0 = d r. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 21 / 21
59 El precio de los activos Por tanto: P t = P 0 d (1 + r) t + d r r (48) Notar que como (1 + r) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a d r. La única forma de que el precio no tienda a in nito es que P 0 = d r. Precisamente a este precio habíamos llegado antes suponiendo que no existían burbujas en el mercado de acciones. (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 21 / 21
60 El precio de los activos Por tanto: P t = P 0 d (1 + r) t + d r r (48) Notar que como (1 + r) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a d r. La única forma de que el precio no tienda a in nito es que P 0 = d r. Precisamente a este precio habíamos llegado antes suponiendo que no existían burbujas en el mercado de acciones. Por tanto hemos llegado por dos vías alternativas a que el precio en un mercado de acciones donde no existen burbujas debe ser: P t = d r. (49) (FCEA, UdelaR) Aplicaciones 21 / 21
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