Para hacer el b, primero pasamos a binómica, luego a polar y, por fin, operamos. ( 1) = 32i

Transcripción

1 1.- a) Expresar en forma binómica el número: b) Calcular: z 1 i 3 ı w 3 i Para realizar el apartado a, lo primero que hay que hacer es escribir el conjugado del denominador y luego hacer la división (es decir, multiplicar arriba y abajo por el conjugado del denominador). Por lo tanto: z 1 i 3 + i 1 i 3 + i 3 i (1 i) (3 i) 3 i 3i + i 3 4i + ( 1) 3 i 3 i 4i 9 ( 1) 1 i Para hacer el b, primero pasamos a binómica, luego a polar y, por fin, operamos 3 i 3 i i 3 i 3 i i i ( 1) 3i Para escribir 3i en forma polar, hemos de recordar que es como si tuviéramos 0+3i, es decir: módulo argumento arc tan 3 0 arc tan Por lo tanto, hemos de calcular la raíz quinta de 3. Por lo tanto: w 3 Para hacerlo calculamos por separado el módulo y el argumento: módulo 3 + k argumento, con k 0, 1,, 3 y 4 Por lo tanto, generamos las cinco soluciones calculando los cinco argumentos. α + 0 α

2 α α α Sean v 1 (1,0,0,); v (0,,0,0); v 3 (,,0,4); v 4 (3,1,0,6) y v (0,-1,0,0) un conjunto de vectores generadores de V R. Sea w(4,3,0,8). a) Calcula la dimensión de V, una base A del mismo y di si w pertenece o no a V y encuentra sus coordenadas en la base encontrada. b) Sean los vectores: e v v e 4v + v Y sea B el espacio generado por ellos. Encontrad la matriz de cambio de base de B a A. De entrada, ya sabemos que los cinco vectores son Linealmente Dependientes porque estamos en un espacio incluido en R 4. Además, el quinto vector es proporcional al segundo, por lo que trabajaremos con los primeros cuatro vectores. Calculamos: Ya que tiene una columna de ceros Por lo tanto, V no tiene dimensión 4. Busquemos menores de orden 3. Tomo el menor que obtengo al prescindir de la tercera columna y la primera fila y obtengo: ( 6 3 4) Tomamos el menor que obtengo al prescindir de la tercera columna y la segunda fila y obtengo: ( 6 1 4) ( 1 3 ) Tomamos el menor que obtengo al prescindir de la tercera columna y la tercera fila y obtengo: (1 6 3 ) Y tomamos el menor que obtengo al prescindir de la tercera columna y la cuarta fila y obtengo:

3 (1 4 ) Por lo tanto, V no tiene dimensión 3 y hemos de buscar menores de orden, pero con mirar el de arriba a la izquierda ya triunfamos, así que: Por lo tanto V tiene dimensión, una base de V es la formada por (1,0,0,) y (0,,0,0) y, para saber si w pertenece a V, intentamos ponerlo como combinación lineal de los vectores de la base. Es decir: (4,3,0,8) α (1,0,0,) + β (0,,0,0) Que nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: Y cuya solución es: 4 α 3 β α α 4 β 3 Por lo tanto, w SI que pertenece a V y sus coordenadas son 4,. b) Para encontrar la matriz de cambio de base hemos de expresar los vectores de B como combinación lineal de los de A, pero así es precisamente como nos los definen, así que la matriz de cambio de base será, directamente: 3.- Dado el sistema: (m + 4) x y m + 4 3x + m y m + 6 Discutir el sistema en función de m y solucionarlo cuando sea compatible. La matriz asociada al sistema es: m m m m + 6 Para meter un cero debajo de m+4, sustituiremos la segunda fila por una combinación lineal de -3 F1 + (m+4) F. Y posteriormente estudiaremos el caso m+40.

4 m m m + 4 m 3 m m m + 4m + 3 m + m + 4 3m 1 m m m + 4m + 3 m + 7 Al igualar a cero los dos polinomios que obtenemos nos queda: m m 7 ± m + 4m m 4 ± Si m-3 nos queda: 7 ± 1 4 ± ( 3) + 4 ( 3) + 3 ( 3) ( 3) Por lo que nos queda un SCI cuya solución es: Tenemos una recta. Si m-1 nos queda: x y 1 y x ( 1) + 4 ( 1) + 3 ( 1) ( 1) Que nos genera la ecuación 06 y por lo tanto es un Sistema Incompatible. Nos queda estudiar en detalle el caso m-4, pero este lo hemos de estudiar en la matriz original ya que al meter el cero hemos multiplicado por (m+4), es decir por 0 y eso no es aceptable. Por lo tanto tenemos que: De la primera sacamos que y0 y al sustituir en la segunda tenemos que: 3x x 3 Por lo que se trata de un SCD. En todos los demás casos tenemos un SCD. Nos faltaría resolver este todos los demás casos, pero a partir de la matriz triangular es muy sencillo: m m m + 4m + 3 m + 7

5 De la segunda sacamos que: y m + 7 m + 4m + 3 Y por lo tanto, al sustituir en la primera, tenemos que: Por lo tanto: (m + 4)(m + 3) (m + 3)() m + 4 (m + 4)x m + 4 m + 4 m + 4 (m + 4)x (m + 4) + (m + 4)() + (m + 4) (m + 4)[() + 1] (m + 4)(m + ) (m + 4)(m + ) x ()(m + 4) m + x m + 4 y m Sea f la aplicación lineal de R 3 en R 3 definida por: f( 1,1,0) (1,1,1) f(0,1,0) (1,1,1) f(1,1,1) (,,) a) Demostrad que (-1,1,0), (0,1,0) y (1,1,1) son una base de R 3. b) Decid cuál es la dimensión de la imagen de f. Es exhaustiva? c) Decid cuál es la dimensión del núcleo de f. Es inyectiva? d) Diagonaliza? Justificad la respuesta. a) Como que son 3 vectores de R 3 (que es un espacio de dimensión 3), para saber si son base, sólo hemos de mirar si son L.I., es decir: Por lo tanto son L.I. y son base ( 1 0) b) Los vectores que generan Im f son las imágenes de los vectores de la base. Así que, para calcular la dimensión de Im f hemos de calcular: No hace falta ser un genio para ver que tiene dos columnas repetidas y la tercera proporcional. Y nos pasará lo mismo con los menores de orden, por lo tanto, ya se ve que: dim Imf 1 Como que la dimensión de Im f NO es igual a la dimensión del espacio de llegada podemos decir que f NO es exhaustiva. c) Para calcular el núcleo resolvemos el sistema homogéneo asociado a la matriz de f:, es decir:

6 1 1 x y z 0 Pero esto se nos traduce en una única ecuación que es: Y por tanto su solución es: x + y + z 0 x y z 1 x y z y y + 0 y 1 + z 0 z 0 z 0 1 Y la dimensión del núcleo de f es. Como que la dimensión del núcleo NO es 0, entonces f NO es inyectiva. d) Para saber si diagonaliza calculamos: 1 λ 1 det(a λ I) 1 1 λ 1 1 λ (1 λ) 1 λ 1 λ λ 1 λ 1 1 (1 λ) [(1 λ)( λ) ] 1 [1 ( λ) 1 ] + [1 1 1 (1 λ)] (1 λ) [ λ λ + λ ] [ λ ] + [1 1 + λ] (1 λ)(λ 3λ) + λ + λ λ 3λ λ + 3λ + 3λ λ + 4λ λ (4 λ) Si lo igualamos a 0 tenemos que las raíces son: λ 0 (doble) λ 4 Por lo tanto, para saber si diagonaliza hemos de saber si el valor propio λ 0 nos genera uno ó dos vectores propios, pero eso ya lo hemos hecho!!!!! Al calcular el núcleo de f ya hemos resuelto el caso λ 0 y nos salían dos vectores asociados al núcleo. Por lo tanto, si tomamos la base formada por los dos vectores generadores del núcleo y el asociado a λ 4 (que no hemos calculado), la matriz diagonal sería: