RAFAEL RAMÍREZ ROS. = 128 e iπ/3, = ei5π/6. 2. Los resultados expresados en forma cartesiana (es decir, en forma binomial) son: i = ± 2/2 + i

Transcripción

1 SOLUCIONES DE ÁLGEBRA LINEAL VERSIÓN 3 7/9/ RAFAEL RAMÍREZ ROS Índice Complejos Polinomios Espacios Vectoriales 3 3 Matrices 6 4 Aplicaciones Lineales 8 5 Determinantes 6 Diagonalización 3 7 Jordan 6 Complejos En forma exponencial la polar se deduce fácilmente de la exponencial queda: i 3 e i5π/4 + 3 e i3π/ i 8 e iπ/ i i 6 e i4π/3 6 + i i 4 8 ei5π/6 Los resultados expresados en forma cartesiana es decir en forma binomial son: i ± / + i / 3 i 3/ i/ + 3/ i/ + i e iπ/3 + i i + i 5 / + i 3/ i 3 3 i 3 a 3/ 4 El cero y las seis raices sextas de la unidad Es decir z y z e ikπ/3 con k 5 5 Un número complejo z cumple la ecuación z z i z si y sólo si Re z ± 3 Im z Obtenemos por tanto el par de rectas que pasan por el origen y forman un ángulo de π/6 radianes es decir treinta grados con el eje real

2 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 6 Hay dos soluciones: z i z i 7 La suma da cero De hecho la suma de las n raíces n-enésimas de un número complejo siempre da cero 8 Hay dos soluciones La primera está formada por los números y +i La segunda está formada por los números y i 9 B 4 5 y D Hay dos soluciones: C + i y C i Hay dos soluciones: z ± i Polinomios a P P P y P 4 Se deduce que x es una raíz triple del polinomio P x b P x x 3 x + x + en R[x] P x x x i x + 3 i en C[x] λ µ 3 Si a 4 entonces x es una raíz doble Si a 4 entonces x es una raíz doble No hay más posibilidades 4 P x n j xj j! no tiene raíces múltiples 5 a mcd[p x Qx] x mcm[p x Qx] x 4 5x 3 + 9x 8x + 4 P x 3 y Q x 3 x + b mcd[p x Qx] x 3 3x + 3x x 3 mcm[p x Qx] x 6 6x 5 + x 4 4x 3 9x + x 3 P x 8 y Q x 8 x + 3 c mcd[p x Qx] ; es decir los polinomios son primos mcm[p x Qx] P x Qx x 6 7x 5 + x 4 + 4x 3 59x + 57x 8 P x 4 6 7x y Q x 4 7x3 + 4x + x a P x 3x + x 8 3x + x 4/3 b La raíz común es x Además P x x + x 3 c mcd[p x P x] x + d P x 9 5 y Q x 5 3x + 7 a b 5 a 3 b mcd[x 5 a x 3 b] x a b mcm[x 5 a x 3 b] x 7 + a b x 6 + a b 4 x 5 ax b x a b 4 c mcd[x 5 3 x 3 8] x mcm[x 5 3 x 3 8] x 7 + x 6 + 4x 5 3x 64x 8 8 P x 8 + 3x + 33x + 5x 3 + 9x 4 + x 5 El resto de dividir P x entre Qx x 3 es Rx 8 + 3x + 33x 9 a El resto de dividir P x x n nx n+ 3x + entre Qx x es Rx n + 3n 3x + n n + 3n 3x n n + 3 b El resto de dividir P x nx n+ n + x n+ + n + x n entre Qx x 3 es Rx Es decir Qx divide a P x a El resto de dividir P x entre Qx x x es Rx x + 3 b El resto de dividir P x entre Qx x 3 x es Rx x + x + Hay dos soluciones: a ± 5 Si m entonces x es una raíz común Es la única posibilidad 3 P x x 4 + x 5 x x + 5x + x 4 P x 5x 7 x x 3 35x/6

3 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 3 5 La primera descomposición viene dada por 5x x x + x + x + 5 x + x x x + x + 5 x + 7 x + 9 i x + i Usando que x 3 6x + x 6 x x x 3 obtenemos 3x + x 3 6x + x 6 x 3 x + 4 x i x i Usando que x 5 5x 4 + 7x 3 x + 4x 8 x 3 x + x + obtenemos 53x x 5 5x 4 + 7x 3 x + 4x 8 x + x x x x + x + x + x x 3 α x β ᾱ x β donde α i ᾱ i β 3 i y β + 3 i Usando que x 3 3ax + + 3a x a 3 + a x ax ax + + a obtenemos x 3 3ax + + 3a x a 3 + a 6 La descomposición es x a x a x ax + + a x a / x a i / x a + i x a 8 x b 4 ga x a 8 + g a x a g6 a/6! x a + g7 a/7! + x a fb x b 4 + f b x b 3 + f b/ x b + f 3 b/3! x b donde fx x a 8 y gx x b 4 7 a Qx + αx 3 y Rx + β x 3 b P x αx + 3 c Sx βx 3 d f C R α β / f C R α β / y f nunca es de clase C 3 R e Cuando α β / los polinomios son P x x + 3 / Qx x 3 / Rx + x 3 / Sx x 3 / Se obtiene el típico dibujo de campana de los B-splines Espacios Vectoriales a F sí G sí b F sí G sí c F sí G no d F sí G no i Sean x y z t las coordenadas en R 4 Entonces: a Linealmente dependientes Una base es Una posible ecuación es {7x y + z 7t } b Linealmente independientes luego son una base Una posible ecuación es {x y }

4 4 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf c Linealmente dependientes Una base es 3 4 Unas posibles ecuaciones son {x y z x + y t } d Linealmente dependientes Una base es 3 Una posible ecuación es {7x + 3y z t } e Linealmente independientes luego son una base de R 4 f Linealmente independientes luego son una base Una posible ecuación es {7x + 5y + z t } ii Son linealmente independientes y una base de R 3 No tiene ecuaciones iii No se pueden dar las ecuaciones ya que dim F R R a Son linealmente dependientes Una base es e iπt b Son linealmente independientes luego son una base 3 a Una base de U es Una base de V es b Una base de F es x x 3 x x + x 3 3x + 3x c Una base de G es d Una base de F es 3 Una base de G es e Una base de H es x x x 3 x f Una base de I es 4 a U {x y z t R 4 : x + y + z 5x + y t } V {x y z t R 4 : x y z x t } b F {a + a x + a x + a 3 x 3 R 3 [x] : 3a a a a 3 } { } a b c G M c d R : a + d b c d U {x y z t R 4 : x y + 3z t } V {x y z t R 4 : x } e F {a + a x + a x R [x] : 9a 4a + 6a } { } a b f G M c d R : a 4b + c + d 5 a Sí Una base es x x b Sí Una base es x + 3 x 6 a Es una demostración b e + + e n u u 3u 3 n u n + nu n 7 a F {x y z t R 4 : 3x y 5z t } b Una base de G es c F G {x y z t R 4 : 3x y 5z t x y + z + t } Una base de F G es 3 4 F + G R 4 8 a dim V y dim V Una base de V es Una base de V es 3 b Si u x y z R 3 la descomposidión u u + u u V u V es: u u 5x y z 6 x + y + z 6 x + y z 3 x y + z x + y + z x + y + z 3

5 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 5 9 a Una base de F + F es + t + t + t t t 3 + t + t 3 Una base de F F es + t t t 3 La suma F + F no es directa y tampoco es igual a E R 3 [t] b Una base de F + F es t t t 3 Una base de F F es t La suma F + F no es directa aunque si es igual a E R 3 [t] a La suma F + G no es directa aunque si es igual a M R b F G M R Si notamos por G a un complementario de F en E entonces a G [ ] b G [x 3 ] [ c G d G [ x ] e G {} [ ya que ] F E f G ] a dim F Una base de F es x x 3 b Sí c G R [x] [ x] [ x ] 3 a dim F Una base de F es b Sí Sí [ Sí ] c G 4 a dim F y dim G F [t t] y G R [t] [ t] b t 5t + G 3t 4 G No son únicos: λ µ 4 λ 7 µ y λ µ µ R c dim F G y dim F + G 3 F G {} y F + G R [t] [ t t ] La suma F + G es directa d Una base de un complementario de F + G en R 3 [t] es t 3 5 a Es una demostración b dim F y dim H c Una base de F es x x 3 Una base de H es x 3 x + x d dim F H y dim F + H 3 F H {} Una base de F + H es x x x 3 e Una base de un complementario de F en R 3 [x] es x Una base de un complementario de H en R 3 [x] es x x 6 a Es una demostración b Es una demostración c dim F y dim G Una base de G es a Es una demostración b Es una demostración c La suma es directa ya que dada una función hx F R R existen unas únicas funciones fx P y gx I tales que hx fx + gx: fx hx + h x gx 8 a Una base de R 3 /F es + F b Una base de R 3 /F es + F + F hx h x

6 6 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 9 a + F b Sí c Sí No No Sí Una base de R 5 /F es u + F u + F con u y u + F u + F + u + F u + F Una base de R 5 /F es u + F u + F con u y u + F u + F + u + F u + F 3 dim M 6 dim N 7 y dimm + N 9 3 Matrices a Sistema compatible determinado siendo su solución X b Sistema incompatible c Sistema compatible indeterminado con grados de libertad siendo sus soluciones + a b X 5 a 5 b 3 a 3 b a b R a b d Si α y α el sistema es compatible determinado siendo su solución α X α α + α α + α Si α o α el sistema es incompatible e Sistema compatible indeterminado con grados de libertad siendo sus soluciones a b a b X a b a b a b R a Sistema compatible determinado siendo su solución X b Sistema compatible indeterminado con grados de libertad siendo sus soluciones a a a X a b R b + b b c Sistema incompatible d Sistema compatible indeterminado con grados de libertad siendo sus soluciones a X 4 3 a a b b 3 a b R 4 b a A a + b Si a entonces B a Si a entonces la matriz B no es invertible

7 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 7 c Si abc entonces C c bc ac bc b ab abc ac ab a Si abc entonces la matriz C no es invertible a a a n a n a a n 3 a n d D a n 4 a n 3 a 4 a El sistema es compatible determinado siendo su solución x x y x 3 b El sistema es compatible indeterminado con grados de libertad siendo sus soluciones x x 4 3 x 5 x 3 3 x 4 3 x 5 x x 4 x 5 x 4 x 5 R 5 a La resolución completa es muy larga La discusión de casos es la siguiente Caso Discusión a y b Compatible indeterminado con 3 grados de libertad a y b Incompatible a 3 y b Compatible indeterminado con grado de libertad a 3 y b Incompatible a 3 Compatible determinado b Al igual que en el apartado anterior nos limitamos a discutir el sistema Si a b c a el sistema es compatible determinado Si a b a c o b c pero ninguno de los números a b c es igual a uno el sistema es incompatible Si a b a c o b c y alguno de los números a b c es igual a uno el sistema es compatible indeterminado 6 El sistema es compatible y determinado La única solución del sistema viene dada por x x a x 3 a x n a n y x n+ a n 7 Si α el sistema es compatible indeterminado con 4 grados de libertad siendo sus soluciones a b a b X c d c d a b c d R Si α el sistema es incompatible Si α y α el sistema es compatible determinado siendo su solución X α + α + α + 8 Hay equilibrio cuando P D P D y P 3 D 3 Resolviendo el sistema queda P 3 P y P Las proporciones son 5 % 75 % y 5 % respectivamente a Compatible determinado con X y Y b Compatible determinado con X y Y a A 7 3 b Sí Es una demostración 3 El sistema A 8 X B es compatible y determinado pues det A 8 det A 8

8 8 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 4 a b y X Aplicaciones Lineales a Sí b No c Sí d No e Sí f f es lineal si y sólo si a a Es una demostración b Una base del núcleo es Una base de la imagen es c No No No 3 i a La matriz de f en las bases naturales es ii b La aplicación es inyectiva ya que Nuc f {} Una base de la imagen es a La matriz de f en las bases naturales es 4 b La aplicación es inyectiva ya que Nuc f {} Una base de la imagen es a Nuc f rango f < 3 det f p b Si p una base del núcleo es c Cuando f4 4 necesariamente p Si p una base de la imagen es 5 a Es una demostración b Una base de Nuc f es Una base de Im f es c Mf d Un complementario del núcleo en M R es [ ]

9 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 9 Un complementario de la imagen en M 3 R es [M M M M 3 M 3 M 33 ] donde M ij denota a la matriz de M 3 R cuyos elementos son todos nulos excepto el situado en la fila i y la columna j que es igual a uno 6 a Sí b Una base de Nuc f es luego dim Nuc f Una base de Im f es c La aplicación no es inyectiva ya que Nuc f {} La aplicación no es exhaustiva ya que rango f < dim M R 4 d La matriz de f en las bases u y v es Mv u f 3 7 Una posibilidad es la aplicación f : R 4 R definida por luego rango f dim Im f fx y z t x 3y + t y t La matriz de esta aplicación en las bases naturales es Mf La aplicación f es exhaustiva ya que rango f 8 a Nuc f [ ] e Im f [ 3 ] 3 b Una posible base es la formada por u u y u Una posible base u es la formada por u u y u 3 Nuc f; mientras que una posible base v es la formada por los vectores v fu v fu v 3 y v 4 a La matriz en la base natural es A b La matriz en la base u v w es B c Sí pues rango A 3 O también: Sí pues det A La aplicación inversa es f x y z x/3 x/3 y x + y + z La matriz de la inversa en la base natural es A 3 3 La matriz de la inversa en la base u v w es B d Es una comprobación Basta ver que A IdA 3Id También se puede comprobar viendo que el polinomio característico de la aplicación f es Q f t t t 3 pero eso corresponde a un tema posterior a Es una demostración [ ] [ b Nuc f y Nuc g a b b c a b c f g : y g f : c d b c c d d Es una demostración ]

10 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf e Las matrices de f en las bases e e e e 3 e 4 y u u u u 3 u 4 son Me e f M u u f a Es una demostración b Nuc f [] {} e Im f R[x] c Nuc g {} e Im g [x x x 3 ] {px R[x] : p } R[x] d f es exhaustiva pero no inyectiva g es inyectiva pero no exhaustiva e f g Id g f ya que f g : px px y g f : px px p f La moraleja de este problema es la siguiente: Los espacios de dimensión finita son más simples que los espacios de dimensión infinita Por ejemplo si E es un espacio de dimensión finita y tenemos dos endomorfismos f g : E E sabemos que: f es inyectiva si y sólo si f es exhaustiva f g Id g f Id g f f g Estas propiedades son falsas cuando dim E a La matriz de f en las bases naturales es A 4 b La matriz de f en las bases B y B 8 es B c Las coordenadas de la imagen del vector 3 B son 6 4 a La matriz de f en las bases B y B es A b f es biyectiva ya que det A c La matriz de f en las bases B y B es B 5 a Es una demostración b D M M D Id ya que D M : px px + xp x B M D : px xp x c No aunque la restricción de D al espacio R n [x] si es nilpotente 6 a Es una demostración b Queremos calcular la inversa de la aplicación f Id D donde D denota la derivada Sabemos que D n+ en los polinomios de grado n Por tanto usando la identidad Id D Id + D + D + + D n Id D n+ se obtiene que la aplicación f es invertible siendo su inversa f Id + D + D + + D n 7 Es un problema teórico 8 Es un problema teórico 9 Es un problema teórico El enunciado de este problema tiene un error tipográfico a Para probar que la aplicación f A : M R M R es lineal basta ver que a b b Si A c d f A β B + β B Aβ B + β B β B + β B A β AB B A + β AB B A β f A B + β f A B la matriz de f A es Mf A c b b a d b c d a c c b c El valor máximo respectivamente mínimo que puede alcanzar dim Nuc f A al variar la matriz A es 4 respectivamente Nota: [Id A] Nuc f A

11 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf [ ] d Si A entonces Nuc f A [Id A] Si A Id entonces Nuc f A M R a Basta comprobar que M + M + Id b Si escribimos la nueva base como u u u u 3 u 4 e ge e 3 ge 3 vemos que gu ge u gu g e ge e u u gu 3 ge 3 u 4 gu 4 g e 3 ge 3 e 3 u 3 u 4 Por tanto la matriz de g en la base u es M u u g c Una base de E e es u u e ge d Sí g es un endomorfismo de E e ya que E e es invariante por g La matriz de la restricción de g al subespacio invariante E e en la base u u es la parte superior izquierda de la matriz Mu u g; es decir 3 Es un problema teórico 4 Es un problema teórico 5 Es un problema teórico 6 a b c d i Dado un vector arbitrario x y z t F notamos x y z t fx y z t Entonces x y z t F ya que x + z 3x y 8z 9t + 4y + 9z + 3t 3 x + z + 4 y + z + t y + z + t 3x + 7y + 4z + 6t + 4y + 9z + 3t + 3x y 4z 7t 5 y + z + t ii Una base de F es u u donde u y u Para probar que F es invariante basta ver que fu F fu F 8 El subespacio F es invariante si y sólo si α

12 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 9 El subespacio F es invariante si y sólo si α El enunciado de este problema tiene un error tipográfico La aplicación debería ser fx y z αx + y z α 3x + α y + z y + α + z 3 Un subespacio complementario invariante de F [ + x ] en R [x] es G [x x ] Resulta muy interesante comparar este problema con el problema 8 del tema 6 diagonalización donde se probará que la aplicación f es diagonalizable siendo sus VAPs los números λ λ y λ 3 3 mientras que sus respectivos VEPs son los polinomios P x +x P x x y P 3 x x Importante: No se incluyen las soluciones de los problemas sobre dualidad ya que actualmente están fuera del temario 5 Determinantes a b 3 c x 3 x + 3 x 4 6x + 8x 3 d pues la cuarta fila es la semisuma de la tercera y la quinta e pues la segunda columna es la semisuma de la primera y la tercera f pues la primera columna es la semisuma de las otras dos Una manera de empezar consiste en restarle la primera fila a todas las demás Al hacer esto en cada una de las últimas filas aparece un factor común que se puede sacar fuera del determinante: a b en la segunda a c en la tercera y a d en la cuarta Además podemos desarrollar el determinate por la tercera columna que ha quedado llena de ceros El problema se acaba efectuando operaciones similares 3 D x x D 3 x 3 x x 3 x x x y D n i<j n x j x i 4 a Basta convertir la matriz dada en una matriz triangular inferior restándole a la primera fila los múltiplos adecuados de todas las demás filas b 7 5 Recordando las fórmulas del binomio de Newton vemos que el determinante de la matriz formada por los coeficientes de los polinomios p i x x a i 4 casi tiene la forma de un determinante de Van der Monde Una vez visto esto basta aplicar el problema 3 6 La matriz A tiene rango máximo y A 5 3 La matriz B no es invertible pues rangob 3 7 a Sistema compatible determinado: x x x 3 b Sistema compatible indeterminado: x x 3 x x 3 y x 3 queda libre c Sistema compatible indeterminado: x + x + x 5 x 3 x 6 x 4 + x 5 y x x 5 x 6 quedan libres 8 a det f pues la matriz de la aplicación f en la base natural de M R es la matriz identidad con las columnas segunda y tercera permutadas b det f ad bc det M 9 El determinante de una matriz no cambia si a una de sus columnas le sumamos una cl de las demás columnas Por tanto podemos substituir la quinta columna de la matriz A por c 5 c 5 + c 4 + c 3 + c + c Finalmente sacamos el 3 como factor común de la quinta columna y notamos que el determinante de la matriz que queda es un número entero pues todos sus elementos son enteros

13 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 3 a El polinomio característico es 6 Diagonalización Q A t t 3 + 5t 9t + 9 t 3 t + i t i Así pues la matriz A tiene tres VAPs simples dos complejos conjugados Por tanto A no diagonaliza ni en Q ni en R pero si diagonaliza en C b El polinomio característico es Q B t t 3 + 4t + 3t t + t t 5 7 Así pues la matriz B tiene tres VAPs simples dos reales pero no racionales Por tanto B no diagonaliza en Q pero si diagonaliza en R o C c El polinomio característico es Q C t t 3 t + y dim NucC Id 3 Por tanto la matriz C diagonaliza en los tres casos d El polinomio característico es Q D t t+t y dim NucD Id Por tanto la matriz D no diagonaliza en ningún caso a La matriz diagonaliza si y sólo si a f b La matriz diagonaliza siempre c La matriz diagonaliza si y sólo si bf + c 3 a La matriz de la aplicación f en la base natural es a + a 3 a b La aplicación f diagonaliza si y sólo si a 4 a Los VAPs son λ a + b + c + d λ a b λ 3 a c y λ 4 a d b Los VAPs son λ λ b a λ 3 a + b y λ 4 c 5 i a Los VAPs de la matriz A son λ λ y λ 3 4 b Una matriz diagonal D y una matriz invertible S tales que SD AS vienen dadas por D 4 S ii a Los VAPs de la matriz B son λ y λ λ 3 b Una matriz diagonal D y una matriz invertible S tales que SD BS vienen dadas por D S 6 i Q f t t 3 t + y dim Nucf Id 3 Por tanto la aplicación f diagonaliza Una base de VEPs es ii Q f t t t + dim Nucf Id y dim Nucf + Id Por tanto f diagonaliza Una base de VEPs es 7 Los VAPs de la aplicación f son λ α λ γ y λ 3 La coincidencia de dos VAPs es el principal obstáculo a la diagonalización de f En la siguiente tabla se listan los casos en que la aplicación f diagonaliza junto con una base de VEPs para cada caso

14 4 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf Caso Base de VEPs 3β α γ y α γ v α γ α+ 3 v β γ + y v 3 α γ y β v γ + 3 v y v 3 α γ y β v α + 3 v y v 3 8 a La matriz de f en la base x x es A b Los VAPs de f son λ λ y λ 3 3 Una base de VEPs es v + x x x c Una matriz diagonal D y un cambio de base B tales que D B AB vienen dados por D 3 B 9 a Si gr[p x] gr[lp x] gr[p x] + Si gr[p x] gr[lp x] gr[p x] b No ya que la imagen de L no contiene ningún polinomio de grado tres c Los VAPs de la aplicación L son λ λ y λ 3 3 Por tanto los polinomios o vectores propios de la aplicación son los elementos no nulos de los subespacios NucL Id [x ] NucL + Id [x x + ] y NucL 3Id [x + x + ] a La matriz A es invertible ya que det A a a Además A A 3Id a a a a b La matriz A siempre diagonaliza Una matriz diagonal D y una matriz de cambio de base S tales que D S AS vienen dadas por D S a a a a c A p SD p S 3 p + 3 p a 3 p p a 3 p p a 3 p p 3 p + 3 p a 3 p p a 3 p p a 3 p p 3 p + 3 p Supondremos que a pues de lo contrario A ya es diagonal La matriz A siempre diagonaliza Una matriz diagonal D y una matriz de cambio de base S tales que D S AS vienen dadas por D a a a S a Si λ es un VAP de f entonces P λ es un VAP de P f b Si λ es un VAP de f entonces λ es un VAP de f c Si D es una matriz diagonal de f entonces P D y D si f es invertible son matrices diagonales de P f y f respectivamente 3 i ab Una matriz diagonal D y una matriz de cambio de base S tales que D S MS vienen dadas por D 4 4 S

15 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 5 c Las soluciones diagonales de la ecuación Y DY + D Id son 4 Y Y d Si X SY S entonces X MX + M Id Y DY + D Id Por tanto unas soluciones de la ecuación X MX + M Id son X SY S X SY S 3 3 ii El enunciado tiene un error tipográfico El elemento situado en la tercera fila y tercera columna de la matriz N debería ser De lo contrario la matriz N tiene VAPs complejos conjugados y los cálculos son muy pesados ab Una matriz diagonal D y una matriz de cambio de base S tales que D S NS vienen dadas por D S c La única solución diagonal de la ecuación Y DY + D 3Id es Y d Si X SY S entonces X NX + N 3Id Y DY + D 3Id Por tanto una solución de la ecuación X NX + N 3Id es X SY S La matriz de la aplicación en la base natural es Me e f La matriz de la aplicación en la base natural es Me e f a El polinomio característico es Q f t tt y dim Nucf Id Por tanto la aplicación f no diagonaliza b Una base de F es la formada por los vectores u y u Además fu u y fu u u Por tanto el subespacio F es invariante La restricción f F no diagonaliza Una base de G es la formada por los vectores v y v Además fv v y fv Por tanto el subespacio G es invariante f G diagonaliza y su matriz es en la base v v v es diagonal: Mv v f G 7 a El polinomio característico de una matriz n n nilpotente A es Q A t t n b Q A+Id t Q A t t n En particular deta + Id Q A+Id c Es una demostración Indicación: Hay que distinguir el caso det B del caso det B 8 Es un problema teórico 9 Es un problema teórico

16 6 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 7 Jordan a El polinomio mínimo de f es P f t t 5 b La forma de Jordan de f es J diagj 5 J 4 J 3 donde J r λ es la matriz r r con λ s en la diagonal y unos en la subdiagonal Por ejemplo J λ λ y λ J λ λ a Hay dos casos: J diag3 3 3 J J y J diag3 3 3 J b Hay cuatro posibilidades: c Hay cinco posibilidades: J diagj 3 5 J J diagj 3 5 J 5 J 5 J diagj 3 5 J J diagj J diagj 3 a J 3 a J a J diagj 3 a J 3 a a a J diagj 3 a J a J a a J diagj 3 a J a a a a J diagj 3 a a a a a a d Suponiendo que a b la matriz diagonal J diaga a a a a b b es la única posibilidad 3 a Qt t 7 y P t t 3 b Qt t 3 3 t 4 t5 t y P t t 3 t 3 t 4t 5 c Qt a t 7 y P t t a 3 d Qt a t 7 y P t t a 3 4 Una matriz de Jordan J y una matriz invertible S tales que J S AS vienen dadas por J diagj 3 4 J S 5 Una matriz de Jordan J y una matriz invertible S tales que J S AS vienen dadas por: a J diagj y S b J diagj J c J J 4 d J diagj y S y S y S

17 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 7 e J J 4 y S f J diagj y S 6 Una matriz de Jordan J y una matriz invertible S tales que J S AS vienen dadas por: a Si a b c entonces J y S Id Si a b c y tr A : a + b + 3c entonces J diagj S a β + 3γ b β c γ donde β γ R pueden ser cualesquiera tales que det S βc γb Si tr A : a + b + 3c entonces J diag tr A b J J 6 tr A S y S b 3 a c a 5 a 4 a 3 a a 7 a Cuando α una base de Jordan tiene 7 VEPs linealmente independientes Si α una base de Jordan tiene 5 o 6 VEPs linealmente independientes Cuando α 3 una base de Jordan tiene 5 VEPs linealmente independientes Cuando α 4 una base de Jordan tiene 4 VEPs linealmente independientes b La aplicación f diagonaliza si y sólo si α c Sea u u u 7 una base de Jordan tal que la matriz de la aplicación f en la base u es la matriz de Jordan M u f J diagj 4 Los siguientes doce subespacios son invariantes: F G {} F [u 4 ] F [u 3 u 4 ] F 3 [u u 3 u 4 ] F 4 [u u u 3 u 4 ] G [u 5 ] G [u 6 ] G 3 [u 7 ] G 4 [u 5 u 6 ] G 5 [u 5 u 7 ] G 6 [u 6 u 7 ] y G 7 [u 5 u 6 u 7 ] De hecho también son invariantes los cuarenta subespacios F j G k j 4 k 7 8 A B β 9 a A A 3 y A A A 3 b Sea J la forma de Jordan común de A A y B A 3 Sean S A y S B dos matrices de cambio de base tales que S A AS A J S B BS B Entonces la matriz S S A S B cumple que B S AS Aplicando esta idea se obtiene que una posible solución es la matriz S

18 8 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf A B a b Cuando a b existen infinitas matrices invertibles S tales que A S BS Un par de estas matrices son: S S a La aplicación f diagonaliza si y sólo si α β b Cuando α una base de Jordan tiene 6 VEPs linealmente independientes Si α una base de Jordan tiene 4 o 5 VEPs linealmente independientes Si α 3 una base de Jordan tiene 3 o 4 VEPs linealmente independientes Cuando α 4 una base de Jordan tiene 3 VEPs linealmente independientes Cuando α 5 una base de Jordan tiene VEPs linealmente independientes c Hay dos casos: J diagj 3 3 J 3 J y J diagj J En el primer caso u u u 7 es una base de Jordan si y sólo si: u Nucf 3Id 3 \ Nucf 3Id u f 3Idu y u 3 f 3Idu u 4 Nucf 3Id \ Nucf 3Id y u 5 f 3Idu 4 u 6 Nucf + Id \ Nucf + Id y u 7 f + Idu 6 Los VEPs u 3 y u 5 son linealmente independientes En el segundo caso u u u 7 es una base de Jordan si y sólo si: u Nucf 3Id 3 \ Nucf 3Id u f 3Idu y u 3 f 3Idu u 4 y u 5 son VEPs de VAP tres: u 4 u 5 Nucf 3Id u 6 Nucf + Id \ Nucf + Id y u 7 f + Idu 6 Los VEPs u 3 u 4 y u 5 son linealmente independientes a Una forma de Jordan de M es J diagj b Una base de Jordan es u u u u 3 donde u u u 3 α / c Hay dos soluciones A + α / / α / y A A + d Hay varias soluciones Una de ellas es la matriz N Hay dos posibilidades: J diag y J diag En el primer caso la matriz de f en la base natural es A En el segundo caso la matriz de f en la base natural es A 4 Una forma de Jordan de la matriz A es J diagj J 3 3

19 Depositado en maupces/ rafael/al/solucionespdf 9 Una base de Jordan de la aplicación f es u u u u 3 u 4 donde u u u 3 u 4 En esta base la matriz de la aplicación es la anterior forma de Jordan: Mu u f J Por tanto la matriz de la aplicación f en la base natural e de R 4 es 4 Me e f Ce u Mu u fcu e SJS donde S C u e es la matriz del cambio de base de u a e 5 Acaban todos muertos ya que mientras un porcentaje de sanos enferma y otro de enfermos muere nigún enfermo sana y obviamente nigún muerto resucita 6 J A J B J n Una posible matriz S A s ij tiene todos los elementos nulos excepto los siguientes: s n s n s n 3 s n 34 s n n El cálculo de S B es demasiado complicado 7 a Q A t t 3 ct bt a b Si v entonces v Av y A v son li Por tanto gr[p A t] > y P A t Q A t c Q A t P A t n t n a n t n a t a