UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO RESUMEN. x = f (x,y) ɺ ɺ

Transcripción

1 UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO RESUMEN Las soluciones a un sistema de ecuaciones del tipo = f (,) = g(, ) puede representarse de manera gráfica de distintas formas. Una posibilidad es simplemente graficar las soluciones (t), (t). El problema de esto es que es necesario conocer, si no la solución eplícita, al menos su comportamiento cualitativo. Otra posibilidad es que, dada una solución (t) (t) = (t) ésta puede interpretarse como un conjunto de ecuaciones paramétricas de manera que para cada valor de t se tiene un punto (t) 2 en IR. Dados un punto inicial ( (0), (0) ) un intervalo de valores para t, los puntos puede hacerse en el plano los diagramas correspondientes son conocidos como DIAGRAMAS DE FASE. Debemos hacer notar que, dada que se trata de un sistema autónomo, dos traectorias solución distintos nunca se intersecan. En ocasiones, desconocemos la forma específica de las funciones f (, ) g(, ), pero sabemos algunos de sus propiedades, como el que sean doblemente diferenciables o el signo de sus derivadas parciales. Esta situación es sumamente común en economía, a que frecuentemente se tienen funciones genéricas se desean conclusiones generales de tipo cualitativo. PERTINENCIA DEL TEMA ABORDADO En muchos casos uno se encuentra con ecuaciones diferenciales que no es posible resolver eplícitamente. El análisis cualitativo es una herramienta que nos auda a estudiar el comportamiento del sistema a pesar de que no tengamos una solución analítica eplícita. Para llevar a cabo este tipo de análisis se utilizan las diagramas de fase. DIAGRAMAS DE FASE MARCO TEÓRICO El análisis gráfico de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas = f (,) = g(, ) sirve para determinar el comportamiento de los puntos de equilibrio de las traectorias solución del sistema con algunas condiciones iniciales. 1

2 En un diagrama de fase se trazan las curvas que son soluciones del sistema, esto es, se (t), (t) de tal forma que los valores de = (t) grafican las curvas formadas por los puntos ( ) = (t) satisfagan el sistema para t en algún intervalo. El sistema geométricamente describe el movimiento de una partícula en el plano : la ecuación = f(,) determina el movimiento de la partícula con respecto al eje, a que representa el crecimiento de la variable a medida que el tiempo crece; en la región donde = f(,) > 0 la partícula se mueve en la dirección de crecimiento del eje en la región donde = f(,) < 0 la partícula se mueve en la dirección hacia donde el eje decrece. De la misma forma = g(,) determina el movimiento de la partícula en la dirección del eje. Para hacer el diagrama de fase en un sistema coordenado usual se traza la curva f (, ) = 0 se determinan las regiones donde f (, ) > 0 f (, ) < 0 ; en la primera la traectoria solución del sistema se mueve a la derecha, > 0, en la gráfica esto se indica por medio de una flecha hacia la derecha ( ). En la región donde f (,) < 0 la traectoria debe moverse hacia la izquierda, lo que se indica con una flecha hacia la izquierda ( ). Puesto que las traectorias pueden atravesar la curva f (, ) = 0, si lo hace, en el punto de cruce, es decir, en ese punto la tangente a la traectoria debe ser vertical; esto se indica en la gráfica colocando una línea vertical (figura 1). Para determinar el crecimiento de la traectoria solución al sistema con respecto al eje se traza el contorno g(, ) = 0 se determinan los contornos superior e inferior, esto es, la región donde g(, ) > 0 g(, ) < 0. En el contorno superior la traectoria se mueve en dirección al crecimiento del eje, lo que se indica por medio de una flecha hacia f(, ) = 0 Figura 1: El contorno f(,) = 0 determina las regiones donde la traectoria se mueve a la derecha o a la izquierda arriba ( ) donde g(,) < 0 por una flecha hacia abajo ( ) que indica que la traectoria se mueve hacia abajo. En los puntos de cruce de las traectorias solución con la gráfica de g(,) = 0 las tangentes a las traectorias deben ser horizontales, allí, en la gráfica se indica con una recta horizontal atravesada al gráfico de g(,) = 0 (figura 2). Al reunir g(, ) = 0 Figura 2: El contorno g(,) = 0 determina las regiones donde la traectoria se mueve hacia arriba o hacia abajo. 2

3 el comportamiento de los gráficos anteriores se encuentra el crecimiento de las traectorias solución del sistema los puntos de equilibrio que están en la intersección de las curvas f (,) = 0 g(,) = 0 ; en esos puntos = (figura 3) Las traectorias solución del sistema se trazan siguiendo el movimiento indicado por las flechas el tipo de cruces encontrados en este proceso. En la figura 4 se muestran algunas traectorias. f(, ) = 0 g(, ) = 0 Figura 3: Indicaciones del crecimiento de las traectorias solución del sistema Figura 4: Algunas traectorias solución del sistema. 3

4 ALGUNOS EJEMPLOS EJEMPLO 1 : Considere el par de ecuaciones diferenciales 3 = = 1 Bosquejamos su diagrama de fase. a. Hallamos la curva de demarcación el diagrama de flechas = ; = ( 3,1) 3 2 = 3 > 0 = 3 < 0 Figura 5. b. Hallamos la curva de demarcación el diagrama de flechas = 1 ; = (, ) = 1 < 0 = 1 > 0 = 1 < 0 Figura 6. 4

5 c. El diagrama de flechas o curvas de demarcación del sistema Figura 7. EJEMPLO 2 : Supongamos que la demanda para un bien depende de su precio p la oferta de su precio esperado v las cantidades demandadas ofertados son D( p) S( v ) donde D S son funciones tal que D ( p ) < 0 S ( v ) > 0. Supongamos que el precio p reacciona al desequilibrio del mercado, con su tasa de cambio proporcional a su desequilibrio. Esto es dp = α(d( p) S( v )), α > 0 (constante) Asumimos que el precio esperado tiene una tasa de cambio proporcional a su adaptación en el mercado. dv = β( p v ), β > 0 (constante) Bosquejamos el diagrama de fase del sistema : ( p v ) dp = α D( ) S( ), α > 0 dv = β, β > 0 ( p v ) D( ) S( ) a) p = α ( p v ) ( p v ) dv dp 0 = α D( ) S( ) < 0 (Por el teorema de la función implícita) p = αd ( p), αs ( v ) signo v p p = 0 v v = 0 b) v = β( p v ) 0 = β( p v ) v = p v* = p* v = β, β + signo p = 0 p* p 5

6 ANÁLISIS DE RESULTADOS Cuando los alumnos logran entender el tema de diagramas de fase de un sistema no lineal 2 en IR, luego pueden analizar comprender sus modelos económicos leer sin dificultad los paper en economía que se presentan en la actualidad donde esta técnica se utiliza. BIBLIOGRAFÍA [1] ARSENIO PECHA C. (2005) Optimización estática dinámica en economía. UNIBIBLOS- Universidad Nacional de Colombia, Colombia. [2] HÉCTOR LOMELÍ ; BEATRIZ RUMBOS. (2003) Métodos Dinámicos en economía. Internacional Thompson Editores, S.A., Méico. [3] MALCOLM PEMBERTON ; NICHOLAS RAU (2001) Mathematics for economists. Manchester Universit Press, Great Britain. Pando, 09 de Febrero del