Master en Economia Macroeconomia II. 1 El Modelo de Crecimiento Optimo Estocastico

Transcripción

1 Master en Economia Macroeconomia II Profesor: Danilo Trupkin Problem Set 4 - Solucion El Modelo de Crecimiento Optimo Estocastico Considere el modelo de crecimiento con incertidumbre, tal como fue descripto en clase. Es decir, suponga que el agente representativo elige la secuencia {c t, k t+ } t= de modo de maximizar E β t ln(c t ) t= s.a. k t+ = t kt α c t ln t = ρ ln t + ξ t ; ξ t i.i.d.n(, σ 2 ) k >, > dados. Escriba la Bellman equation del problema. La siguiente es la ecuacion de Bellman, expresando el consumo como funcion del capital a traves del uso de la restriccion de recursos: V (k t, t ) = max k t+ {ln( t k α t k t+ ) + βe[v (k t+, t+ ) t ]} 2. Halle e interprete la ecuacion de Euler del problema. De la condicion de primer orden del problema, i.e., derivando respecto a k t+, surge que De la Benveniste-Scheinkman condition, tenemos [ ] V (kt+, t+ ) + βe t =. () c t k t+ V (k t, t ) k t = c t α t k α t, lo que implica que V (k t+, t+ ) k t+ = c t+ α t+ k α t+. (2)

2 Sustituyendo (2) en la condicion de primer orden (), tenemos finalmente la Euler condition: [ ] = βe t α t+ kt+ α. c t c t+ Esta ecuacion nos dice que el agente habra invertido hasta el punto en que este indiferente entre una unidad consumida hoy (que le brinda un beneficio de /c t en terminos de utilidad) y una unidad invertida en capital (que le brinda un beneficio en terminos de utilidad dado por el producto marginal del capital descontado y esperado al periodo siguiente). 3. Muestre que V (k t, t ) = E +F ln k t +G ln t es solucion del problema, donde E, F, y G son constantes que debe hallar a traves del metodo de coeficientes indeterminados. Sabemos que las funciones optimas del problema estocastico no difieren de las funciones halladas en el problema deterministico, excepto que ahora el ingreso y t es funcion tambien de la variable t (conocida al momento de tomar la decision en t). tenemos que Dado esto ultimo, k t+ = αβ t k α t, c t = ( αβ) t k α t. Por otro lado, sabemos que E t (ln t+ ) = E t (ρ ln t + ξ t+ ) = ρ ln t. Usamos estos resultados en la Bellman equation del problema original (para lo cual asumimos como cierto el guess de V ), e igualamos dicha ecuacion al guess del enunciado. Es decir, para todos k t, t se debe cumplir la condicion siguiente: V (k t, t ) = ln[( αβ) t k α t ] + βe + βf ln(αβ t k α t ) + βgρ ln t = E + F ln k t + G ln t De aqui que ln( αβ) + βe + βf ln(αβ) = E, α + αβf = F, + βf + βgρ = G, 2

3 lo que implica finalmente que F = G = E = α αβ ( αβ)( ρ β) [ ln( αβ) + ( β) βα ] αβ ln(αβ) 2 Un Modelo RBC Simplificado con Shocks Tecnologicos ditivos Considere una economia con poblacion constante de agentes con horizonte infinito. El agente representativo maximiza su lifetime utility esperada descripta por ( t t= +ρ) u(ct ), ρ >. suma que la funcion de utilidad instantanea es u(c t ) = c t θc 2 t, θ >, suponiendo que c se encuentra siempre en el rango donde u (c) >. El output es lineal en capital, mas un shock aditivo: y t = k t +e t. No hay depreciacion; entonces k t+ = k t + y t c t, y asumimos que la tasa de interes es = ρ. Finalmente, el shock sigue un proceso R() : e t = ρ e e t + ξ t, donde < ρ e < y los ξ t son shocks i.i.d. de media cero.. Encuentre la condicion de primer orden que relaciona c t con c t+ esperado (la ecuacion de Euler). La Bellman equation del problema se puede escribir como V (k t, e t ) = max c t,k t+ {c t θc 2 t + βe[v (k t+, e t+ ) e t ]} s.a. k t+ = k t + k t + e t c t = ( + )k t + e t c t donde β /( + ρ) De la restriccion de recursos, se puede expresar el consumo como c t = ( + )k t k t+ + e t. (3) Luego, la condicion de primer orden respecto a k t+ (habiendo sustituido c t por su expresion en (3)), implica [ ] V (kt+, e t+ ) ( 2θc t ) + βe t =. (4) k t+ 3

4 plicando la Benveniste-Scheinkman condition, tenemos V (k t, e t ) k t = ( 2θc t )( + ), lo que implica que V (k t+, e t+ ) k t+ = ( 2θc t+ )( + ). (5) Sustituyendo (5) en la condicion de primer orden (4), tenemos finalmente la Euler condition expresada en terminos de c t como funcion de c t+ esperado: ( 2θc t ) = βe t [( 2θc t+ )( + )]. Si se extraen las constantes del operador esperanza, se cancelan los terminos repetidos en ambos lados de la ecuacion, y ademas se tiene en cuenta el hecho de que β = ( + ), tenemos c t = E t (c t+ ). Es decir, el consumo sigue un random walk. 2. Haga un guess para el consumo que tenga la forma c t = α + βk t + γe t. Dado este guess, halle k t+ como funcion de k t y e t. Sustituyendo este guess en la restriccion de recursos, simplemente obtenemos: k t+ = ( + )k t + e t (α + βk t + γe t ) = ( + β)k t + ( γ)e t α (6) 3. Que valores deberian tener los parametros α, β, y γ para que la ecuacion de Euler se satisfaga para todos los valores de k t y e t? Sabemos que c t = E t (c t+ ). Luego, sustituyendo el guess formulado para el consumo en la ecuacion de Euler encontramos que, para todo k t, e t, se debe cumplir α + βk t + γe t = E t (α + βk t+ + γe t+ ) = α + βe t (k t+ ) + γe t (e t+ ) = α + β[( + β)k t + ( γ)e t α] + γρ e e t = α( β) + β( + β)k t + [β( γ) + γρ e ]e t, 4

5 donde se usa la expresion de k t+ en (6), y el hecho que E t (e t+ ) = E t (ρ e e t ) + E t (ξ t+ ) = ρ e e t. De esta manera, tenemos el siguiente sistema: α = α( β) (7) β = β( + β) (8) γ = β( γ) + γρ e (9) De (8), tenemos que = + β. Entonces, β =. De (9), y dado que β =, tenemos γ = + ρ e. Finalmente, exceptuando el caso en que β = =, la ecuacion (7) implica α =. Tambien podriamos haber tenido β = γ =, y no imponer ninguna restriccion sobre α. Pero tal caso es trivial. 4. Cuales son los efectos de un shock de un solo periodo a ξ sobre los senderos de y, k, y c? Es decir, considere el efecto que tiene el shock sobre las variables endogenas del problema, considerando ξ > para t = y ξ = para t >. Sustituyendo las expresiones halladas para α, β, y γ en las ecuaciones de c t y k t+, tenemos c t = k t + + ρ e e t () k t+ = k t + ρ e ρ e + e t. () Para simplificar el analisis, y sin perdida de generalidad, asumimos que en el periodo t hay un shock positivo ξ t = ρ e +. partir de t +, ξ = nuevamente. De aqui en adelante, el cambio en una variable hace referencia a la diferencia entre su valor real y el valor que tenia antes del shock (es una manera de expresar los cambios en la variable respecto a su steady state, tal como hemos visto las funciones de impulso-respuesta en clase). Noten que esto se hace solo para que las expresiones se simplifiquen, pues se asume un shock igual al denominador en ambas variables. El shock incluso podria haber sido expresado de forma generica, pero naturalmente el algebra se vuelve mas engorrosa. 5

6 En el periodo t, sabemos que k t esta dado y por tanto no es afectada. De la funcion de produccion, y t = k t + e t, entonces tenemos y t = k t + e t = ρ e +, donde e t = ξ t. Luego, el output en el periodo que ocurre el shock aumenta en ρ +. De la ecuacion del consumo (), tenemos c t = k t + lo cual implica que el consumo es mas alto en. + ρ e e t =, En el periodo t +, aun cuando ξ t+ = otra vez, e t+ es diferente al steady state del cual parte debido a la forma autorregresiva de los shocks e. Notemos que e t+ = ρ e e t = ρ e ( ρ e + ). De la ecuacion (), el cambio en el stock de capital es k t+ = k t + ρ e ρ e + e t = ρ e. De la funcion de produccion, y t+ = k t+ + e t+, de modo que y t+ = k t+ + e t+ = ( ρ e ) + ρ e ( ρ e + ) = + ρ e ( ρ e ). De la ecuacion para el consumo () tenemos que el cambio en esta variable es c t+ = k t+ + e t+ + ρ e = ( ρ e ) + ρ + ρ e ( ρ e + ) e = ( ρ e ) + ρ e =. Vemos entonces que en realidad no hay dinamica para el consumo. Permanece en un nivel mas alto dado por. 6

7 De modo similar, podemos calcular estos cambios para el periodo t + 2 : e t+2 = ρ e e t+ = ρ 2 e( ρ e + ) k t+2 = k t+ + ρ e ρ e + e t+ = ( ρ e ) + ( ρ e )ρ e = ρ 2 e y t+2 = k t+2 + e t+2 = ( ρ 2 e) + ρ 2 e( ρ e + ) = + ρ 2 e( ρ e ) c t+2 = k t+2 + e t+2 + ρ e = ( ρ 2 e) + = ( ρ 2 e) + ρ 2 e =. + ρ e ρ 2 e( ρ e + ) hora podemos inferir el patron de dichos cambios. Suponemos entonces que tenemos un shock de un periodo dado por ξ t = ρ e +. En el periodo del shock, el consumo aumenta en y se queda alli permanentemente. Por otro lado, n periodos despues del shock, el cambio en output sera y t+n = + ρ n e ( ρ e ), y el cambio en el stock de capital sera k t+n = ρ n e Vemos en consecuencia que la naturaleza de la dinamica de y y k depende del valor del coeficiente autorregresivo del shock, ρ e. En el caso extremo que ρ e fuera, no hay dinamica despues del periodo t +. Para el caso en el que < ρ e <, tenemos que las variables convergen monotonamente a un steady state de nivel superior. Si < ρ e <, entonces tenemos que las variables oscilan (alternando arriba y abajo de los nuevos steady states), y gradualmente se estabilizan en sus niveles mas altos. 3 Un Modelo RBC con Utilizacion Variable del Capital Considere, nuevamente, una economia con poblacion constante de agentes con horizonte infinito, donde el agente representativo maximiza el valor esperado de t= βt u(c t, l t ), < β <. suma u(c t, l t ) = ln c t + ηl t, η >, l t + h t =, donde l t y h t son las asignaciones de ocio y trabajo, respectivamente. El output, por otro lado, tiene la forma y t = t (s t k t ) α ht α. Es decir, ahora la produccion depende de las horas de trabajo, h t, y de los servicios del capital, s t k t, donde s es la tasa variable de utilizacion del stock de capital k. suma, ademas, que la tasa de 7

8 depreciacion es variable, y toma la forma δ(s t ) = δ s v t, δ >, v > (la depreciacion es creciente y convexa en la intensidad de uso del capital). En ese sentido, ahora la ecuacion de movimiento del capital se define como k t+ = i t + ( δ s v t )k t. Finalmente, el shock sigue un proceso autorregresivo definido por ln t = ρ ln t + ξ t, donde < ρ < y los ξ t son shocks i.i.d. de media cero. Para resumir, el problema (sin firmas) seria maximizar E β t (ln c t + ηl t ) t= sujeto a c t + i t = t (s t k t ) α h α t i t = k t+ ( δ s v t )k t ln t = ρ ln t + ξ t ; ξ t i.i.d.n(, σ 2 ) k >, > dados. Escriba el lagrangiano de este problema, y encuentre las condiciones necesarias de primer orden. Note que ahora se introduce una variable adicional de control, s t, de modo que el problema es tambien encontrar una condicion optima para la depreciacion del capital. El Lagrangiano del problema es el siguiente: L = E t= β t { ln c t + ηl t λ t [c t + k t+ ( δ t )k t t (s t k t ) α h α t ] } Las condiciones de primer orden respecto al consumo, el trabajo, el capital al periodo siguiente, la tasa de utilizacion, y el multiplicador, son las que siguen: c t λ t = η + λ t ( α) y t h t = λ t + βeλ t+ [ δ t+ + α y t+ k t+ ] = λ t [δ vs v t k t α y t ] s t = c t + i t t (s t k t ) α ht α = 2. Interprete tanto la condicion de optimo de la intensidad de uso del capital (la condicion de primer orden respecto a s t ), como la ecuacion de Euler que resulta del problema. La condicion de optimo relativa a la intensidad de uso del capital, con λ t >, se puede 8

9 expresar como: α y t s t k t = δ vs v t, la cual puede interpretarse como la igualdad entre el producto marginal del capital (el beneficio de aumentar la utilizacion del capital en el margen) y el costo del aumento de la depreciacion proveniente, justamente, del aumento de dicha intensidad de uso. La ecuacion de Euler, a su vez, puede expresarse como: = βe [ δ t+ + α y t+ ], c t c t+ k t+ es decir, la igualdad entre el costo de oportunidad de invertir una unidad en capital, en terminos de consumo perdido, y el beneficio esperado descontado de dicha unidad al periodo siguiente, en terminos de consumo, dado por la suma del producto marginal del capital y el valor de dicha unidad luego de depreciacion. 3. Escriba las expresiones de steady state. El sistema en steady state (no estocastico) puede escribirse de la siguiente manera: ( α) y h = ηc, = β( δ s v + α y k ), δ vs v = α y k, c + kδ s v = y, (sk) α h α = y, donde todas las variables se encuentran expresadas en steady state. Notemos que hay 5 ecuaciones y 5 incognitas. Operando algebraicamente sobre estas, pueden obtenerse las siguientes expresiones de las variables como funcion de los parametros: [ ] β /v s = βδ (v ) ( α)v h = η(v α) [ ] αβ(v ) /( α) k = hs α/( α) ( β)v y = (sk) α h α c = (v α) y v 9

10 4. signe valores a los parametros del modelo, y escriba el sistema resultante en matlab de modo de hallar las funciones de impulso-respuesta que se derivan del modelo. Interprete brevemente. Nota: el objetivo aqui no es calibrar el modelo, sino mas bien simular el mismo de manera de tener una idea de como se comporta la economia ante los shocks. La siguiente tabla muestra los valores escogidos para los parametros. En su mayoria, estos valores fueron escogidos de acuerdo con la evidencia, de modo de hacer un matching entre nuestra economia artificial y la economia actual. 2 α β δ v η ρ σ Con estos valores de los parametros, los steady states resultan: c h k s y Por su parte, luego de escribir el modelo en matlab, la dinamica del problema arroja el siguiente output: 4 x x 3 c 2 4 x 4 delta x 3 h.2 i. k x 3 s.2 y.5 y_h simismo, el parametro v fue calibrado de modo de normalizar en la tasa de utilizacion del capital en steady state. Notemos que, dados valores de β y δ, s = implica que puede despejarse el parametro v de la misma ecuacion de s en steady state.